मोटिविक सह-समरूपता

मोटिविक सह-समरूपता बीजगणितीय विविधता और अधिक सामान्य योजनाओं का एक अपरिवर्तनीय है। यह उद्देश्यों से संबंधित एक प्रकार की कोहोमोलॉजी है और इसमें एक विशेष मामले के रूप में बीजगणितीय चक्रों की चाउ रिंग सम्मिलित है। बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत की कुछ गहरी समस्याएं मोटिविक कोहोलॉजी को समझने के प्रयास हैं।

मोटिविक होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी

मान लीजिए कि X एक फ़ील्ड k पर परिमित प्रकार की एक योजना है। बीजगणितीय ज्यामिति का एक मुख्य लक्ष्य एक्स के चाउ समूहों की गणना करना है, क्योंकि वे एक्स की सभी उप-किस्मों के बारे में मजबूत जानकारी देते हैं। एक्स के चाउ समूहों में टोपोलॉजी में बोरेल-मूर होमोलॉजी के कुछ औपचारिक गुण हैं, लेकिन कुछ चीजें गायब हैं उदाहरण के लिए, एक्स की एक बंद उपयोजना ज़ेड के लिए, चाउ समूहों का एक सटीक अनुक्रम, स्थानीयकरण अनुक्रम है

$CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,$

जबकि टोपोलॉजी में यह एक लंबे सटीक अनुक्रम का हिस्सा होगा।

इस समस्या का समाधान चाउ समूहों को समूहों के एक बड़े परिवार, (बोरेल-मूर) मोटिविक होमोलॉजी समूहों (जिन्हें पहले स्पेंसर बलोच द्वारा उच्च चाउ समूह कहा जाता था) में सामान्यीकृत करके किया गया था।अर्थात्, फ़ील्ड k और पूर्णांक i और j पर परिमित प्रकार की प्रत्येक योजना X के लिए, हमारे पास एक एबेलियन समूह H_i(X,Z(j)) है, जिसमें सामान्य चाउ समूह विशेष मामला है:

$CH_{i}(X)\cong H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i)).$

स्कीम X की एक बंद उप-योजना Z के लिए, मोटिविक होमोलॉजी समूहों के लिए एक लंबा सटीक स्थानीयकरण अनुक्रम है, जो चाउ समूहों के लिए स्थानीयकरण अनुक्रम के साथ समाप्त होता है:

$\cdots \rightarrow H_{2i+1}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X,\mathbf {Z} (i))\rightarrow H_{2i}(X-Z,\mathbf {Z} (i))\rightarrow 0.$

वास्तव में, यह वोवोडस्की मोटिविक कोहोलॉजी, कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ मोटिविक कोहोलॉजी, बोरेल-मूर मोटिविक होमोलॉजी (जैसा कि ऊपर), और कॉम्पैक्ट सपोर्ट के साथ मोटिविक होमोलॉजी द्वारा निर्मित चार सिद्धांतों के परिवार में से एक है। इन सिद्धांतों में टोपोलॉजी में संबंधित सिद्धांतों के कई औपचारिक गुण हैं। उदाहरण के लिए मोटिविक कोहोमोलॉजी समूह Hⁱ(X,Z(j)) एक क्षेत्र पर परिमित प्रकार की प्रत्येक योजना X के लिए एक बिगग्रेडेड रिंग बनाते हैं। जब

$H^{i}(X,\mathbf {Z} (j))\cong H_{2n-i}(X,\mathbf {Z} (n-j)).$

विशेष रूप से, कोडिमेंशन-आई चक्रों का चाउ समूह CHi(X) H2i(X,Z(i)) के समरूपी होता है जब X, k पर चिकना होता है।

के पर एक चिकनी योजना की मोटिविक कोहोमोलॉजी Hⁱ(X, Z(j)) ज़रिस्की टोपोलॉजी में X की कोहोमोलॉजी है जिसमें एक्स पर शीव्स Z(j) के एक निश्चित परिसर में गुणांक होते हैं। (कुछ गुणों को निस्नेविच टोपोलॉजी का उपयोग करके साबित करना आसान है, लेकिन यह समान मोटिविक कोहोलॉजी समूह देता है। [3]) उदाहरण के लिए, जे <0 के लिए जेड (जे) शून्य है, जेड (0) निरंतर शीफ जेड है, और Z(1) X से Gm[−1] की व्युत्पन्न श्रेणी में समरूपी है। यहां Gm (गुणात्मक समूह) व्युत्क्रमणीय नियमित कार्यों के शीफ को दर्शाता है, और शिफ्ट [−1] का अर्थ है कि इस शीफ को डिग्री 1 में एक कॉम्प्लेक्स के रूप में देखा जाता है।

