लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय, जिसे लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में भी जाना जाता है, एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के व्युत्क्रम फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला विस्तार देता है।

कथन

कल्पना करना z को एक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है w प्रपत्र के एक समीकरण द्वारा

$z=f(w)$

कहाँ f एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है a और $f'(a)\neq 0.$ तब समीकरण को उलटना या हल करना संभव है w, इसे रूप में व्यक्त करना $w=g(z)$ एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया गया

$g(z)=a+\sum _{n=1}^{\infty }g_{n}{\frac {(z-f(a))^{n}}{n!}},$

कहाँ

$g_{n}=\lim _{w\to a}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left[\left({\frac {w-a}{f(w)-f(a)}}\right)^{n}\right].$

प्रमेय आगे बताता है कि इस श्रृंखला में अभिसरण की एक गैर-शून्य त्रिज्या है, अर्थात, $g(z)$ के एक विश्लेषणात्मक कार्य का प्रतिनिधित्व करता है z के एक पड़ोस में (गणित)। $z=f(a).$ इसे श्रृंखला का प्रत्यावर्तन भी कहा जाता है।

यदि विश्लेषणात्मकता के बारे में दावे छोड़ दिए जाते हैं, तो सूत्र औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए भी मान्य है और इसे विभिन्न तरीकों से सामान्यीकृत किया जा सकता है: इसे कई चर के कार्यों के लिए तैयार किया जा सकता है; इसे एक तैयार फार्मूला प्रदान करने के लिए बढ़ाया जा सकता है F(g(z)) किसी भी विश्लेषणात्मक कार्य के लिए F; और इसे मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है $f'(a)=0,$ जहां उलटा g एक बहुमूल्यवान फ़ंक्शन है।

इस प्रमेय को जोसेफ लुई लैग्रेंज ने सिद्ध किया था और हंस हेनरिक बर्मन द्वारा सामान्यीकृत, दोनों 18वीं सदी के अंत में। जटिल विश्लेषण और समोच्च एकीकरण का उपयोग करके एक सीधी व्युत्पत्ति है; जटिल औपचारिक शक्ति श्रृंखला संस्करण बहुपदों के सूत्र को जानने का परिणाम है, इसलिए विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत को लागू किया जा सकता है। वास्तव में, विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन सिद्धांत की मशीनरी इस प्रमाण में केवल औपचारिक तरीके से प्रवेश करती है, जिसमें वास्तव में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # औपचारिक अवशेषों की कुछ संपत्ति की आवश्यकता होती है, और एक अधिक प्रत्यक्ष औपचारिक औपचारिक शक्ति श्रृंखला # लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र है उपलब्ध।

अगर f एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला है, तो उपरोक्त सूत्र संघात्मक व्युत्क्रम श्रृंखला के गुणांक नहीं देता है gश्रृंखला के गुणांकों के संदर्भ में सीधे f. यदि कोई कार्यों को व्यक्त कर सकता है f और g औपचारिक शक्ति श्रृंखला में जैसे

$f(w)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}{\frac {w^{k}}{k!}}\qquad {\text{and}}\qquad g(z)=\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}{\frac {z^{k}}{k!}}$

साथ f₀ = 0 और f₁ ≠ 0, तो बेल बहुपद के पद में व्युत्क्रम गुणांक का एक स्पष्ट रूप दिया जा सकता है:

$g_{n}={\frac {1}{f_{1}^{n}}}\sum _{k=1}^{n-1}(-1)^{k}n^{(k)}B_{n-1,k}({\hat {f}}_{1},{\hat {f}}_{2},\ldots ,{\hat {f}}_{n-k}),\quad n\geq 2,$

कहाँ

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{k}&={\frac {f_{k+1}}{(k+1)f_{1}}},\\g_{1}&={\frac {1}{f_{1}}},{\text{ and}}\\n^{(k)}&=n(n+1)\cdots (n+k-1)\end{aligned}}$

बढ़ती फैक्टोरियल है.

