कोलमोगोरोव समष्टि

Separation axioms in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal  Hausdorff)
T6	(perfectly normal  Hausdorff)
History

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स एक 'टी' है₀ स्पेस या कोलमोगोरोव स्पेस (एंड्री कोलमोगोरोव के नाम पर) यदि X के प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के लिए, उनमें से कम से कम एक में नेबरहुड (गणित) है जिसमें दूसरा शामिल नहीं है। एक टी में₀ स्थान, सभी बिंदु स्थलाकृतिक रूप से भिन्न हैं।

इस स्थिति को टी कहा जाता है₀ स्थिति, पृथक्करण सिद्धांतों में सबसे कमजोर है। गणित में आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी टोपोलॉजिकल स्पेस टी हैं₀ रिक्त स्थान विशेष रूप से, सभी T1 स्पेस|T₁ रिक्त स्थान, यानी, वे सभी स्थान जिनमें प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के जोड़े के लिए एक पड़ोस होता है, जिसमें दूसरा शामिल नहीं होता है, टी हैं₀ रिक्त स्थान इसमें सभी हॉसडॉर्फ़ स्पेस|टी शामिल हैं₂ (या हॉसडॉर्फ) रिक्त स्थान, यानी, सभी टोपोलॉजिकल स्थान जिनमें अलग-अलग बिंदुओं पर असंयुक्त पड़ोस होते हैं। दूसरी दिशा में, प्रत्येक शांत स्थान (जो कि टी नहीं हो सकता है₁) टी है₀; इसमें किसी भी योजना (गणित) का अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्थान शामिल है। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए कोई टी का निर्माण कर सकता है₀ स्थलाकृतिक रूप से अविभाज्य बिंदुओं की पहचान करके स्थान।

टी₀ वे स्थान जो T नहीं हैं₁ रिक्त स्थान वास्तव में वे स्थान हैं जिनके लिए विशेषज्ञता प्रीऑर्डर एक गैर-तुच्छ आंशिक क्रम है। ऐसे रिक्त स्थान स्वाभाविक रूप से कंप्यूटर विज्ञान में होते हैं, विशेष रूप से सांकेतिक शब्दार्थ में।

परिभाषा

पर₀ स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक जोड़ा टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न होता है। अर्थात्, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं x और y के लिए एक खुला सेट होता है जिसमें इनमें से एक बिंदु होता है और दूसरा नहीं। अधिक सटीक रूप से टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स कोलमोगोरोव या है $\mathbf {T} _{0}$ अगर और केवल अगर:

अगर $a,b\in X$ और $a\neq b$, वहाँ एक खुला सेट O मौजूद है जैसे कि या तो $(a\in O)\wedge (b\notin O)$ या $(a\notin O)\wedge (b\in O)$.

ध्यान दें कि स्थलाकृतिक रूप से भिन्न बिंदु स्वचालित रूप से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, यदि सिंगलटन सेट {x} और {y} अलग-अलग सेट हैं तो बिंदु x और y को टोपोलॉजिकल रूप से अलग होना चाहिए। वह है,

पृथक ⇒ स्थलाकृतिक रूप से भिन्न ⇒ भिन्न

टोपोलॉजिकल रूप से भिन्न होने की संपत्ति, सामान्य तौर पर, अलग होने की तुलना में अधिक मजबूत होती है लेकिन अलग होने की तुलना में कमजोर होती है। एक टी में₀ अंतरिक्ष, ऊपर दूसरा तीर भी उलट जाता है; बिंदु अलग-अलग हैं यदि और केवल तभी जब वे अलग-अलग हों। इस प्रकार टी₀ स्वयंसिद्ध शेष पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ फिट बैठता है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

गणित में आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी टोपोलॉजिकल स्पेस टी हैं₀. विशेष रूप से, सभी हॉसडॉर्फ़ स्थान|हॉसडॉर्फ़ (टी₂) रिक्त स्थान, T1 स्थान|T₁ रिक्त स्थान और शांत स्थान टी हैं₀.

