लैग्रेंजियन प्रणाली

गणित में, लैग्रेंजियन प्रणाली एक जोड़ी है (Y, L), एक चिकने फाइबर बंडल से युक्त Y → X और एक लैग्रेंजियन घनत्व L, जो कि अनुभागों पर कार्य करने वाला यूलर-लैग्रेंज विभेदक ऑपरेटर उत्पन्न करता है Y → X.

शास्त्रीय यांत्रिकी में, कई गतिशील प्रणालियाँ लैग्रेंजियन प्रणालियाँ हैं। ऐसे लैग्रेंजियन सिस्टम का कॉन्फ़िगरेशन स्थान एक फाइबर बंडल है Q → ℝ समय अक्ष पर ℝ. विशेष रूप से, Q = ℝ × M यदि कोई संदर्भ फ़्रेम तय हो गया है। शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में, सभी क्षेत्र प्रणालियाँ लैग्रेंजियन हैं।

लैग्रेंजियन और यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर

एक लैग्रेंजियन घनत्व L (या, बस, एक लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत)) क्रम का r को बाहरी रूप के रूप में परिभाषित किया गया है|n-प्रपत्र, n = dim X, पर r-ऑर्डर जेट बंडल J^rY का Y.

एक लैग्रेंजियन L को विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के वैरिएबल बाइकॉम्प्लेक्स के एक तत्व के रूप में पेश किया जा सकता है O^∗_∞(Y) जेट बंडल पर विभेदक रूप का Y → X. इस बाइकोकॉम्प्लेक्स के सह-समरूपता में वैरिएबल ऑपरेटर शामिल है δ जिस पर कार्रवाई की जा रही है L, संबंधित यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर को परिभाषित करता है δL.

निर्देशांक में

दिए गए बंडल निर्देशांक x^λ, yⁱ फाइबर बंडल पर Y और अनुकूलित निर्देशांक x^λ, yⁱ, yⁱ_Λ, (Λ = (λ₁, ...,λ_k), |Λ| = k ≤ r) जेट मैनिफोल्ड्स पर J^rY, एक लैग्रेंजियन L और इसका यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर पढ़ता है

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\Lambda }^{i})\,d^{n}x,$

$\delta L=\delta _{i}{\mathcal {L}}\,dy^{i}\wedge d^{n}x,\qquad \delta _{i}{\mathcal {L}}=\partial _{i}{\mathcal {L}}+\sum _{|\Lambda |}(-1)^{|\Lambda |}\,d_{\Lambda }\,\partial _{i}^{\Lambda }{\mathcal {L}},$

कहाँ

$d_{\Lambda }=d_{\lambda _{1}}\cdots d_{\lambda _{k}},\qquad d_{\lambda }=\partial _{\lambda }+y_{\lambda }^{i}\partial _{i}+\cdots ,$

कुल डेरिवेटिव को निरूपित करें।

उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम लैग्रेंजियन और उसके दूसरे-क्रम यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर फॉर्म लेते हैं

$L={\mathcal {L}}(x^{\lambda },y^{i},y_{\lambda }^{i})\,d^{n}x,\qquad \delta _{i}L=\partial _{i}{\mathcal {L}}-d_{\lambda }\partial _{i}^{\lambda }{\mathcal {L}}.$

यूलर-लैग्रेंज समीकरण

यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर का कर्नेल यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्रदान करता है δL = 0.

कोहोमोलॉजी और नोएदर के प्रमेय

वैरिएबल बायोकॉम्प्लेक्स की सह-समरूपता तथाकथित की ओर ले जाती है परिवर्तनशील सूत्र

$dL=\delta L+d_{H}\Theta _{L},$

कहाँ

$d_{H}\Theta _{L}=dx^{\lambda }\wedge d_{\lambda }\phi ,\qquad \phi \in O_{\infty }^{*}(Y)$

कुल अंतर है और θ_L एक लेपेज के बराबर है L. नोएथर का पहला प्रमेय और नोएथर का दूसरा प्रमेय इस परिवर्तनशील सूत्र के परिणाम हैं।

वर्गीकृत अनेक गुना ्स

ग्रेडेड मैनिफोल्ड्स तक विस्तारित, वेरिएबल बाइकोप्लेक्स सम और विषम चर के ग्रेडेड लैग्रेंजियन सिस्टम का विवरण प्रदान करता है।

वैकल्पिक सूत्रीकरण

एक अलग तरीके से, लैग्रेंजियन, यूलर-लैग्रेंज ऑपरेटर्स और यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को विविधताओं के कलन के ढांचे में पेश किया जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी

शास्त्रीय यांत्रिकी में गति के समीकरण मैनिफोल्ड पर पहले और दूसरे क्रम के अंतर समीकरण होते हैं M या विभिन्न फाइबर बंडल Q ऊपर ℝ. गति के समीकरणों के समाधान को गति कहा जाता है।

यह भी देखें

• लैग्रेंजियन यांत्रिकी
• विविधताओं की गणना
• नोएदर का प्रमेय
• कोई भी पहचान नहीं
• जेट बंडल
• जेट (गणित)
• वैरिएशनल बाइकॉम्प्लेक्स

संदर्भ

• Arnold, V. I. (1989), Mathematical Methods of Classical Mechanics, Graduate Texts in Mathematics, vol. 60 (second ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-96890-3
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1997). New Lagrangian and Hamiltonian Methods in Field Theory. World Scientific. ISBN 981-02-1587-8.
• Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (2011). Geometric formulation of classical and quantum mechanics. World Scientific. doi:10.1142/7816. hdl:11581/203967. ISBN 978-981-4313-72-8.
• Olver, P. (1993). Applications of Lie Groups to Differential Equations (2 ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94007-3.
• Sardanashvily, G. (2013). "Graded Lagrangian formalism". Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. World Scientific. 10 (5): 1350016. arXiv:1206.2508. doi:10.1142/S0219887813500163. ISSN 0219-8878.

बाहरी संबंध

• Sardanashvily, G. (2009). "Fibre Bundles, Jet Manifolds and Lagrangian Theory. Lectures for Theoreticians". arXiv:0908.1886. Bibcode:2009arXiv0908.1886S. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)