जॉनसन वृत्त

  Johnson circles J_A ≅ J_B ≅ J_C of radius r (intersect at H; pairs intersect at A, B, C)

  Circle passing through A, B, C (has radius r by Johnson's theorem)

  Johnson triangle △J_AJ_BJ_C of △ABC

  Circumcircle of △J_AJ_BJ_C (radius r)

ज्यामिति में, जॉनसन हलकों के एक समूह में समान त्रिज्या के तीन वृत्त होते हैं r प्रतिच्छेदन का एक सामान्य बिंदु साझा करना H. इस तरह के विन्यास में मंडलियों में आमतौर पर कुल चार चौराहे होते हैं (ऐसे बिंदु जहां उनमें से कम से कम दो मिलते हैं): सामान्य बिंदु H कि वे सभी साझा करते हैं, और मंडलियों के तीन जोड़े में से प्रत्येक के लिए एक और चौराहे बिंदु (यहां उनके 2-वार चौराहे के रूप में संदर्भित)। यदि किन्हीं दो वृत्तों का दोलन होता है, तो केवल उनके पास होता है H एक सामान्य बिंदु के रूप में, और उसके बाद उस पर विचार किया जाएगा H उनका 2-वार चौराहा भी हो; यदि वे संपाती हों तो हम घोषित करते हैं कि उनका 2-वार प्रतिच्छेदन बिल्कुल विपरीत बिंदु है H. तीन 2-वार चौराहा बिंदु आकृति के संदर्भ त्रिकोण को परिभाषित करते हैं। अवधारणा का नाम रोजर आर्थर जॉनसन के नाम पर रखा गया है।

गुण

  Johnson circles J_A ≅ J_B ≅ J_C of radius r (intersect at H; pairs intersect at A, B, C)

  Anticomplementary circle of △ABC (radius 2r); tangent to the Johnson circles at P_A, P_B, P_C

  Lines between the common intersection, H, and P_A, P_B, P_C

  Anticomplementary triangle △P_AP_BP_C of △ABC

# जॉनसन हलकों के केंद्र एक ही त्रिज्या के एक वृत्त पर स्थित हैं r जैसा कि जॉनसन सर्कल पर केंद्रित है H. ये केंद्र जॉनसन त्रिभुज बनाते हैं।

1. वृत्त पर केंद्रित है H त्रिज्या के साथ 2r, जिसे विरोधी पूरक चक्र के रूप में जाना जाता है, जॉनसन सर्कल में से प्रत्येक के लिए स्पर्शरेखा है। तीन स्पर्शरेखा बिंदु बिंदु के प्रतिबिंब हैं H जॉनसन त्रिभुज के शीर्षों के बारे में।
2. जॉनसन हलकों और प्रतिपूरक वृत्त के बीच स्पर्शरेखा के बिंदु एक अन्य त्रिभुज बनाते हैं, जिसे संदर्भ त्रिभुज का प्रतिपूरक त्रिभुज कहा जाता है। यह जॉनसन त्रिकोण के लिए समानता (ज्यामिति) है, और एक कारक 2 पर केंद्रित है H, उनका सामान्य परिधि।
3. जॉनसन की प्रमेय: जॉनसन हलकों के 2-वार चौराहे बिंदु (संदर्भ त्रिकोण के कोने △ABC) उसी त्रिज्या के एक वृत्त पर स्थित हैं r जॉनसन सर्किल के रूप में। यह संपत्ति रोमानिया में घोरघे Šițeica की 5 लेई सिक्का समस्या के रूप में भी जानी जाती है।
4. संदर्भ त्रिकोण वास्तव में जॉनसन त्रिभुज के लिए सर्वांगसमता (ज्यामिति) है, और एक कारक -1 द्वारा इसके लिए समरूप परिवर्तन है।
5. बिंदु H संदर्भ त्रिभुज का लंबकेन्द्र और जॉनसन त्रिभुज का परिकेन्द्र है।
6. जॉनसन त्रिभुज का समरूप केंद्र और संदर्भ त्रिकोण उनका सामान्य नौ-बिंदु केंद्र है।

प्रमाण

संपत्ति 1 परिभाषा से स्पष्ट है। संपत्ति 2 भी स्पष्ट है: त्रिज्या के किसी भी वृत्त के लिए r, और कोई बिंदु P उस पर, त्रिज्या का चक्र 2r पर केंद्रित है P वृत्त के विपरीत बिंदु में स्पर्शरेखा है P; यह विशेष रूप से लागू होता है P = H, पूरक वृत्त दे रहा है C. समरूपता के निर्माण में संपत्ति 3 तुरंत अनुसरण करती है; स्पर्शरेखा के बिंदुओं के त्रिभुज को प्रतिपूरक त्रिभुज के रूप में जाना जाता है।

गुण 4 और 5 के लिए, पहले देखें कि तीन जॉनसन मंडलियों में से किन्हीं दो को जोड़ने वाली रेखा में प्रतिबिंब द्वारा आपस में बदल दिया जाता है H और उनका 2-वार चौराहा (या उनकी स्पर्शरेखा रेखाओं में हलकों पर H यदि ये बिंदु मेल खाते हैं), और यह प्रतिबिंब इन वृत्तों पर स्थित प्रतिपूरक त्रिभुज के दो शीर्षों को भी बदल देता है। 2-वार चौराहा बिंदु इसलिए प्रतिपूरक त्रिभुज की एक भुजा का मध्य बिंदु है, और H इस तरफ के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है। अब किसी भी त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदु त्रिभुज के बेरिकेंटर पर केंद्रित गुणक −½ के साथ समरूपता द्वारा इसके शीर्षों की छवियां हैं। प्रतिपूरक त्रिभुज पर लागू, जो स्वयं जॉनसन त्रिकोण से कारक 2 के साथ समरूपता द्वारा प्राप्त किया जाता है, यह समरूपता की संरचना से अनुसरण करता है कि संदर्भ त्रिकोण एक कारक -1 द्वारा जॉनसन त्रिकोण के लिए समरूप है। चूँकि ऐसी समरूपता एक सर्वांगसमता (ज्यामिति) है, यह गुण 5 देता है, और जॉनसन मंडल प्रमेय भी देता है क्योंकि सर्वांगसम त्रिभुजों में समान त्रिज्या के परिबद्ध वृत्त होते हैं।

