हिल्बर्ट योजना

बीजीय ज्यामिति में, गणित की शाखा, हिल्बर्ट योजना योजना सिद्धांत है जो कुछ प्रक्षेप्य स्थान (या अधिक सामान्य प्रक्षेप्य योजना) के बंद उप-योजनाओं के लिए पैरामीटर स्थान है, जो चाउ विविधता को परिष्कृत करती है। हिल्बर्ट योजना हिल्बर्ट बहुपदों के अनुरूप प्रक्षेप्य उपयोजनाओं का असंयुक्त संघ है। हिल्बर्ट योजनाओं का मूल सिद्धांत किसके द्वारा विकसित किया गया था? Alexander Grothendieck (1961). हिरोनका के उदाहरण से पता चलता है कि गैर-प्रोजेक्टिव किस्मों के लिए हिल्बर्ट योजनाएँ आवश्यक नहीं हैं।

प्रक्षेप्य स्थान की हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ का $\mathbb {P} ^{n}$ प्रक्षेप्य स्थान की बंद उप-योजनाओं को निम्नलिखित अर्थों में वर्गीकृत करता है: किसी भी स्थानीय नोथेरियन योजना के लिए S, के समुच्चय S-मूल्यांकित अंक

$\operatorname {Hom} (S,\mathbf {Hilb} (n))$

हिल्बर्ट योजना स्वाभाविक रूप से बंद उप-योजनाओं के सेट के लिए समरूपी है $\mathbb {P} ^{n}\times S$ वह सपाट रूपवाद है S. की बंद उपयोजनाएँ $\mathbb {P} ^{n}\times S$ जो कि समतल हैं S को अनौपचारिक रूप से प्रक्षेप्य स्थान की उप-योजनाओं के परिवारों के रूप में सोचा जा सकता है S. हिल्बर्ट योजना $\mathbf {Hilb} (n)$ टुकड़ों के असंयुक्त मिलन के रूप में टूट जाता है $\mathbf {Hilb} (n,P)$ हिल्बर्ट बहुपद के साथ प्रक्षेप्य स्थान की उपयोजनाओं के हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप P. इनमें से प्रत्येक टुकड़ा प्रक्षेप्य है $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} )$.

निर्धारक किस्म के रूप में निर्माण

ग्रोथेंडिक ने हिल्बर्ट योजना का निर्माण किया $\mathbf {Hilb} (n)$ का $n$-आयामी प्रक्षेप्य $\mathbb {P} ^{n}$ विभिन्न निर्धारकों के लुप्त होने से परिभाषित ग्रासमैनियन की उपयोजना के रूप में अंतरिक्ष। इसकी मौलिक संपत्ति योजना के लिए है $T$, यह उस फ़नकार का प्रतिनिधित्व करता है जिसका $T$-मूल्यांकित अंक बंद उप-योजनाएं हैं $\mathbb {P} ^{n}\times T$ जो कि समतल हैं $T$.

अगर $X$ की उपयोजना है $n$-आयामी प्रक्षेप्य स्थान, फिर $X$ श्रेणीबद्ध आदर्श से मेल खाता है $I_{X}^{\bullet }$ बहुपद वलय का $S$ में $n+1$ चर, श्रेणीबद्ध टुकड़ों के साथ $I_{X}^{m}$. पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $m$ के सभी उच्च कोहोमोलोजी समूह $X$ में गुणांक के साथ ${\mathcal {O}}(m)$ गायब होना। सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> का उपयोग करना$0\to I_{X}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{X}\to 0$हमारे पास है $I_{X}^{m}=\Gamma (I_{X}\otimes {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m))$ आयाम है $Q(m)-P_{X}(m)$, कहाँ $Q$ प्रक्षेप्य स्थान का हिल्बर्ट बहुपद है। इसे स्थानीय स्तर पर सपाट ढेरों द्वारा उपरोक्त सटीक अनुक्रम को टेंसर करके दिखाया जा सकता है ${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(m)$, सटीक अनुक्रम दे रहा है जहां बाद के दो शब्दों में तुच्छ सह-समरूपता है, जो उच्च सह-समरूपता की तुच्छता को दर्शाता है $I_{X}(m)$. ध्यान दें कि हम सुसंगत शीफ के हिल्बर्ट बहुपद की समानता का उपयोग इसके शीफ कोहोलॉजी समूहों की यूलर-विशेषता के साथ कर रहे हैं।