वे स्थान जो T नहीं हैं₀

• तुच्छ टोपोलॉजी के साथ एक से अधिक तत्वों वाला एक सेट। कोई भी बिंदु अलग नहीं है.
• सेट आर² जहां खुले सेट आर और आर में ही एक खुले सेट के कार्टेशियन उत्पाद हैं, यानी, सामान्य टोपोलॉजी के साथ आर का उत्पाद टोपोलॉजी और तुच्छ टोपोलॉजी के साथ आर; अंक (ए,बी) और (ए,सी) अलग-अलग नहीं हैं।
• वास्तविक रेखा आर से जटिल विमान सी तक सभी मापने योग्य कार्यों एफ का स्थान इस प्रकार है कि लेब्सग इंटीग्रल $\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$. दो कार्य जो लगभग हर जगह समान हैं, अप्रभेद्य हैं। नीचे भी देखें.

स्थान जो T हैं₀ लेकिन टी नहीं₁

• स्पेक (आर) पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी, एक क्रमविनिमेय रिंग आर का प्राइम स्पेक्ट्रम, हमेशा टी होता है₀ लेकिन आम तौर पर टी नहीं₁. गैर-बंद बिंदु अभाज्य आदर्शों के अनुरूप हैं जो अधिकतम आदर्श नहीं हैं। वे योजना (गणित) की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं।
• कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी सेट पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी टी है₀ लेकिन टी नहीं₁ चूंकि विशेष बिंदु बंद नहीं है (उसका बंद होना संपूर्ण स्थान है)। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला सिएरपिंस्की स्पेस है जो सेट {0,1} पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी है।
• कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी सेट पर बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी टी है₀ लेकिन टी नहीं₁. एकमात्र बंद बिंदु बहिष्कृत बिंदु है।
• आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट पर अलेक्जेंडर टोपोलॉजी टी है₀ लेकिन T नहीं होगा₁ जब तक कि आदेश अलग न हो (समानता से सहमत हो)। प्रत्येक परिमित टी₀ अंतरिक्ष इस प्रकार का है. इसमें विशेष मामलों के रूप में विशेष बिंदु और बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी भी शामिल हैं।
• पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर सही क्रम टोपोलॉजी एक संबंधित उदाहरण है।
• ओवरलैपिंग अंतराल टोपोलॉजी विशेष बिंदु टोपोलॉजी के समान है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त खुले सेट में 0 शामिल होता है।
• आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X, T होगा₀ यदि और केवल यदि एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर आंशिक ऑर्डर है। हालाँकि, X, T होगा₁ यदि और केवल यदि आदेश असतत है (अर्थात समानता से सहमत है)। तो एक स्थान T होगा₀ लेकिन टी नहीं₁ यदि और केवल यदि एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर एक गैर-अलग-अलग आंशिक ऑर्डर है।

टी के साथ संचालन₀ रिक्त स्थान

आमतौर पर अध्ययन किए जाने वाले टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण टी हैं₀. दरअसल, जब कई क्षेत्रों में गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषण (गणित) में, स्वाभाविक रूप से गैर-टी में भाग लेते हैं₀ रिक्त स्थान, वे आमतौर पर उन्हें टी से बदल देते हैं₀ रिक्त स्थान, नीचे वर्णित तरीके से। शामिल विचारों को प्रेरित करने के लिए, एक प्रसिद्ध उदाहरण पर विचार करें। स्पेस एलपी स्पेस|एल²(R) का तात्पर्य वास्तविक रेखा R से जटिल समतल C तक सभी मापनीय फलनों f का स्थान है, जैसे कि |f(x का Lebesgue अभिन्न अंग ')|²संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिमित समुच्चय है। यह स्थान मानक ||f| को परिभाषित करके एक मानक वेक्टर स्थान बन जाना चाहिए उस अभिन्न का. समस्या यह है कि यह वास्तव में एक मानक नहीं है, केवल एक सेमिनोर्म है, क्योंकि शून्य फ़ंक्शन के अलावा अन्य फ़ंक्शन भी हैं जिनके (अर्ध)मानदंड 0 (संख्या) हैं। मानक समाधान एल को परिभाषित करना है²(R) सीधे कार्यों के एक सेट के बजाय कार्यों के समतुल्य वर्गों का एक सेट होना। यह मूल सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस के एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी) का निर्माण करता है, और यह भागफल एक मानकीकृत वेक्टर स्थान है। इसे सेमीनोर्म्ड स्पेस से कई सुविधाजनक गुण विरासत में मिले हैं; नीचे देखें।