मोटिविक होमोलॉजी और कोहोमोलॉजी के चार संस्करणों को किसी भी एबेलियन समूह में गुणांक के साथ परिभाषित किया जा सकता है। विभिन्न गुणांक वाले सिद्धांत सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय से संबंधित होते हैं, जैसा कि टोपोलॉजी में होता है।

अन्य कोहोमोलोजी सिद्धांतों से संबंध

K-सिद्धांत से संबंध

बलोच, स्टीफ़न लिक्टेनबाम, एरिक फ्रीडलैंडर, आंद्रेई सुसलिन और लेविन द्वारा, एक क्षेत्र पर प्रत्येक चिकनी योजना एक्स के लिए मोटिविक कोहोलॉजी से लेकर बीजगणितीय के-सिद्धांत तक एक वर्णक्रमीय अनुक्रम है, जो टोपोलॉजी में अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम के अनुरूप है:

$E_{2}^{pq}=H^{p}(X,\mathbf {Z} (-q/2))\Rightarrow K_{-p-q}(X).$

टोपोलॉजी की तरह, परिमेय के साथ टेंसर उत्पाद के बाद वर्णक्रमीय अनुक्रम ख़राब हो जाता है। किसी क्षेत्र (जरूरी नहीं कि चिकनी) पर परिमित प्रकार की मनमानी योजनाओं के लिए, मोटिविक होमोलॉजी से जी-सिद्धांत (वेक्टर बंडलों के बजाय सुसंगत शीव्स का के-सिद्धांत) तक एक अनुरूप वर्णक्रमीय अनुक्रम होता है।

मिल्नोर के-सिद्धांत से संबंध

मोटिविक कोहोमोलॉजी पहले से ही खेतों के लिए एक समृद्ध अपरिवर्तनीयता प्रदान करती है। (ध्यान दें कि एक फ़ील्ड k एक स्कीम स्पेक (k) निर्धारित करता है जिसके लिए मोटिविक कोहॉमोलॉजी को परिभाषित किया गया है।) हालांकि फ़ील्ड k के लिए मोटिविक कोहोलॉजी Hi(k, Z(j)) सामान्य रूप से समझ से बहुत दूर है, जब i = j होता है तो एक विवरण होता है:

$K_{j}^{M}(k)\cong H^{j}(k,\mathbf {Z} (j)),$

जहां K_j^M(k) k का jवां मिल्नोर K-समूह है। चूंकि किसी क्षेत्र के मिल्नोर के-सिद्धांत को जनरेटर और संबंधों द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, यह के के मोटिविक कोहोलॉजी के एक टुकड़े का एक उपयोगी विवरण है।

एटेल कोहोमोलॉजी का मानचित्र

मान लीजिए कि X एक फ़ील्ड k पर एक सहज योजना है, और मान लीजिए कि m एक धनात्मक पूर्णांक है जो k में उलटा है। फिर मोटिविक कोहोमोलॉजी से एटेल कोहोमोलॉजी तक एक प्राकृतिक समरूपता (चक्र मानचित्र) है:

$H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j)),$

जहां दाईं ओर Z/m(j) का अर्थ étale sheaf (μm)⊗j है, जिसमें μm एकता की mवीं जड़ें हैं। यह चिकनी किस्म के चाउ रिंग से ईटेल कोहोमोलॉजी तक चक्र मानचित्र को सामान्यीकृत करता है।

बीजगणितीय ज्यामिति या संख्या सिद्धांत में एक सामान्य लक्ष्य मोटिविक कोहॉमोलॉजी की गणना करना है, जबकि एटेल कोहॉमोलॉजी को समझना अक्सर आसान होता है। उदाहरण के लिए, यदि आधार क्षेत्र k सम्मिश्र संख्या है, तो étale cohomology एकवचन सहसंयोजी (परिमित गुणांक के साथ) के साथ मेल खाता है। वोएवोडस्की द्वारा सिद्ध किया गया एक शक्तिशाली परिणाम, जिसे बेइलिंसन-लिचटेनबाम अनुमान के रूप में जाना जाता है, कहता है कि कई मोटिविक कोहोमोलॉजी समूह वास्तव में ईटेल कोहोमोलॉजी समूहों के आइसोमोर्फिक हैं। यह मानक अवशेष समरूपता प्रमेय का परिणाम है। अर्थात्, बेइलिंसन-लिचटेनबाम अनुमान (वोएवोडस्की का प्रमेय) कहता है कि एक फ़ील्ड k और m पर एक चिकनी योजना X के लिए एक सकारात्मक पूर्णांक k में चक्र मानचित्र में उलटा होता है

$H^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))\rightarrow H_{et}^{i}(X,\mathbf {Z} /m(j))$

