आदर्श संख्या

संख्या सिद्धांत में एक आदर्श संख्या एक बीजगणितीय पूर्णांक है जो एक संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग (गणित) में एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) का प्रतिनिधित्व करता है; यह विचार गंभीर दुःख द्वारा विकसित किया गया था, और रिचर्ड डेडेकाइंड की रिंगों के लिए आदर्श (रिंग सिद्धांत) की परिभाषा को जन्म दिया। बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय में एक आदर्श प्रधान होता है यदि इसमें वलय के एक ही तत्व के गुणज होते हैं, और अन्यथा गैरप्रधान होता है। प्रमुख आदर्श प्रमेय के अनुसार हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र के एक आदर्श तक विस्तारित होने पर कोई भी गैर-प्रमुख आदर्श प्रमुख बन जाता है। इसका मतलब यह है कि हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र के पूर्णांकों के वलय का एक तत्व है, जो एक आदर्श संख्या है, जैसे कि मूल गैर-प्रमुख आदर्श पूर्णांकों के इस वलय के तत्वों द्वारा इस आदर्श संख्या के सभी गुणकों के संग्रह के बराबर है। पूर्णांकों के मूल क्षेत्र के वलय में स्थित है।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, चलो $y$ की जड़ हो $y^{2}+y+6=0$, फिर क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय $\mathbb {Q} (y)$ है $\mathbb {Z} [y]$, जिसका अर्थ है सब कुछ $a+b\cdot y$ साथ $a$ और $b$ पूर्णांक पूर्णांकों का वलय बनाते हैं। इस वलय में एक गैर-प्रमुख आदर्श का एक उदाहरण सभी का समुच्चय है $2a+y\cdot b$ कहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं; इस आदर्श का घन मूलधन है, और वास्तव में वर्ग समूह क्रम तीन का चक्रीय है। संबंधित वर्ग फ़ील्ड किसी तत्व को जोड़कर प्राप्त किया जाता है $w$ संतुष्टि देने वाला $w^{3}-w-1=0$ को $\mathbb {Q} (y)$, देना $\mathbb {Q} (y,w)$. गैर-प्रमुख आदर्श के लिए एक आदर्श संख्या $2a+y\cdot b$ है $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$. चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$ यह एक बीजगणितीय पूर्णांक है.

वर्ग क्षेत्र के पूर्णांकों की रिंग के सभी तत्व जिन्हें जब गुणा किया जाता है $\iota$ में एक परिणाम दें $\mathbb {Z} [y]$ स्वरूप के हैं $a\cdot \alpha +y\cdot \beta$, कहाँ

$\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23$

और

$\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.$

गुणांक α और β भी बीजगणितीय पूर्णांक हैं, जो संतोषजनक हैं

$\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0$

और

$\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0$

क्रमश। गुणा $a\cdot \alpha +b\cdot \beta$ आदर्श संख्या से $\iota$ देता है $2a+b\cdot y$, जो गैर-प्रमुख आदर्श है।

इतिहास

कुमेर ने पहली बार 1844 में एक अस्पष्ट पत्रिका में साइक्लोटोमिक क्षेत्रों में अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता को प्रकाशित किया; इसे 1847 में जोसेफ़ लिउविल|लिउविल की पत्रिका में पुनर्मुद्रित किया गया था। 1846 और 1847 में बाद के पत्रों में उन्होंने अपना मुख्य प्रमेय, (वास्तविक और आदर्श) अभाज्यों में अद्वितीय गुणनखंडन प्रकाशित किया।