सामान्य तौर पर, एक सेट X पर एक निश्चित टोपोलॉजी टी के साथ काम करते समय, यह सहायक होता है यदि वह टोपोलॉजी टी है₀. दूसरी ओर, जब₀ असुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि गैर-टी₀ टोपोलॉजी अक्सर महत्वपूर्ण विशेष मामले होते हैं। इस प्रकार, दोनों टी को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है₀ और गैर-टी₀ विभिन्न स्थितियों के संस्करण जिन्हें टोपोलॉजिकल स्पेस पर रखा जा सकता है।

कोलमोगोरोव भागफल

बिंदुओं की टोपोलॉजिकल अविभाज्यता एक तुल्यता संबंध है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स किससे शुरू हो सकता है, इस तुल्यता संबंध के तहत कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) हमेशा टी होता है₀. इस भागफल स्थान को X का कोलमोगोरोव भागफल कहा जाता है, जिसे हम KQ(X) निरूपित करेंगे। निःसंदेह, यदि X T होता₀ आरंभ करने के लिए, KQ(X) और X प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत) पूरी तरह से होम्योमॉर्फिक हैं। स्पष्ट रूप से, कोलमोगोरोव रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की एक परावर्तक उपश्रेणी है, और कोलमोगोरोव भागफल परावर्तक है।

टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स और वाई 'कोलमोगोरोव समतुल्य' हैं जब उनके कोलमोगोरोव भागफल होमियोमोर्फिक होते हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस के कई गुण इस तुल्यता द्वारा संरक्षित हैं; अर्थात्, यदि X और Y कोलमोगोरोव समकक्ष हैं, तो X के पास ऐसी संपत्ति है यदि और केवल यदि Y के पास है। दूसरी ओर, टोपोलॉजिकल स्पेस के अधिकांश अन्य गुण टी दर्शाते हैं₀-नेस; अर्थात्, यदि X के पास ऐसी कोई संपत्ति है, तो X को T होना चाहिए₀. केवल कुछ गुण, जैसे कि एक अविभाज्य स्थान, इस नियम के अपवाद हैं। इससे भी बेहतर, टोपोलॉजिकल स्पेस पर परिभाषित कई संरचनाएं (गणित) एक्स और केक्यू (एक्स) के बीच स्थानांतरित की जा सकती हैं। परिणाम यह है कि, यदि आपके पास गैर-टी है₀ एक निश्चित संरचना या संपत्ति के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस, तो आप आमतौर पर एक टी बना सकते हैं₀ कोलमोगोरोव भागफल लेकर समान संरचनाओं और गुणों वाला स्थान।