कब f₁ = 1, अंतिम सूत्र की व्याख्या असोसिएहेड्रॉन के फलकों के संदर्भ में की जा सकती है

$g_{n}=\sum _{F{\text{ face of }}K_{n}}(-1)^{n-\dim F}f_{F},\quad n\geq 2,$ कहाँ $f_{F}=f_{i_{1}}\cdots f_{i_{m}}$ प्रत्येक चेहरे के लिए $F=K_{i_{1}}\times \cdots \times K_{i_{m}}$ असोसिएहेड्रॉन का $K_{n}.$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, डिग्री का बीजगणितीय समीकरण p

$x^{p}-x+z=0$

के लिए हल किया जा सकता है x फ़ंक्शन के लिए लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र के माध्यम से f(x) = x − x^p, जिसके परिणामस्वरूप एक औपचारिक श्रृंखला समाधान प्राप्त होता है

$x=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {pk}{k}}{\frac {z^{(p-1)k+1}}{(p-1)k+1}}.$

अभिसरण परीक्षणों द्वारा, यह श्रृंखला वास्तव में अभिसरण के लिए है $|z|\leq (p-1)p^{-p/(p-1)},$ जो कि सबसे बड़ी डिस्क भी है जिसमें स्थानीय व्युत्क्रम होता है f परिभाषित किया जा सकता।

प्रमाण का रेखाचित्र

सरलता के लिए मान लीजिए $z=0=f(w=0)$. फिर हम गणना कर सकते हैं

$\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f(w)-z}}=\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f'(g(z))w+O(w^{2})}}={\frac {1}{f'(g(z))}}=g'(f(w))=g'(z).$

यदि हम ज्यामितीय श्रृंखला का उपयोग करके इंटीग्रैंड का विस्तार करते हैं तो हमें प्राप्त होता है

$\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{f(w)-z}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{(f(w))^{n+1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\oint _{w=0}{\frac {dw}{2\pi i}}{\frac {1}{w^{n+1}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0},$

जहां अंतिम चरण में हमने इस तथ्य का उपयोग किया था $f(w)$ एक साधारण शून्य है.

अंततः हम एकीकरण कर सकते हैं $z$ ध्यान में रखना $g(0)=0$

$g'(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0}~~\Longrightarrow ~~g(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n+1}}{(n+1)!}}\left.{\frac {d^{n}}{dw^{n}}}\left({\frac {w}{f(w)}}\right)^{n+1}\right|_{w=0}.$

सारांश सूचकांक को पुनः परिभाषित करने पर हमें बताया गया सूत्र प्राप्त होता है।

अनुप्रयोग

लैग्रेंज-बर्मन सूत्र

लैग्रेंज व्युत्क्रम प्रमेय का एक विशेष मामला है जिसका उपयोग साहचर्य में किया जाता है और जब लागू होता है $f(w)=w/\phi (w)$ कुछ विश्लेषणात्मक के लिए $\phi (w)$ साथ $\phi (0)\neq 0.$ लेना $a=0$ प्राप्त करने के लिए $f(a)=f(0)=0.$ फिर व्युत्क्रम के लिए $g(z)$ (संतुष्टि देने वाला $f(g(z))\equiv z$), अपने पास

${\begin{aligned}g(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}\left(\left({\frac {w}{w/\phi (w)}}\right)^{n}\right)\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\left[{\frac {1}{(n-1)!}}\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}(\phi (w)^{n})\right]z^{n},\end{aligned}}$

जिसे वैकल्पिक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

$[z^{n}]g(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}]\phi (w)^{n},$

कहाँ $[w^{r}]$ एक ऑपरेटर है जो का गुणांक निकालता है $w^{r}$ के एक समारोह की टेलर श्रृंखला में w.

सूत्र के सामान्यीकरण को लैग्रेंज-बर्मन सूत्र के रूप में जाना जाता है:

$[z^{n}]H(g(z))={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](H'(w)\phi (w)^{n})$

कहाँ H एक मनमाना विश्लेषणात्मक कार्य है।

कभी-कभी, व्युत्पन्न H′(w) काफी जटिल हो सकता है. सूत्र का एक सरल संस्करण प्रतिस्थापित करता है H′(w) साथ H(w)(1 − φ′(w)/φ(w)) पाने के

$[z^{n}]H(g(z))=[w^{n}]H(w)\phi (w)^{n-1}(\phi (w)-w\phi '(w)),$

कौन शामिल है φ′(w) के बजाय H′(w).

लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन

Main article: Lambert W function

लैंबर्ट W फ़ंक्शन फ़ंक्शन है $W(z)$ यह समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित है

$W(z)e^{W(z)}=z.$

हम टेलर श्रृंखला की गणना करने के लिए प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं $W(z)$ पर $z=0.$ हम लेते हैं $f(w)=we^{w}$ और $a=0.$ उसे पहचानते हुए

${\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{\alpha x}=\alpha ^{n}e^{\alpha x},$

यह देता है

${\begin{aligned}W(z)&=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{w\to 0}{\frac {d^{n-1}}{dw^{n-1}}}e^{-nw}\right]{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{n-1}{\frac {z^{n}}{n!}}\\{}&=z-z^{2}+{\frac {3}{2}}z^{3}-{\frac {8}{3}}z^{4}+O(z^{5}).\end{aligned}}$

इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या है $e^{-1}$ (लैंबर्ट फ़ंक्शन की मुख्य शाखा देते हुए)।

एक श्रृंखला जो बड़े पैमाने पर एकत्रित होती है z (हालाँकि सभी के लिए नहीं z) श्रृंखला व्युत्क्रम द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है। कार्यक्रम $f(z)=W(e^{z})-1$ समीकरण को संतुष्ट करता है

$1+f(z)+\ln(1+f(z))=z.$

तब $z+\ln(1+z)$ एक शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है और उलटा किया जा सकता है। यह के लिए एक श्रृंखला देता है $f(z+1)=W(e^{z+1})-1{\text{:}}$

$W(e^{1+z})=1+{\frac {z}{2}}+{\frac {z^{2}}{16}}-{\frac {z^{3}}{192}}-{\frac {z^{4}}{3072}}+{\frac {13z^{5}}{61440}}-O(z^{6}).$

$W(x)$ प्रतिस्थापित करके गणना की जा सकती है $\ln x-1$ के लिए z उपरोक्त शृंखला में। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापित करना −1 के लिए z का मान देता है $W(1)\approx 0.567143.$

बाइनरी पेड़

विचार करना सेट ${\mathcal {B}}$ बिना लेबल वाले बाइनरी पेड़ों की। का एक तत्व ${\mathcal {B}}$ या तो शून्य आकार का एक पत्ता है, या दो उपवृक्षों वाला एक मूल नोड है। द्वारा निरूपित करें $B_{n}$ पर बाइनरी पेड़ों की संख्या $n$ नोड्स.

जड़ को हटाने से एक बाइनरी पेड़ छोटे आकार के दो पेड़ों में विभाजित हो जाता है। इससे जनरेटिंग फ़ंक्शन पर कार्यात्मक समीकरण प्राप्त होता है $\textstyle B(z)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}z^{n}{\text{:}}$

$B(z)=1+zB(z)^{2}.$

दे $C(z)=B(z)-1$, किसी के पास इस प्रकार है $C(z)=z(C(z)+1)^{2}.$ प्रमेय को साथ में लागू करना $\phi (w)=(w+1)^{2}$ पैदावार

$B_{n}=[z^{n}]C(z)={\frac {1}{n}}[w^{n-1}](w+1)^{2n}={\frac {1}{n}}{\binom {2n}{n-1}}={\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}.$

इससे पता चलता है कि $B_{n}$ है nवां कैटलन संख्या ।

अभिन्नों का स्पर्शोन्मुख सन्निकटन

लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में जो लाप्लास-प्रकार के इंटीग्रल्स के लिए एसिम्प्टोटिक सन्निकटन देता है, फ़ंक्शन व्युत्क्रम को एक महत्वपूर्ण कदम के रूप में लिया जाता है।

यह भी देखें

• फ़ा डि ब्रूनो का सूत्र उन दो श्रृंखलाओं के गुणांकों के संदर्भ में दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं की संरचना के गुणांक देता है। समान रूप से, यह एक समग्र फलन के nवें अवकलज के लिए एक सूत्र है।
• किसी अन्य प्रमेय के लिए लैग्रेंज प्रत्यावर्तन प्रमेय को कभी-कभी व्युत्क्रम प्रमेय भी कहा जाता है
• औपचारिक शक्ति श्रृंखला#लैग्रेंज व्युत्क्रम सूत्र

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Bürmann's Theorem". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Series Reversion". MathWorld.
• Bürmann–Lagrange series at Springer EOM