का पर्याप्त बड़ा मान चुनें $m$. $(Q(m)-P_{X}(m))$वें>-आयामी स्थान $I_{X}^{m}$ का उपस्थान है $Q(m)$-आयामी स्थान $S^{n}$, तो ग्रासमैनियन के बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है ${\textbf {Gr}}(Q(m)-P_{X}(m),Q(m))$. यह हिल्बर्ट बहुपद के अनुरूप हिल्बर्ट योजना के टुकड़े का एम्बेडिंग देगा $P_{X}$ इस ग्रासमैनियन में।

इस छवि पर योजना संरचना का वर्णन करना बाकी है, दूसरे शब्दों में इसके अनुरूप आदर्श के लिए पर्याप्त तत्वों का वर्णन करना बाकी है। ऐसे पर्याप्त तत्व मानचित्र की शर्तों द्वारा दिए गए हैं I_X(m) ⊗ S(k) → S(k + m) की रैंक अधिकतम है dim(I_X(k + m)) सभी सकारात्मक के लिए k, जो विभिन्न निर्धारकों के लुप्त होने के बराबर है। (अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण से पता चलता है कि इसे लेना ही पर्याप्त है k = 1.)

गुण

सार्वभौमिकता

बंद उपयोजना दी गई है $Y\subset \mathbb {P} _{k}^{n}=X$ हिल्बर्ट बहुपद वाले क्षेत्र पर $P$, हिल्बर्ट योजना H=Hilb(n, P) की सार्वभौमिक उपयोजना है $W\subset X\times H$ सपाट $H$ ऐसा है कि

• रेशे $W_{x}$ बंद बिंदुओं पर $x\in H$ की बंद उपयोजनाएँ हैं $X$. के लिए $Y\subset X$ इस बिंदु को निरूपित करें $x$ जैसा $[Y]\in H$.
• $H$ की उपयोजनाओं के सभी फ्लैट परिवारों के संबंध में सार्वभौमिक है $X$ हिल्बर्ट बहुपद होना $P$. यानी स्कीम दी गई है $T$ और सपाट परिवार $W'\subset X\times T$, अद्वितीय रूपवाद है $\phi :T\to H$ ऐसा है कि $\phi ^{*}W\cong W'$.

स्पर्शरेखा स्थान

बिंदु का स्पर्शरेखा स्थान $[Y]\in H$ सामान्य बंडल के वैश्विक अनुभागों द्वारा दिया गया है $N_{Y/X}$; वह है,

$T_{[Y]}H=H^{0}(Y,N_{Y/X})$

पूर्ण चौराहों की अबाधितता

स्थानीय पूर्ण चौराहों के लिए $Y$ ऐसा है कि $H^{1}(Y,N_{X/Y})=0$, बिंदु $[Y]\in H$ चिकना है. इसका तात्पर्य प्रत्येक विरूपण सिद्धांत से है $Y$ में $X$ अबाधित है.

स्पर्शरेखा स्थान का आयाम

यदि $H^{1}(Y,N_{X/Y})\neq 0$, का आयाम $H$ पर $[Y]$ से अधिक या बराबर है $h^{0}(Y,N_{X/Y})-h^{1}(Y,N_{X/Y})$.

इन गुणों के अतिरिक्त, Francis Sowerby Macaulay (1927) हिल्बर्ट योजना किन बहुपदों के लिए निर्धारित की गई है $\mathbf {Hilb} (n,P)$ गैर-रिक्त है, और Robin Hartshorne (1966)दिखाया कि अगर $\mathbf {Hilb} (n,P)$ गैर-रिक्त है तो यह रैखिक रूप से जुड़ा हुआ है। तो प्रक्षेप्य स्थान की दो उप-योजनाएं हिल्बर्ट योजना के ही जुड़े हुए घटक में हैं यदि और केवल तभी जब उनके पास ही हिल्बर्ट बहुपद हो।

