वूरहोव सूचकांक

गणित में, वूरहोव सूचकांक जटिल संख्याओं पर कुछ फ़ंक्शन (गणित) से जुड़ी एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, जिसका नाम मार्क वूरहोव के नाम पर रखा गया है। इसका उपयोग रोले के प्रमेय को वास्तविक कार्यों से जटिल कार्यों तक विस्तारित करने के लिए किया जा सकता है, वास्तविक कार्यों के लिए एक अंतराल (गणित) में फ़ंक्शन के शून्य की संख्या द्वारा भूमिका निभाई जाती है।

परिभाषा

वूरहोव सूचकांक $V_{I}(f)$ एक जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन f जो वास्तविक अंतराल के एक जटिल पड़ोस (गणित) में विश्लेषणात्मक कार्य है $I$= [ए, बी] द्वारा दिया गया है

$V_{I}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\frac {d}{dt}}{\rm {Arg}}\,f(t)\right|\,\,dt\,={\frac {1}{2\pi }}\int _{a}^{b}\!\left|{\rm {Im}}\left({\frac {f'}{f}}\right)\right|\,dt.$

(विभिन्न लेखक विभिन्न सामान्यीकरण कारकों का उपयोग करते हैं।)

रोले का प्रमेय

रोले का प्रमेय बताता है कि यदि $f$ वास्तविक रेखा पर एक निरंतर विभेदित फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, और $f(a)=$ $f(b)=0$, कहाँ $a<b$, तो इसका व्युत्पन्न $f'$ के बीच सख्ती से शून्य है $a$ और $b$. या, अधिक सामान्यतः, यदि $N_{I}(f)$ निरंतर अवकलनीय फलन के शून्यों की संख्या को दर्शाता है $f$ अंतराल पर $I$, तब $N_{I}(f)\leq N_{I}(f')+1.$ अब एक के पास रोले के प्रमेय का एनालॉग है:

$V_{I}(f)\leq V_{I}(f')+{\frac {1}{2}}.$

इससे एक जटिल क्षेत्र में एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के शून्य की संख्या पर सीमाएं लग जाती हैं।

संदर्भ

• Voorhoeve, Marc (1976), "On the oscillation of exponential polynomials", Math. Z., 151: 277–294, doi:10.1007/bf01214940
• Khovanskii, A.; Yakovenko, S. (1996), "Generalized Rolle theorem in $R^{n}$ and $C$", J. Dyn. Control Syst., 2: 103–123, doi:10.1007/bf02259625