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में उनकी रुचि के कारण कुमेर को उनके आदर्श जटिल संख्याओं की ओर प्रेरित किया गया था; यहां तक ​​कि एक कहानी भी अक्सर बताई जाती है कि गेब्रियल लैमे|लेमे की तरह कुमेर का मानना ​​था कि उन्होंने फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध कर लिया है, जब तक कि पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने उन्हें नहीं बताया कि उनका तर्क अद्वितीय गुणनखंडन पर निर्भर था; लेकिन यह कहानी सबसे पहले 1910 में कर्ट हेन्सल द्वारा बताई गई थी और सबूत यह संकेत देते हैं कि यह संभवतः हेन्सेल के किसी स्रोत के भ्रम से उत्पन्न हुई है। हेरोल्ड एडवर्ड्स (गणितज्ञ) का कहना है कि यह धारणा कि कुमेर मुख्य रूप से फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय में रुचि रखते थे, निश्चित रूप से गलत है (एडवर्ड्स 1977, पृष्ठ 79)। कुमेर द्वारा अभाज्य संख्या को दर्शाने के लिए λ अक्षर का उपयोग, एकता के λवें मूल को निरूपित करने के लिए α, और अभाज्य संख्या के गुणनखंडन का उनका अध्ययन $p\equiv 1{\pmod {\lambda }}$ से बनी सम्मिश्र संख्याओं में $\lambda$एकता की सभी जड़ें सीधे कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के एक पेपर से निकलती हैं जो पारस्परिकता कानून से संबंधित है। कुमेर का 1844 का संस्मरण कोनिग्सबर्ग विश्वविद्यालय के जयंती समारोह के सम्मान में था और जैकोबी को श्रद्धांजलि के रूप में था। हालाँकि कुमेर ने 1830 के दशक में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय का अध्ययन किया था और शायद जानते थे कि उनके सिद्धांत का इसके अध्ययन पर प्रभाव पड़ेगा, यह अधिक संभावना है कि जैकोबी (और कार्ल फ्रेडरिक गॉस | गॉस) की रुचि का विषय, उच्च पारस्परिकता कानून, अधिक महत्व रखता है उसके लिए। कुमेर ने नियमित अभाज्य संख्याओं के लिए फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अपने आंशिक प्रमाण को एक प्रमुख वस्तु के बजाय संख्या सिद्धांत की जिज्ञासा के रूप में और उच्च पारस्परिकता कानून (जिसे उन्होंने अनुमान के रूप में बताया) को प्रमुख विषय और समकालीन संख्या सिद्धांत के शिखर के रूप में संदर्भित किया। . दूसरी ओर, यह बाद की घोषणा तब की गई थी जब कुमेर अभी भी पारस्परिकता पर अपने काम की सफलता के बारे में उत्साहित थे और जब फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय पर उनका काम समाप्त हो रहा था, इसलिए इसे शायद कुछ संदेह के साथ लिया जा सकता है।

सामान्य मामले में कुमेर के विचारों का विस्तार अगले चालीस वर्षों के दौरान क्रोनकर और डेडेकाइंड द्वारा स्वतंत्र रूप से पूरा किया गया। प्रत्यक्ष सामान्यीकरण में कठिन कठिनाइयों का सामना करना पड़ा, और इसने अंततः डेडेकाइंड को मॉड्यूल (गणित) और आदर्श (रिंग सिद्धांत) के सिद्धांत के निर्माण के लिए प्रेरित किया। क्रोनकर ने रूपों के सिद्धांत (द्विघात रूपों का सामान्यीकरण) और विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के सिद्धांत को विकसित करके कठिनाइयों से निपटा। डेडेकाइंड का योगदान रिंग सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित का आधार बन जाएगा, जबकि क्रोनकर का बीजगणितीय ज्यामिति में प्रमुख उपकरण बन जाएगा।

संदर्भ

• Nicolas Bourbaki, Elements of the History of Mathematics. Springer-Verlag, NY, 1999.
• Harold M. Edwards, Fermat's Last Theorem. A genetic introduction to number theory. Graduate Texts in Mathematics vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• C.G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akad. Wiss. Berlin (1839) 89-91.
• E.E. Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reprinted in Jour. de Math. 12 (1847) 185-212.
• E.E. Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. für Math. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stillwell, introduction to Theory of Algebraic Integers by Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Great Britain, 1996.

बाहरी संबंध

• Ideal Numbers, Proof that the theory of ideal numbers saves unique factorization for cyclotomic integers at Fermat's Last Theorem Blog.