हिल्बर्ट योजनाओं में खराब विलक्षणताएं हो सकती हैं, जैसे अपरिवर्तनीय घटक जो सभी बिंदुओं पर गैर-कम होते हैं। उनमें अप्रत्याशित रूप से उच्च आयाम के अपरिवर्तनीय घटक भी हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोई हिल्बर्ट योजना की अपेक्षा कर सकता है d अंक (अधिक सटीक आयाम 0, लंबाई d आयाम की योजना की उपयोजनाएँ)। n आयाम होना dn, लेकिन अगर n ≥ 3 इसके अपरिवर्तनीय घटकों का आयाम बहुत बड़ा हो सकता है।

कार्यात्मक व्याख्या

हिल्बर्ट योजना की वैकल्पिक व्याख्या है जो सापेक्ष हिल्बर्ट योजनाओं के सामान्यीकरण की ओर ले जाती है जो सापेक्ष योजना की उप-योजनाओं को मानकीकृत करती है। निश्चित आधार योजना के लिए $S$, होने देना $X\in (Sch/S)$ और चलो<ब्लॉककोट>${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}:(Sch/S)^{op}\to Sets$संबंधित योजना भेजने वाला फ़नकार बनें $T\to S$ सेट<ब्लॉककोट> के समरूपता वर्गों के सेट के लिए${\underline {\text{Hilb}}}_{X/S}(T)=\left\{{\begin{matrix}Z&\hookrightarrow &X\times _{S}T&\to &X\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\T&=&T&\to &S\end{matrix}}:Z\to T{\text{ is flat}}\right\}/\sim$जहां तुल्यता संबंध समरूपता वर्गों द्वारा दिया जाता है $Z$. यह निर्माण परिवारों की मुश्किलों को ध्यान में रखकर किया गया है। दिया गया $f:T'\to T$, परिवार है $f^{*}Z=Z\times _{T}T'$ ऊपर $T'$.

प्रक्षेप्य मानचित्रों के लिए प्रतिनिधित्वशीलता

यदि संरचना मानचित्र $X\to S$ प्रक्षेप्य है, तो इस फ़नकार को ऊपर निर्मित हिल्बर्ट योजना द्वारा दर्शाया गया है। इसे परिमित प्रकार के मानचित्रों के मामले में सामान्यीकृत करने के लिए आर्टिन द्वारा विकसित बीजगणितीय स्थानों की तकनीक की आवश्यकता होती है।

बीजगणितीय स्थानों के मानचित्रों के लिए सापेक्ष हिल्बर्ट योजना

अपनी सबसे बड़ी व्यापकता में, हिल्बर्ट फ़ैक्टर को बीजगणितीय स्थानों के सीमित प्रकार के मानचित्र के लिए परिभाषित किया गया है $f\colon X\to B$ योजना पर परिभाषित $S$. फिर, हिल्बर्ट फ़ैक्टर को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}:(Sch/B)^{op}\to Sets$

को टी भेज रहा हूँ

${\underline {\text{Hilb}}}_{X/B}(T)=\left\{Z\subset X\times _{B}T:{\begin{aligned}&Z\to T{\text{ is flat, proper,}}\\&{\text{and of finite presentation}}\end{aligned}}\right\}$.

यह फ़ैक्टर किसी योजना द्वारा नहीं, बल्कि बीजगणितीय स्थान द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। इसके अलावा यदि $S={\text{Spec}}(\mathbb {Z} )$, और $X\to B$ योजनाओं का सीमित प्रकार का मानचित्र है, उनके हिल्बर्ट फ़ैक्टर को बीजगणितीय स्थान द्वारा दर्शाया जाता है।