संपत्ति 6 ​​के लिए, यह पहले से ही स्थापित किया गया था कि प्रतिपूरक त्रिभुज की भुजाओं के लंबवत समद्विभाजक बिंदु से होकर गुजरते हैं H; चूँकि वह भुजा संदर्भ त्रिभुज की एक भुजा के समानांतर है, ये लंब समद्विभाजक भी संदर्भ त्रिभुज की ऊँचाई (त्रिकोण) हैं।

संपत्ति 7 संपत्ति 6 ​​से तुरंत अनुसरण करती है क्योंकि होमोथेटिक केंद्र जिसका कारक -1 है, परिकेन्द्रों के मध्य बिंदु पर स्थित होना चाहिएO संदर्भ त्रिकोण औरH जॉनसन त्रिकोण का; उत्तरार्द्ध संदर्भ त्रिकोण का ऑर्थोसेंटर है, और इसका नौ-बिंदु केंद्र उस मध्य बिंदु के रूप में जाना जाता है। चूंकि केंद्रीय समरूपता जॉनसन त्रिकोण के संदर्भ त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर को भी मैप करती है, इसलिए होमोथेटिक केंद्र जॉनसन त्रिकोण का नौ-बिंदु केंद्र भी है।

एक साधारण सदिश संगणना का उपयोग करते हुए, जॉनसन सर्किल प्रमेय का एक बीजगणितीय प्रमाण भी है। वेक्टर हैं ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}},$ पूरी लंबाई r, जैसे कि जॉनसन सर्कल क्रमशः पर केंद्रित हैं $H+{\vec {u}},H+{\vec {v}},H+{\vec {w}}.$ फिर 2-वार प्रतिच्छेदन बिंदु क्रमशः हैं $H+{\vec {u}}+{\vec {v}},H+{\vec {u}}+{\vec {w}},H+{\vec {v}}+{\vec {w}}$, और बिंदु $H+{\vec {u}}+{\vec {v}}+{\vec {w}}$ स्पष्ट रूप से दूरी है r उन 2-वार चौराहों में से किसी के लिए।

और गुण

तीन जॉन्सन हलकों को संदर्भ त्रिकोण के तीन पक्षों में से प्रत्येक के बारे में संदर्भ त्रिकोण के परिवृत्त के प्रतिबिंब माना जा सकता है। इसके अलावा, संदर्भ त्रिकोण के तीन पक्षों के प्रतिबिंब के तहत, इसका ऑर्थोसेंटर H संदर्भ त्रिभुज के परिवृत्त पर तीन बिंदुओं पर मैप करता है जो परिधि-ऑर्थिक त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं, इसका परिकेन्द्र O जॉनसन त्रिकोण और इसकी यूलर लाइन के शीर्ष पर मैप करता है (रेखा से होकर गुजरती है O, N, H) तीन पंक्तियाँ उत्पन्न करता है जो X(110) पर समवर्ती हैं।

जॉनसन सर्कमोनिक

जॉनसन त्रिकोण और इसका संदर्भ त्रिकोण समान नौ-बिंदु केंद्र, समान यूलर रेखा और समान नौ-बिंदु वृत्त साझा करते हैं। संदर्भ त्रिकोण और इसके जॉनसन त्रिकोण के शीर्ष से बने छह बिंदु जॉनसन सर्कमोनिक पर स्थित हैं जो नौ-बिंदु केंद्र पर केंद्रित है और संदर्भ त्रिकोण का बिंदु X(216) इसके परिप्रेक्ष्य के रूप में है . परिवृत्त और परिवृत्त संदर्भ त्रिभुज का एक चौथा बिंदु, X(110) साझा करते हैं।

अंत में दो दिलचस्प और प्रलेखित सर्कमक्यूबिक्स हैं जो संदर्भ त्रिकोण और इसके जॉनसन त्रिकोण के छह शीर्षों के साथ-साथ परिधि, ऑर्थोसेंटर और नौ-बिंदु केंद्र से होकर गुजरते हैं। पहले को पहले मुसेलमैन क्यूबिक - के026 के रूप में जाना जाता है। यह घन औसत दर्जे के त्रिभुज के छह शीर्षों और जॉनसन त्रिभुज के औसत दर्जे के त्रिकोण से होकर भी गुजरता है। दूसरे क्यूबिक को यूलर सेंट्रल क्यूबिक - K044 के रूप में जाना जाता है। यह घन भी ओर्थिक त्रिभुज के छह शीर्षों और जॉनसन त्रिभुज के ओर्थिक त्रिभुज से होकर गुजरता है।

X(i) बिंदु अंकन त्रिकोण केंद्रों का क्लार्क किम्बरलिंग एनसाइक्लोपीडिया त्रिकोण केंद्रों का वर्गीकरण है।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Johnson Theorem". MathWorld.
• F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Johnson Circles". MathWorld.
• F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Johnson Triangle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Johnson Circumconic". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Anticomplementary Triangle". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Circum-Orthic Triangle". MathWorld.
• Bernard Gibert Circumcubic K026
• Bernard Gibert Circumcubic K044
• Clark Kimberling, "Encyclopedia of triangle centers". (Lists some 3000 interesting points associated with any triangle.)