रेलटिव होमोलॉजी

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एक उप-स्थान के सापेक्ष एक टोपोलॉजिकल स्पेस की (एकवचन) होमोलॉजी, टोपोलॉजिकल जोड़ी के लिए एकवचन होमोलॉजी में एक निर्माण है। सापेक्ष समरूपता कई मायनों में उपयोगी और महत्वपूर्ण है। सहज रूप से, यह यह निर्धारित करने में मदद करता है कि पूर्ण समरूपता समूह का कौन सा भाग किस उप-स्थान से आता है।

परिभाषा

एक उपस्थान दिया गया $A\subseteq X$, कोई संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बना सकता है

$0\to C_{\bullet }(A)\to C_{\bullet }(X)\to C_{\bullet }(X)/C_{\bullet }(A)\to 0,$

कहाँ $C_{\bullet }(X)$ अंतरिक्ष X पर एकवचन श्रृंखलाओं को दर्शाता है। सीमा मानचित्र पर $C_{\bullet }(X)$ उतरता को $C_{\bullet }(A)$ और इसलिए एक सीमा मानचित्र तैयार करता है $\partial '_{\bullet }$ भागफल पर. यदि हम इस भागफल को इससे निरूपित करें $C_{n}(X,A):=C_{n}(X)/C_{n}(A)$, फिर हमारे पास एक कॉम्प्लेक्स है

$\cdots \longrightarrow C_{n}(X,A)\xrightarrow {\partial '_{n}} C_{n-1}(X,A)\longrightarrow \cdots .$

परिभाषा के अनुसार,n^{रिक्त स्थान के जोड़े का सापेक्ष समरूपता समूह $(X,A)$ है}

$H_{n}(X,A):=\ker \partial '_{n}/\operatorname {im} \partial '_{n+1}.$

एक का कहना है कि सापेक्ष समरूपता सापेक्ष चक्रों द्वारा दी जाती है, श्रृंखलाएं जिनकी सीमाएं ए पर श्रृंखलाएं होती हैं, सापेक्ष सीमाएं मॉड्यूलो (श्रृंखलाएं जो ए पर श्रृंखला के अनुरूप होती हैं, यानी, श्रृंखलाएं जो सीमाएं होंगी) , मॉड्यूलो ए फिर से)।

गुण

सापेक्ष श्रृंखला समूहों को निर्दिष्ट करने वाले उपरोक्त संक्षिप्त सटीक अनुक्रम छोटे सटीक अनुक्रमों के एक श्रृंखला परिसर को जन्म देते हैं। साँप लेम्मा के अनुप्रयोग से एक लंबा सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है

$\cdots \to H_{n}(A){\stackrel {i_{*}}{\to }}H_{n}(X){\stackrel {j_{*}}{\to }}H_{n}(X,A){\stackrel {\partial }{\to }}H_{n-1}(A)\to \cdots .$

जोड़ने वाला मानचित्र$\partial$एक सापेक्ष चक्र लेता है, जो एक समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है $H_{n}(X,A)$, इसकी सीमा तक (जो ए में एक चक्र है)। यह इस प्रकार है कि $H_{n}(X,x_{0})$, कहाँ $x_{0}$ X में एक बिंदु है, X का n-वाँ घटा हुआ होमोलॉजी समूह है। दूसरे शब्दों में, $H_{i}(X,x_{0})=H_{i}(X)$ सभी के लिए $i>0$. कब $i=0$, $H_{0}(X,x_{0})$ से एक रैंक कम का फ्री मॉड्यूल है $H_{0}(X)$. जुड़े हुए घटक युक्त $x_{0}$ सापेक्ष समरूपता में तुच्छ हो जाता है।

छांटना प्रमेय कहता है कि पर्याप्त रूप से अच्छे उपसमुच्चय को हटाना $Z\subset A$ सापेक्ष समरूपता समूहों को छोड़ देता है $H_{n}(X,A)$ अपरिवर्तित. जोड़ियों के लंबे सटीक अनुक्रम और छांटना प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है $H_{n}(X,A)$ भागफल स्थान के n-वें कम किए गए समरूपता समूहों के समान है $X/A$.

सापेक्ष समरूपता आसानी से त्रिगुण तक फैली हुई है $(X,Y,Z)$ के लिए $Z\subset Y\subset X$.