हिल्बर्ट योजनाओं के उदाहरण

हाइपरसर्फेस की फ़ानो योजनाएँ

सामान्य तौर पर हिल्बर्ट योजना की जांच के लिए प्रेरक उदाहरणों में से प्रोजेक्टिव योजना की फ़ानो योजना थी। उपयोजना दी गई $X\subset \mathbb {P} ^{n}$ डिग्री का $d$, स्कीम है $F_{k}(X)$ में $\mathbb {G} (k,n)$ पैरामीटराइज़िंग $H\subset X\subset \mathbb {P} ^{n}$ कहाँ $H$ है $k$-विमान में $\mathbb {P} ^{n}$, जिसका अर्थ है कि यह डिग्री का एम्बेडिंग है $\mathbb {P} ^{k}$. चिकनी सतहों के लिए $\mathbb {P} ^{3}$ डिग्री का $d\geq 3$, गैर-रिक्त फ़ानो योजनाएँ $F_{k}(X)$ चिकने और शून्य-आयामी हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि चिकनी सतहों पर रेखाओं का स्व-प्रतिच्छेदन नकारात्मक होता है।

अंकों की हिल्बर्ट योजना

उदाहरणों का अन्य सामान्य समूह हिल्बर्ट योजनाएँ हैं $n$- योजना के बिंदु $X$, आमतौर पर दर्शाया गया है $X^{[n]}$. के लिए $\mathbb {P} ^{2}$ जहां सीमा लोकी है वहां अच्छी ज्यामितीय व्याख्या है $B\subset H$ बिंदुओं के प्रतिच्छेदन का वर्णन करते हुए उनके स्पर्शरेखा सदिशों के साथ-साथ बिंदुओं को पैरामीट्रिज़ करने के बारे में सोचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $(\mathbb {P} ^{2})^{[2]}$ ब्लोअप है $Bl_{\Delta }(\mathbb {P} ^{2}\times \mathbb {P} ^{2}/S_{2})$ विकर्ण का सममित क्रिया मॉड्यूलो.

डिग्री डी हाइपरसर्फेस

डिग्री k हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना $\mathbb {P} ^{n}$ प्रक्षेपीकरण द्वारा दिया गया है $\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(k)))$. उदाहरण के लिए, डिग्री 2 हाइपरसर्फेस की हिल्बर्ट योजना $\mathbb {P} ^{1}$ है $\mathbb {P} ^{2}$ द्वारा दी गई सार्वभौमिक हाइपरसतह के साथ

${\text{Proj}}(k[x_{0},x_{1}][\alpha ,\beta ,\gamma ]/(\alpha x_{0}^{2}+\beta x_{0}x_{1}+\gamma x_{1}^{2}))\subseteq \mathbb {P} _{x_{0},x_{1}}^{1}\times \mathbb {P} _{\alpha ,\beta ,\gamma }^{2}$

जहां अंतर्निहित रिंग को बड़ा किया गया है।

वक्रों की हिल्बर्ट योजना और वक्रों का मापांक

निश्चित जाति के लिए $g$ बीजगणितीय वक्र $C$, त्रि-दंशीय दोहरीकरण शीफ की डिग्री $\omega _{C}^{\otimes 3}$ विश्व स्तर पर उत्पन्न होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी यूलर विशेषता वैश्विक वर्गों के आयाम से निर्धारित होती है, इसलिए

$\chi (\omega _{C}^{\otimes 3})=\dim H^{0}(C,\omega _{X}^{\otimes 3})$.

इस सदिश समष्टि का आयाम है $5g-5$, इसलिए के वैश्विक खंड $\omega _{C}^{\otimes 3}$ में एम्बेडिंग निर्धारित करें $\mathbb {P} ^{5g-6}$ प्रत्येक जाति के लिए $g$ वक्र. रीमैन-रोच सूत्र का उपयोग करके, संबंधित हिल्बर्ट बहुपद की गणना इस प्रकार की जा सकती है

$H_{C}(t)=6(g-1)t+(1-g)$.

