गिब्स माप

गणित में, गिब्स माप, जोशिया विलार्ड गिब्स के नाम पर रखा गया, संभाव्यता माप है जो संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकीय यांत्रिकी की कई समस्याओं में प्रायः देखा जाता है। यह अनंत प्रणालियों के लिए विहित समुच्चय का सामान्यीकरण है। विहित समुच्चय पद्धति X के x (समकक्ष, यादृच्छिक चर X का मान x) अवस्था में

$P(X=x)={\frac {1}{Z(\beta )}}\exp(-\beta E(x))$ के रूप में होने की प्रायिकता देता है।

यहाँ, E अवस्थाओं के समष्टि से वास्तविक संख्याओं तक फलन है; भौतिकी अनुप्रयोगों में, E(x) की व्याख्या विन्यास x की ऊर्जा के रूप में की जाती है। पैरामीटर β मुक्त पैरामीटर है; भौतिकी में, यह व्युत्क्रम तापमान है। सामान्यीकरण स्थिरांक Z(β) विभाजन फलन (गणित) है। यद्यपि, अनंत प्रणालियों में, कुल ऊर्जा अब सीमित संख्या नहीं है और इसका उपयोग किसी विहित समुच्चय की संभाव्यता वितरण के पारंपरिक निर्माण में नहीं किया जा सकता है। सांख्यिकीय भौतिकी में पारंपरिक दृष्टिकोण ने गहन गुण की सीमा का अध्ययन किया क्योंकि परिमित प्रणाली का आकार अनंत ( ऊष्मागतिक सीमा) तक पहुंचता है। जब ऊर्जा फलन को उन शब्दों के योग के रूप में लिखा जा सकता है जिनमें प्रत्येक में परिमित उपप्रणाली से मात्र चर सम्मिलित होते हैं, तो गिब्स माप की धारणा वैकल्पिक दृष्टिकोण प्रदान करती है। गिब्स उपायों को रोलैंड डोब्रुशिन, ऑस्कर लैनफोर्ड और डेविड रूएल जैसे संभाव्यता सिद्धांतकारों द्वारा प्रस्तावित किया गया था और परिमित प्रणालियों की सीमा लेने के अतिरिक्त सीधे अनंत प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए रूपरेखा प्रदान की गई थी।

एक माप गिब्स माप है यदि प्रत्येक परिमित उपप्रणाली पर इसके द्वारा उत्पन्न सप्रतिबन्ध प्रायिकताएं स्थिरता की अवस्था को संतुष्ट करती हैं: यदि परिमित उपप्रणाली के बाहर स्वतंत्रता की सभी घात बद्धवत हैं, तो इन सीमा अवस्थाओं के अधीन उपप्रणाली के लिए विहित समुच्चय गिब्स में प्रायिकताओं से मेल खाता है स्वतंत्रता की बद्धवत घात पर सप्रतिबन्ध संभाव्यता को मापें।

हैमरस्ले-क्लिफ़ोर्ड प्रमेय का तात्पर्य है कि कोई भी संभाव्यता माप जो मार्कोव गुण को संतुष्ट करता है वह (समष्टिीय रूप से परिभाषित) ऊर्जा फलन के उचित विकल्प के लिए गिब्स माप है। इसलिए, गिब्स माप भौतिकी के बाहर व्यापक समस्याओं पर लागू होता है, जैसे हॉपफील्ड नेटवर्क, मार्कोव नेटवर्क, मार्कोव तर्क नेटवर्क और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में इकोनो भौतिक विज्ञान हैं। समष्टिीय (परिमित-सीमा) अन्योन्य क्रिया वाले पद्धति में गिब्स माप किसी दिए गए अपेक्षित ऊर्जा घनत्व के लिए एन्ट्रापी (सामान्य अवधारणा) घनत्व को अधिकतम करता है; या, समकक्ष, यह ऊष्मागतिक मुक्त ऊर्जा घनत्व को कम करता है।

एक अनंत प्रणाली का गिब्स माप आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं है, परिमित प्रणाली के विहित समुच्चय के विपरीत, जो अद्वितीय है। से अधिक गिब्स माप का अस्तित्व समरूपता टूटने और चरण संक्रमण चरण सह-अस्तित्व जैसी सांख्यिकीय घटनाओं से जुड़ा हुआ है।

सांख्यिकीय भौतिकी

किसी पद्धति पर गिब्स मापों का समुच्चय सदैव उत्तल होता है, इसलिए या तो अद्वितीय गिब्स माप होता है (जिस अवस्था में पद्धति को ऊर्जापथी कहा जाता है), या अनंत रूप से कई हैं (और पद्धति को गैर ऊर्जापथी कहा जाता है)। गैर ऊर्जापथी स्थिति में, गिब्स उपायों को बहुत कम संख्या में विशेष गिब्स उपायों के उत्तल संयोजन के समुच्चय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें शुद्ध अवस्थाओं के रूप में जाना जाता है (शुद्ध अवस्थाओं की संबंधित परन्तु विशिष्ट धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। भौतिक अनुप्रयोगों में, हैमिल्टनियन (ऊर्जा फलन) में सामान्यतः समष्टिीयता के सिद्धांत का कुछ अर्थ होता है, और शुद्ध अवस्थाओं में क्लस्टर अपघटन गुण होती है जो दूर-दूर स्थित उपप्रणाली स्वतंत्र होती है। व्यवहार में, भौतिक रूप से यथार्थवादी प्रणालियाँ इन शुद्ध अवस्थाओं में से में पाई जाती हैं।