एल का उदाहरण²(R) इन सुविधाओं को प्रदर्शित करता है। टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, जिस सेमीनॉर्म्ड सदिश स्थल से हमने शुरुआत की थी, उसमें बहुत अधिक अतिरिक्त संरचना है; उदाहरण के लिए, यह एक वेक्टर स्पेस है, और इसमें एक सेमिनॉर्म है, और ये एक स्यूडोमेट्रिक स्पेस और एक समान संरचना को परिभाषित करते हैं जो टोपोलॉजी के साथ संगत हैं। इसके अलावा, इन संरचनाओं के कई गुण हैं; उदाहरण के लिए, सेमिनॉर्म समांतर चतुर्भुज पहचान को संतुष्ट करता है और समान संरचना पूर्ण स्थान है। स्थान T नहीं है₀ चूँकि L में कोई दो कार्य हैं²(R) जो लगभग हर जगह समान हैं, इस टोपोलॉजी से अप्रभेद्य हैं। जब हम कोलमोगोरोव भागफल बनाते हैं, तो वास्तविक एल²(R), ये संरचनाएं और संपत्तियां संरक्षित हैं। इस प्रकार, एल²(R) भी समांतर चतुर्भुज पहचान को संतुष्ट करने वाला एक पूर्ण अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि है। लेकिन वास्तव में हमें कुछ अधिक मिलता है, क्योंकि स्थान अब टी है₀. एक सेमिनोर्म एक आदर्श है यदि और केवल यदि अंतर्निहित टोपोलॉजी टी है₀, तो एल²(R) वास्तव में समांतर चतुर्भुज पहचान को संतुष्ट करने वाला एक पूर्ण मानक वेक्टर स्थान है - जिसे हिल्बर्ट स्थान के रूप में जाना जाता है। और यह एक हिल्बर्ट स्थान है जिसका गणितज्ञ (और क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक विज्ञानी) आम तौर पर अध्ययन करना चाहते हैं। ध्यान दें कि संकेतन एल²(आर) आम तौर पर कोलमोगोरोव भागफल को दर्शाता है, वर्ग पूर्णांक कार्यों के समतुल्य वर्गों का सेट जो कि माप शून्य के सेट पर भिन्न होता है, न कि केवल वर्ग पूर्णांक कार्यों के वेक्टर स्थान के बजाय जो नोटेशन सुझाता है।

टी हटाना₀

हालाँकि मानदंडों को ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले परिभाषित किया गया था, लोग सेमीनॉर्म की परिभाषा के साथ भी आए, जो एक प्रकार का गैर-टी है₀ एक आदर्श का संस्करण. सामान्य तौर पर, गैर-टी को परिभाषित करना संभव है₀ टोपोलॉजिकल स्पेस के गुणों और संरचनाओं दोनों के संस्करण। सबसे पहले, टोपोलॉजिकल स्पेस की एक संपत्ति पर विचार करें, जैसे हॉसडॉर्फ़ स्थान इसके बाद कोई संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए स्पेस एक्स को परिभाषित करके टोपोलॉजिकल स्पेस की एक और संपत्ति को परिभाषित कर सकता है यदि कोलमोगोरोव भागफल केक्यू (एक्स) हॉसडॉर्फ है। यह एक समझदार, यद्यपि कम प्रसिद्ध संपत्ति है; इस स्थिति में, ऐसे स्थान X को पूर्व नियमित स्थान कहा जाता है। (वहाँ पूर्व-नियमितता की एक अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा भी सामने आती है)। अब एक ऐसी संरचना पर विचार करें जिसे टोपोलॉजिकल स्पेस पर रखा जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक स्पेस। हम एक्स पर संरचना का एक उदाहरण केवल केक्यू (एक्स) पर एक मीट्रिक देकर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर एक नई संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। यह एक्स पर एक समझदार संरचना है; यह एक स्यूडोमीट्रिक स्थान है। (फिर से, स्यूडोमेट्रिक की एक अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा है।)

इस तरह टी को दूर करने का एक प्राकृतिक तरीका है₀-किसी संपत्ति या संरचना के लिए आवश्यकताओं से। आमतौर पर उन स्थानों का अध्ययन करना आसान होता है जो टी हैं₀, लेकिन उन संरचनाओं को अनुमति देना भी आसान हो सकता है जो टी नहीं हैं₀ एक संपूर्ण चित्र प्राप्त करने के लिए. टी₀ कोलमोगोरोव भागफल की अवधारणा का उपयोग करके आवश्यकता को मनमाने ढंग से जोड़ा या हटाया जा सकता है।

यह भी देखें

• शांत स्थान

संदर्भ

• Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).