टिट्ज़ विस्तार प्रमेय

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टोपोलॉजी में, टिट्ज़ एक्सटेंशन प्रमेय (जिसे टिट्ज़-उरीसोहन-ब्रौवर एक्सटेंशन प्रमेय या उरीसोहन-ब्रौवर लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है)।) बताता है कि सामान्य स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस के एक बंद उपसमुच्चय पर निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) को यदि आवश्यक हो तो सीमा को संरक्षित करते हुए, पूरे स्थान तक बढ़ाया जा सकता है।

औपचारिक कथन

अगर $X$ एक सामान्य स्थान है और

$$f:A\to \mathbb {R}$$

एक बंद उपसमुच्चय से एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र है $A$ का $X$ वास्तविक संख्या में $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी को ले जाने पर, वहां मौजूद है continuous extension का $f$ को $X;$ यानी वहां एक नक्शा मौजूद है

$$F:X\to \mathbb {R}$$

सभी पर निरंतर $X$ साथ $F(a)=f(a)$ सभी के लिए $a\in A.$ इसके अतिरिक्त, $F$ ऐसे चुना जा सकता है

$$\sup\{|f(a)|:a\in A\}~=~\sup\{|F(x)|:x\in X\},$$

वह है, यदि $f$ तब परिबद्ध है $F$ बाध्य होने के लिए चुना जा सकता है (उसी सीमा के साथ $f$).

इतिहास

एल. ई. जे. ब्रौवर और हेनरी लेबेस्गुए ने प्रमेय का एक विशेष मामला सिद्ध किया, जब $X$ एक परिमित आयामी वास्तविक सदिश समष्टि है। हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़ ने इसे सभी मीट्रिक स्थानों तक विस्तारित किया, और पावेल सैमुइलोविच उरीसोहन ने सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए, जैसा कि यहां बताया गया है, प्रमेय को सिद्ध किया।

समतुल्य कथन

यह प्रमेय उरीसोहन के लेम्मा के समतुल्य है (जो अंतरिक्ष की सामान्यता के बराबर भी है) और व्यापक रूप से लागू है, क्योंकि सभी मीट्रिक स्थान और सभी सघन स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं। इसे प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत किया जा सकता है $\mathbb {R}$ साथ $\mathbb {R} ^{J}$ कुछ अनुक्रमण सेट के लिए $J,$ कोई भी वापसी $\mathbb {R} ^{J},$ या कोई भी सामान्य विकृति वापस लेना#जो भी हो वापस लेना।

भिन्नताएँ

अगर $X$ एक मीट्रिक स्थान है, $A$ का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय $X$ और $f:A\to \mathbb {R}$ लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ एक लिप्सचिट्ज़ सतत फलन है $K,$ तब $f$ लिप्सचिट्ज़ निरंतर फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $F:X\to \mathbb {R}$ एक ही स्थिरांक के साथ $K.$ यह प्रमेय होल्डर स्थिति|होल्डर निरंतर कार्यों के लिए भी मान्य है, अर्थात यदि $f:A\to \mathbb {R}$ होल्डर निरंतर कार्य है जिसका स्थिरांक इससे कम या इसके बराबर है $1,$ तब $f$ होल्डर निरंतर फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $F:X\to \mathbb {R}$ उसी स्थिरांक के साथ. टिट्ज़ के प्रमेय का एक अन्य संस्करण (वास्तव में, सामान्यीकरण) एच. टोंग और जेड एर्कन के कारण है: होने देना $A$ सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस का एक बंद उपसमुच्चय बनें $X.$ अगर $f:X\to \mathbb {R}$ एक ऊपरी अर्धनिरंतर कार्य है, $g:X\to \mathbb {R}$ एक निचला अर्धनिरंतर कार्य, और $h:A\to \mathbb {R}$ एक सतत कार्य ऐसा है $f(x)\leq g(x)$ प्रत्येक के लिए $x\in X$ और $f(a)\leq h(a)\leq g(a)$ प्रत्येक के लिए $a\in A$, तो एक सतत है विस्तार $H:X\to \mathbb {R}$ का $h$ ऐसा है कि $f(x)\leq H(x)\leq g(x)$ प्रत्येक के लिए $x\in X.$ यह प्रमेय कुछ अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ भी मान्य है यदि $\mathbb {R}$ इसे सामान्य स्थानीय रूप से ठोस रिज़्ज़ स्थान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह भी देखें

• Blumberg theorem – Any real function on R admits a continuous restriction on a dense subset of R
• Hahn–Banach theorem – Theorem on extension of bounded linear functionals
• Whitney extension theorem – Partial converse of Taylor's theorem

संदर्भ

• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W. "Tietze's Extension Theorem." From MathWorld
• Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Bonan, Edmond (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 272: 714–717.