फिर, हिल्बर्ट योजना

${\text{Hilb}}_{\mathbb {P} ^{5g-6}}^{H_{C}(t)}$

सभी जीनस जी वक्रों को मानकीकृत करता है। इस योजना का निर्माण बीजगणितीय वक्रों के मॉड्यूल स्टैक के निर्माण में पहला कदम है। अन्य मुख्य तकनीकी उपकरण जीआईटी भागफल हैं, क्योंकि इस मॉड्यूलि स्पेस का निर्माण भागफल के रूप में किया गया है

${\mathcal {M}}_{g}=[U_{g}/GL_{5g-6}]$,

कहाँ $U_{g}$ हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों का उप-स्थान है।

मैनिफोल्ड पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना

हिल्बर्ट योजना कभी-कभी किसी योजना पर 0-आयामी उप-योजनाओं की समयनिष्ठ हिल्बर्ट योजना को संदर्भित करती है। अनौपचारिक रूप से इसे किसी योजना पर बिंदुओं के सीमित संग्रह के रूप में सोचा जा सकता है, हालांकि जब कई बिंदु मेल खाते हैं तो यह तस्वीर बहुत भ्रामक हो सकती है।

बिंदुओं की कम हिल्बर्ट योजना से लेकर चाउ किस्म के चक्रों तक हिल्बर्ट-चाउ रूपवाद है जो किसी भी 0-आयामी योजना को उसके संबंधित 0-चक्र में ले जाता है। (Fogarty 1968, 1969, 1973).

हिल्बर्ट योजना $M^{[n]}$ का n अंक पर M प्राकृतिक रूपवाद से सुसज्जित है n-वाँ सममित उत्पाद M. यह रूपवाद द्विवार्षिक है Mअधिकतम आयाम का 2. के लिए M आयाम का कम से कम 3 आकारवाद बड़े के लिए द्विवार्षिक नहीं है n: हिल्बर्ट योजना सामान्य रूप से कम करने योग्य है और इसमें सममित उत्पाद की तुलना में आयाम के घटक बहुत बड़े हैं।

वक्र पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना C ( आयाम-1 जटिल मैनिफोल्ड) बीजगणितीय वक्र के सममित उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है C. यह चिकना है.

हिल्बर्ट योजना n जटिल सतह पर बिंदु भी चिकने होते हैं (ग्रोथेंडिक)। अगर $n=2$, से प्राप्त किया जाता है $M\times M$ विकर्ण को उड़ाकर और फिर से विभाजित करके $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ कार्रवाई से प्रेरित $(x,y)\mapsto (y,x)$. इसका उपयोग मार्क हाईमन ने कुछ मैकडोनाल्ड बहुपदों के गुणांकों की सकारात्मकता के प्रमाण में किया था।

3 या अधिक आयाम की चिकनी मैनिफोल्ड की हिल्बर्ट योजना आमतौर पर चिकनी नहीं होती है।

हिल्बर्ट योजनाएं और हाइपरकेहलर ज्यामिति

होने देना M जटिल काहलर मैनिफोल्ड बनें|काहलर सतह के साथ $c_{1}=0$ (K3 सतह या टोरस)। का विहित बंडल M तुच्छ है, जैसा कि एनरिक्स-कोडैरा वर्गीकरण से मिलता है। इस तरह M होलोमोर्फिक सिंपलेक्टिक ज्यामिति रूप को स्वीकार करता है। इसे अकीरा फुजिकी (के लिए) द्वारा देखा गया था $n=2$) और अरनौद ब्यूविल $M^{[n]}$ होलोमोर्फिक रूप से भी सहानुभूतिपूर्ण है। इसे देखना बहुत कठिन नहीं है, उदाहरण के लिए, के लिए $n=2$. वास्तव में, $M^{[2]}$ के सममित वर्ग का विस्फोट है M. की विलक्षणताएँ $\operatorname {Sym} ^{2}M$ स्थानीय रूप से समरूपी हैं $\mathbb {C} ^{2}\times \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$. का विस्फोट $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ है $T^{*}\mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} )$, और यह स्थान सहानुभूतिपूर्ण है। इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि सहानुभूतिपूर्ण रूप स्वाभाविक रूप से असाधारण विभाजकों के चिकने भाग तक विस्तारित होता है $M^{[n]}$. इसे शेष तक विस्तारित किया गया है $M^{[n]}$ हार्टोग्स के सिद्धांत द्वारा.