सभी j ≥ i के लिए एक समरूपता है और सभी j ≥ i - 1 के लिए इंजेक्शन है।

उद्देश्यों से संबंध

किसी भी फ़ील्ड k और क्रमविनिमेय रिंग R के लिए, वोएवोडस्की ने एक R-रैखिक त्रिकोणीय श्रेणी को परिभाषित किया, जिसे R, DM(k; R) में गुणांक के साथ k से अधिक उद्देश्यों की व्युत्पन्न श्रेणी कहा जाता है। प्रत्येक योजना यदि X, k के ठीक ऊपर है तो दोनों समरूपी हैं।

उद्देश्यों की व्युत्पन्न श्रेणी का एक मूल बिंदु यह है कि चार प्रकार के मोटिविक होमोलॉजी और मोटिविक कोहोलॉजी सभी इस श्रेणी में रूपवाद के सेट के रूप में उत्पन्न होते हैं। इसका वर्णन करने के लिए, पहले ध्यान दें कि सभी पूर्णांक जे के लिए DM(k; R) में टेट मकसद R(j) हैं, जैसे कि प्रक्षेप्य स्थान का मकसद टेट मकसद का प्रत्यक्ष योग है:

$M(\mathbf {P} _{k}^{n})\cong \oplus _{j=0}^{n}R(j)[2j],$

जहां M ↦ M[1] त्रिकोणीय श्रेणी डीएम(के; आर) में बदलाव या "अनुवाद फ़ैक्टर" को दर्शाता है। इन शब्दों में, मोटिविक कोहोमोलॉजी (उदाहरण के लिए) द्वारा दी गई है

$H^{i}(X,R(j))\cong {\text{Hom}}_{DM(k;R)}(M(X),R(j)[i])$

k के ऊपर परिमित प्रकार की प्रत्येक योजना X के लिए।

जब गुणांक आर तर्कसंगत संख्याएं हैं, तो बीलिन्सन द्वारा अनुमान का एक आधुनिक संस्करण भविष्यवाणी करता है कि डीएम (के; क्यू) में कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स की उपश्रेणी एबेलियन श्रेणी एमएम (के) की सीमाबद्ध व्युत्पन्न श्रेणी के बराबर है, की श्रेणी के पर मिश्रित उद्देश्य। विशेष रूप से, अनुमान का अर्थ यह होगा कि मिश्रित उद्देश्यों की श्रेणी में मोटिविक कोहोलॉजी समूहों को एक्सट समूहों के साथ पहचाना जा सकता है। यह ज्ञात से बहुत दूर है. सीधे तौर पर, बेइलिंसन का अनुमान बेइलिंसन-सौले अनुमान को दर्शाता है कि Hⁱ(X,Q(j)) i < 0 के लिए शून्य है, जो केवल कुछ मामलों में ही ज्ञात है।

इसके विपरीत, ग्रोथेंडिक के मानक अनुमानों और चाउ उद्देश्यों पर मुर्रे के अनुमानों के साथ, बेइलिंसन-सोले अनुमान का एक प्रकार, डीएम (के; क्यू) पर टी-संरचना के दिल के रूप में एक एबेलियन श्रेणी एमएम (के) के अस्तित्व का संकेत देगा। मोटिविक कोहोलॉजी के साथ एमएम(के) में एक्सट समूहों की पहचान करने के लिए और अधिक की आवश्यकता होगी।

जटिल संख्याओं के उपक्षेत्र k के लिए, मिश्रित उद्देश्यों की एबेलियन श्रेणी के लिए एक उम्मीदवार को नोरी द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि अपेक्षित गुणों के साथ एक श्रेणी एमएम(के) मौजूद है (विशेष रूप से एमएम(के) से क्यू-वेक्टर रिक्त स्थान तक बेट्टी अहसास फ़ैक्टर वफादार है), तो यह नोरी की श्रेणी के बराबर होना चाहिए।

अंकगणितीय ज्यामिति के अनुप्रयोग

एल-फ़ंक्शंस का मान

मान लीजिए कि X एक संख्या क्षेत्र पर एक सहज प्रक्षेप्य किस्म है। एल-फ़ंक्शंस के मूल्यों पर बलोच-काटो अनुमान भविष्यवाणी करता है कि एक पूर्णांक बिंदु पर एक्स के एल-फ़ंक्शन के गायब होने का क्रम एक उपयुक्त मोटिविक कोहोलॉजी समूह के रैंक के बराबर है। यह संख्या सिद्धांत की केंद्रीय समस्याओं में से एक है, जिसमें डेलिग्ने और बेइलिंसन के पहले के अनुमान सम्मिलित हैं। बिर्च-स्विनर्टन-डायर अनुमान एक विशेष मामला है। अधिक सटीक रूप से, अनुमान नियामकों के संदर्भ में पूर्णांक बिंदु पर एल-फ़ंक्शन के अग्रणी गुणांक और मोटिविक कोहोलॉजी पर ऊंचाई युग्मन की भविष्यवाणी करता है।

