संयुग्म फूरियर श्रृंखला

फूरियर विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, यूनिट डिस्क पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के वास्तविक भाग के सीमा मूल्यों के रूप में औपचारिक रूप से फूरियर श्रृंखला को साकार करने से संयुग्मित फूरियर श्रृंखला उत्पन्न होती है। उस फ़ंक्शन का काल्पनिक भाग तब संयुग्म श्रृंखला को परिभाषित करता है। Zygmund (1968)इस श्रृंखला के अभिसरण के नाजुक प्रश्नों और हिल्बर्ट परिवर्तन के साथ इसके संबंध का अध्ययन किया।

प्रपत्र की त्रिकोणमितीय श्रृंखला पर विस्तार से विचार करें

$f(\theta )={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos n\theta +b_{n}\sin n\theta \right)$

जिसमें गुणांक ए_n और बी_n वास्तविक संख्याएँ हैं. यह सीरीज बिजली की श्रृंखला का असली हिस्सा है

$F(z)={\tfrac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}-ib_{n})z^{n}$

इकाई चक्र के साथ $z=e^{i\theta }$. F(z) के काल्पनिक भाग को f की 'संयुग्म श्रृंखला' कहा जाता है, और इसे दर्शाया जाता है

${\tilde {f}}(\theta )=\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\sin n\theta -b_{n}\cos n\theta \right).$

यह भी देखें

• हार्मोनिक संयुग्म

संदर्भ

• Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, Graduate Texts in Mathematics, vol. 249 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1, MR 2445437
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2nd ed.), Cambridge University Press (published 1988), ISBN 978-0-521-35885-9