होलोमोर्फिक रूप से सहानुभूतिपूर्ण, काहलर मैनिफोल्ड हाइपरकाहलर मैनिफोल्ड|हाइपरकाहलर है, जैसा कि कैलाबी अनुमान|कैलाबी-यॉ प्रमेय से निम्नानुसार है। K3 सतह पर और 4-आयामी टोरस पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजनाएँ हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों की दो श्रृंखलाएँ देती हैं: K3 पर बिंदुओं की हिल्बर्ट योजना और सामान्यीकृत कुमेर सतह।

यह भी देखें

• उद्धरण योजना
• कास्टेलनुवो-मम्फोर्ड नियमितता
• मात्सुसाका का बड़ा प्रमेय
• बीजगणितीय वक्रों का मापांक
• मोडुली स्थान
• हिल्बर्ट मॉड्यूलर सतह
• सीगल मॉड्यूलर किस्म

संदर्भ

• Beauville, Arnaud (1983), "Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle", Journal of Differential Geometry, 18 (4): 755–782, doi:10.4310/jdg/1214438181, MR 0730926
• I. Dolgachev (2001) [1994], "Hilbert scheme", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Fantechi, Barbara; Göttsche, Lothar; Illusie, Luc; Kleiman, Steven L.; Nitsure, Nitin; Vistoli, Angelo (2005), Fundamental algebraic geometry, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3541-8, MR 2222646
• Fogarty, John (1968), "Algebraic families on an algebraic surface", American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 90 (2): 511–521, doi:10.2307/2373541, JSTOR 2373541, MR 0237496
• Fogarty, John (1969), "Truncated Hilbert functors", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 234: 65–88, MR 0244268, archived from the original on 2013-02-12
• Fogarty, John (1973), "Algebraic families on an algebraic surface. II. The Picard scheme of the punctual Hilbert scheme", American Journal of Mathematics, Johns Hopkins University Press, 95 (3): 660–687, doi:10.2307/2373734, JSTOR 2373734, MR 0335512
• Göttsche, Lothar (1994), Hilbert schemes of zero-dimensional subschemes of smooth varieties, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1572, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0073491, ISBN 978-3-540-57814-7, MR 1312161
• Grothendieck, Alexander (1961), Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique. IV. Les schémas de Hilbert, Séminaire Bourbaki 221 Reprinted in Adrien Douady; Roger Godement; Alain Guichardet ... (1995), Séminaire Bourbaki, Vol. 6, Paris: Société Mathématique de France, pp. 249–276, ISBN 2-85629-039-6, MR 1611822
• Hartshorne, Robin (1966), "Connectedness of the Hilbert scheme", Publications Mathématiques de l'IHÉS (29): 5–48, MR 0213368
• Macaulay, Francis Sowerby (1927), "Some properties of enumeration in the theory of modular systems", Proceedings of the London Mathematical Society, Series 2, 26: 531–555, doi:10.1112/plms/s2-26.1.531
• Mumford, David (1966-08-21), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6
• Nakajima, Hiraku (1999), Lectures on Hilbert schemes of points on surfaces, University Lecture Series, vol. 18, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1956-2, MR 1711344
• Nitsure, Nitin (2005), "Construction of Hilbert and Quot schemes", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 105–137, arXiv:math/0504590, Bibcode:2005math......4590N, MR 2223407
• Qin, Zhenbo (2018), Hilbert schemes of points and infinite dimensional Lie algebras, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 228, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-4188-3

उदाहरण और अनुप्रयोग

• arxiv:alg-geom/9411005|बॉट का सूत्र और गणनात्मक ज्यामिति
• मुड़े हुए घनों की संख्या क्विंटिक थ्रीफोल्ड पर
• कैलाबी-याउ थ्रीफोल्ड्स पर तर्कसंगत वक्र: दर्पण समरूपता भविष्यवाणियों का सत्यापन

बाहरी संबंध

• Bertram, Aaron (1999), Construction of the Hilbert scheme, retrieved 2008-09-06
• Bolognese, Barbara; Losev, Ivan, A general introduction to the Hilbert scheme of points on the plane (PDF), archived from the original on 2017-08-30{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)
• Maclagan, Diane, Notes on Hilbert Schemes (PDF), archived from the original on 2016-03-07{{citation}}: CS1 maint: bot: original URL status unknown (link)