इतिहास

बीजगणितीय किस्मों के लिए चाउ समूहों से अधिक सामान्य मोटिविक कोहोमोलॉजी सिद्धांत के संभावित सामान्यीकरण का पहला स्पष्ट संकेत डेनियल क्विलेन की बीजगणितीय के-सिद्धांत (1973) की परिभाषा और विकास था, जो वेक्टर बंडलों के ग्रोथेंडिक समूह K0 को सामान्यीकृत करता था। 1980 के दशक की शुरुआत में, बेइलिंसन और सोले ने देखा कि एडम्स के संचालन ने तर्कसंगत के साथ बीजगणितीय के-सिद्धांत को विभाजित कर दिया; सारांश को अब मोटिविक कोहोमोलॉजी (तर्कसंगत गुणांक के साथ) कहा जाता है। बीलिन्सन और लिचटेनबाम ने मोटिविक कोहोलॉजी के अस्तित्व और गुणों की भविष्यवाणी करते हुए प्रभावशाली अनुमान लगाए। उनके अधिकांश नहीं बल्कि सभी अनुमान अब सिद्ध हो चुके हैं।

बलोच की उच्च चाउ समूहों की परिभाषा (1986) एक क्षेत्र k पर योजनाओं के लिए मोटिविक होमोलॉजी की पहली अभिन्न (तर्कसंगत के विपरीत) परिभाषा थी (और इसलिए चिकनी योजनाओं के मामले में मोटिविक कोहोमोलॉजी)। एक्स के उच्च चाउ समूहों की परिभाषा चाउ समूहों की परिभाषा का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है, जिसमें एफ़िन स्पेस के साथ एक्स के उत्पाद पर बीजगणितीय चक्र सम्मिलित हैं जो अपेक्षित आयाम में हाइपरप्लेन (एक सिम्प्लेक्स के चेहरे के रूप में देखे गए) के एक सेट से मिलते हैं।

अंत में, वोएवोडस्की (सुसलिन के साथ अपने काम पर आगे बढ़ते हुए) ने 2000 में उद्देश्यों की व्युत्पन्न श्रेणी के साथ, चार प्रकार के मोटिविक होमोलॉजी और मोटिविक कोहोलॉजी को परिभाषित किया। संबंधित श्रेणियों को हनामुरा और लेविन द्वारा भी परिभाषित किया गया था।

संदर्भ

• Bloch, Spencer (1986), "Algebraic cycles and higher K-theory", Advances in Mathematics, 61 (3): 267–304, doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2, ISSN 0001-8708, MR 0852815
• Hanamura, Masaki (1999), "Mixed motives and algebraic cycles III", Mathematical Research Letters, 6: 61–82, doi:10.4310/MRL.1999.v6.n1.a5, MR 1682709
• Jannsen, Uwe (1994), "Motivic sheaves and filtrations on Chow groups", Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 245–302, ISBN 978-0-8218-1637-0, MR 1265533
• Mazza, Carlo; Voevodsky, Vladimir; Weibel, Charles (2006), Lecture Notes on Motivic Cohomology, Clay Mathematics Monographs, vol. 2, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3847-1, MR 2242284
• Voevodsky, Vladimir (2000), "Triangulated categories of motives over a field", Cycles, Transfers, and Motivic Homology Theories, Princeton University Press, pp. 188–238, ISBN 9781400837120, MR 1764202
• Voevodsky, Vladimir (2011), "On motivic cohomology with Z/l coefficients", Annals of Mathematics, 174: 401–438, arXiv:0805.4430, doi:10.4007/annals.2011.174.1.11, MR 2811603, S2CID 15583705
• Levine, Marc (July 12, 2022). "WATCH: Motivic Cohomology: past, present and future" (video). youtube.com (in English). International Mathematical Union.

यह भी देखें

• स्थानान्तरण के साथ प्रीशीफ़
• ए¹ समरूपता सिद्धांत

बाहरी संबंध

• Huber, Annette; Müller-Stach, Stefan (2011), On the relation between Nori motives and Kontsevich periods, arXiv:1105.0865, Bibcode:2011arXiv1105.0865H
• Levine, Marc, K-theory and motivic cohomology of schemes I (PDF)
• Nori, Madhav, Lectures at TIFR, archived from the original on 22 Sep 2016
• Harrer Daniel, Comparison of the Categories of Motives defined by Voevodsky and Nori
• Wiesława Nizioł, p-adic motivic cohomology in arithmetic