बानाच माप

For Banach-space-valued measures, see vector measure.

माप सिद्धांत के गणित अनुशासन में, बनच माप एक निश्चित प्रकार का परिमित माप है जिसका उपयोग पसंद के सिद्धांत के प्रति संवेदनशील समस्याओं में ज्यामितीय क्षेत्र को औपचारिक बनाने के लिए किया जाता है।

परंपरागत रूप से, क्षेत्र की सहज धारणाओं को एक शास्त्रीय, गणनीय योगात्मक उपाय के रूप में औपचारिक रूप दिया जाता है। इसका गैर-मापने योग्य सेट को बिना किसी सुपरिभाषित क्षेत्र के छोड़ने का दुर्भाग्यपूर्ण प्रभाव है; इसका परिणाम यह है कि कुछ ज्यामितीय परिवर्तन क्षेत्र को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ते हैं, जो बानाच-टार्स्की विरोधाभास का सार है। इस समस्या से निपटने के लिए बनच माप एक प्रकार का सामान्यीकृत उपाय है।

एक सेट पर एक बनच माप Ω एक परिमित माप है, सिग्मा-एडिटिव_सेट_फंक्शन माप μ ≠ 0, के प्रत्येक उपसमूह के लिए परिभाषित ℘(Ω), और जिसका मान परिमित उपसमुच्चय पर 0 है।

एक बनच माप चालू Ω जो मान लेता है {0, 1} को एन कहा जाता हैUlam measure पर Ω.

जैसा कि विटाली ने सेट किया है|विटाली का विरोधाभास दिखाता है, बानाच उपायों को अनगिनत योगात्मक उपायों तक मजबूत नहीं किया जा सकता है।

स्टीफ़न बानाच ने दिखाया कि यूक्लिडियन विमान के लिए बानाच माप को परिभाषित करना संभव है, जो सामान्य लेब्सेग माप के अनुरूप है। इसका मतलब यह है कि प्रत्येक लेब्सेग-मापन योग्य उपसमुच्चय $\mathbb {R} ^{2}$ बनच-मापने योग्य भी है, जिसका अर्थ है कि दोनों माप बराबर हैं। इस माप का अस्तित्व दो आयामों में बानाच-टार्स्की विरोधाभास की असंभवता को साबित करता है: परिमित लेबेस्ग माप के दो-आयामी सेट को सीमित रूप से कई सेटों में विघटित करना संभव नहीं है, जिन्हें एक अलग माप के साथ एक सेट में फिर से जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह बानाच माप के गुणों का उल्लंघन करेगा जो लेबेस्ग माप का विस्तार करता है।

बाहरी संबंध

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