यदि हैमिल्टनियन के निकट समरूपता है, तो अद्वितीय (अर्थात ऊर्जापथी) गिब्स माप आवश्यक रूप से समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होगा। परन्तु एकाधिक (अर्थात गैर ऊर्जापथी) गिब्स उपायों की स्थिति में, हैमिल्टनियन समरूपता के अंतर्गत शुद्ध अवस्थाएं सामान्यतः अपरिवर्तनीय नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, क्रांतिक तापमान के निम्न अनंत लौहचुम्बकीय आइसिंग मॉडल में, दो शुद्ध अवस्थाएँ होती हैं, अधिकाशंतः-उच्च और अधिकाशंतः-निम्न की अवस्थाएँ, जो मॉडल की $\mathbb {Z} _{2}$ समरूपता के अंतर्गत परस्पर परिवर्तित होती हैं।

मार्कोव गुण

मार्कोव गुण का उदाहरण आइसिंग मॉडल के गिब्स माप में देखा जा सकता है। किसी दिए गए चक्रण σ_k की अवस्था s में होना की प्रायिकता, सिद्धांत रूप में, पद्धति में अन्य सभी चक्रणों की अवस्था पर निर्भर हो सकती है। इस प्रकार, हम प्रायिकता को

$P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)$ के रूप में लिख सकते हैं।

यद्यपि, मात्र परिमित-श्रेणी के अन्योन्य क्रिया (उदाहरण के लिए, निकटतम-निकटवर्ती अन्योन्य क्रिया) वाले आइसिंग मॉडल में, हमारे निकट वस्तुतः

$P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\neq k)=P(\sigma _{k}=s\mid \sigma _{j},\,j\in N_{k})$,

है, जहाँ N_k स्थल k का निकटवर्ती है। अर्थात, स्थल k पर प्रायिकता मात्र सीमित निकटवर्ती में चक्रण पर निर्भर करती है। यह अंतिम समीकरण समष्टिीय मार्कोव गुण के रूप में है। इस गुण वाले मापों को कभी-कभी मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र कहा जाता है। अधिक दृढ़ता से, इसके विपरीत भी सत्य है: मार्कोव गुण वाले किसी भी धनात्मक संभाव्यता वितरण (प्रत्येक समष्टि गैर-शून्य घनत्व) को उचित ऊर्जा फलन के लिए गिब्स माप के रूप में दर्शाया जा सकता है। यह हैमरस्ले-क्लिफ़ोर्ड प्रमेय है।

जालकों पर औपचारिक परिभाषा

एक जालक पर यादृच्छिक क्षेत्र के विशेष स्थिति के लिए औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है। यद्यपि, गिब्स माप का विचार इससे कहीं अधिक सामान्य है।

एक जालक (समुच्चय) पर गिब्स यादृच्छिक क्षेत्र की परिभाषा के लिए कुछ शब्दावली की आवश्यकता होती है:

• जालक: गणनीय समुच्चय $\mathbb {L}$।
• एकल-चक्रण समष्टि: संभाव्यता समष्टि $(S,{\mathcal {S}},\lambda )$।
• संरूपण समष्टि (भौतिकी): $(\Omega ,{\mathcal {F}})$, जहाँ $\Omega =S^{\mathbb {L} }$ और ${\mathcal {F}}={\mathcal {S}}^{\mathbb {L} }$।
• एक विन्यास ω ∈ Ω और उपसमुच्चय $\Lambda \subset \mathbb {L}$ दिया गया है, ω से Λ का प्रतिबंध $\omega _{\Lambda }=(\omega (t))_{t\in \Lambda }$ है। यदि $\Lambda _{1}\cap \Lambda _{2}=\emptyset$ और $\Lambda _{1}\cup \Lambda _{2}=\mathbb {L}$, तो संरूपण $\omega _{\Lambda _{1}}\omega _{\Lambda _{2}}$ वह संरूपण है जिसके Λ₁ और Λ₂ पर प्रतिबंध क्रमशः $\omega _{\Lambda _{1}}$ और $\omega _{\Lambda _{2}}$ हैं।
• $\mathbb {L}$ के सभी परिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय ${\mathcal {L}}$ है।
• प्रत्येक उपसमुच्चय $\Lambda \subset \mathbb {L}$ के लिए, ${\mathcal {F}}_{\Lambda }$ सिग्माफलनों $(\sigma (t))_{t\in \Lambda }$ के वर्ग द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है, जहां $\sigma (t)(\omega )=\omega (t)$। इन σ-बीजगणित का संघ $\Lambda$ के रूप में ${\mathcal {L}}$ पर भिन्न होता है, जो जालक पर सिलेंडर समुच्चय का बीजगणित है।
• संभाव्यता: फलनों का वर्ग $\Phi =(\Phi _{A})_{A\in {\mathcal {L}}}$ Φ_A : Ω → R जैसे कि
  1. प्रत्येक के लिए $A\in {\mathcal {L}},\Phi _{A}$ ${\mathcal {F}}_{A}$-मापने योग्य है, जिसका अर्थ है कि यह मात्र प्रतिबंध $\omega _{A}$ पर निर्भर करता है (और ऐसा मापने योग्य होता है)।
  2. सभी $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ और ω ∈ Ω के लिए, निम्नलिखित श्रृंखला स्थित है:

$H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )=\sum _{A\in {\mathcal {L}},A\cap \Lambda \neq \emptyset }\Phi _{A}(\omega ).$

हम Φ_A की व्याख्या परिमित समुच्चय A के सभी बिंदुओं के बीच परस्पर क्रिया से जुड़ी कुल ऊर्जा (हैमिल्टनियन) में योगदान के रूप में करते हैं। फिर $\Lambda$ से मिलने वाले सभी परिमित समुच्चयों A की कुल ऊर्जा में योगदान के रूप में $H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega )$ है । ध्यान दें कि कुल ऊर्जा सामान्यतः अनंत होती है, परन्तु जब हम प्रत्येक $\Lambda$ का स्थानीयकृत करते हैं, तो यह सीमित हो सकती है, हमें अपेक्षा है।

• संभावित Φ के लिए सीमा प्रतिबन्ध ${\bar {\omega }}$ के साथ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ में हैमिल्टनियन को

$H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})=H_{\Lambda }^{\Phi }\left(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}}\right)$

द्वारा परिभाषित किया गया है जहां $\Lambda ^{c}=\mathbb {L} \setminus \Lambda$।

• सीमा प्रतिबन्धों ${\bar {\omega }}$ और व्युत्क्रम तापमान β > 0 (प्रायिकता Φ और λ के लिए) के साथ $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ में विभाजन फलन (गणित) को

$Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})=\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }})),$

द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां

$\lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )=\prod _{t\in \Lambda }\lambda (\mathrm {d} \omega (t)),$

उत्पाद माप है

एक संभावित Φ λ-स्वीकार्य है यदि $Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})$ सभी $\Lambda \in {\mathcal {L}},{\bar {\omega }}\in \Omega$ और β > 0 के लिए परिमित है।

$(\Omega ,{\mathcal {F}})$ पर संभाव्यता माप μ एक λ-स्वीकार्य क्षमता Φ के लिए एक गिब्स माप है यदि यह सभी $A\in {\mathcal {F}}$ और $\Lambda \in {\mathcal {L}}$ के लिए डोब्रुशिन-लैनफोर्ड-रूएल (DLR) समीकरण

$\int \mu (\mathrm {d} {\bar {\omega }})Z_{\Lambda }^{\Phi }({\bar {\omega }})^{-1}\int \lambda ^{\Lambda }(\mathrm {d} \omega )\exp(-\beta H_{\Lambda }^{\Phi }(\omega \mid {\bar {\omega }}))1_{A}(\omega _{\Lambda }{\bar {\omega }}_{\Lambda ^{c}})=\mu (A)$

को संतुष्ट करता है।

एक उदाहरण

उपरोक्त परिभाषाओं को समझने में सहायता के लिए, निकटतम-निकटवर्ती अन्योन्य क्रिया (युग्मन स्थिरांक J) और Z^d पर एक चुंबकीय क्षेत्र (h) के साथ आइसिंग मॉडल के महत्वपूर्ण उदाहरण में संबंधित मात्राएं यहां दी गई हैं:

• जालक रिक्त $\mathbb {L} =\mathbf {Z} ^{d}$ है।
• एकल-चक्रण समष्टि S = {−1, 1} है।
• प्रायिकता

$\Phi _{A}(\omega )={\begin{cases}-J\,\omega (t_{1})\omega (t_{2})&{\text{if }}A=\{t_{1},t_{2}\}{\text{ with }}\|t_{2}-t_{1}\|_{1}=1\\-h\,\omega (t)&{\text{if }}A=\{t\}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$ द्वारा दिया गया है

यह भी देखें

• बोल्ट्ज़मैन वितरण
• घातीय वर्ग
• गिब्स एल्गोरिथ्म
• गिब्स प्रतिदर्श
• परस्पर क्रिया कण प्रणाली
• संभावित खेल बद्ध तर्कसंगत मॉडल
• सॉफ्टमैक्स फलन
• स्टोकेस्टिक कोशीय ऑटोमेटा

अग्रिम पठन

• Georgii, H.-O. (2011) [1988]. Gibbs Measures and Phase Transitions (2nd ed.). Berlin: de Gruyter. ISBN 978-3-11-025029-9.
• Friedli, S.; Velenik, Y. (2017). Statistical Mechanics of Lattice Systems: a Concrete Mathematical Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107184824.