एक जोड़ी के लिए यूलर विशेषता को परिभाषित किया जा सकता है $Y\subset X$ द्वारा

$\chi (X,Y)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {rank} H_{j}(X,Y).$

अनुक्रम की सटीकता का तात्पर्य है कि यूलर विशेषता योगात्मक है, अर्थात, यदि $Z\subset Y\subset X$, किसी के पास

$\chi (X,Z)=\chi (X,Y)+\chi (Y,Z).$

== स्थानीय समरूपता == $n$किसी स्थान का वां>-वां स्थानीय समरूपता समूह $X$ एक बिंदु पर $x_{0}$, निरूपित

$H_{n,\{x_{0}\}}(X)$

सापेक्ष समरूपता समूह के रूप में परिभाषित किया गया है $H_{n}(X,X\setminus \{x_{0}\})$. अनौपचारिक रूप से, यह स्थानीय समरूपता है $X$ के करीब $x_{0}$.

मूल बिंदु पर शंकु CX की स्थानीय समरूपता

स्थानीय समरूपता का एक आसान उदाहरण शंकु के मूल में एक स्थान के शंकु (टोपोलॉजी) की स्थानीय समरूपता की गणना करना है। याद रखें कि शंकु को भागफल स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है

$CX=(X\times I)/(X\times \{0\}),$

कहाँ $X\times \{0\}$ सबस्पेस टोपोलॉजी है। फिर, उत्पत्ति $x_{0}=0$ अंकों का समतुल्य वर्ग है $[X\times 0]$. अंतर्ज्ञान का उपयोग करते हुए कि स्थानीय समरूपता समूह $H_{*,\{x_{0}\}}(CX)$ का $CX$ पर $x_{0}$ की समरूपता को पकड़ता है $CX$ मूल के निकट, हमें उम्मीद करनी चाहिए कि यह समरूपता है $H_{*}(X)$ तब से $CX\setminus \{x_{0}\}$ इसमें एक होमोटोपी वापस लेना है $X$. स्थानीय समरूपता की गणना समरूपता में लंबे सटीक अनुक्रम का उपयोग करके की जा सकती है

${\begin{aligned}\to &H_{n}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n}(CX)\to H_{n,\{x_{0}\}}(CX)\\\to &H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\to H_{n-1}(CX)\to H_{n-1,\{x_{0}\}}(CX).\end{aligned}}$

क्योंकि किसी स्थान का शंकु संकुचन योग्य स्थान है, मध्य समरूपता समूह सभी शून्य हैं, जो समरूपता देते हैं

${\begin{aligned}H_{n,\{x_{0}\}}(CX)&\cong H_{n-1}(CX\setminus \{x_{0}\})\\&\cong H_{n-1}(X),\end{aligned}}$

तब से $CX\setminus \{x_{0}\}$ के लिए अनुबंधीय है $X$.

बीजगणितीय ज्यामिति में

ध्यान दें कि पिछले निर्माण को प्रक्षेप्य किस्म के शंकु (बीजगणितीय ज्यामिति) का उपयोग करके बीजगणितीय ज्यामिति में सिद्ध किया जा सकता है $X$ स्थानीय कोहोमोलॉजी का उपयोग करना।

स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक बिंदु की स्थानीय समरूपता

स्थानीय समरूपता के लिए एक अन्य गणना एक बिंदु पर की जा सकती है $p$ अनेक गुना का $M$. तो करने दें $K$ का एक सघन पड़ोस हो $p$ एक बंद डिस्क के लिए समरूपी $\mathbb {D} ^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|x|\leq 1\}$ और जाने $U=M\setminus K$. छांटना प्रमेय का उपयोग करते हुए सापेक्ष समरूपता समूहों का एक समरूपता है

${\begin{aligned}H_{n}(M,M\setminus \{p\})&\cong H_{n}(M\setminus U,M\setminus (U\cup \{p\}))\\&=H_{n}(K,K\setminus \{p\}),\end{aligned}}$

इसलिए एक बिंदु की स्थानीय समरूपता एक बंद गेंद में एक बिंदु की स्थानीय समरूपता में बदल जाती है $\mathbb {D} ^{n}$. समरूप समतुल्यता के कारण

$\mathbb {D} ^{n}\setminus \{0\}\simeq S^{n-1}$

और तथ्य

$H_{k}(\mathbb {D} ^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\0&k\neq 0,\end{cases}}$

जोड़ी के लंबे सटीक अनुक्रम का एकमात्र गैर-तुच्छ हिस्सा $(\mathbb {D} ,\mathbb {D} \setminus \{0\})$ है

$0\to H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})\to H_{n-1}(S^{n-1})\to 0,$

इसलिए एकमात्र गैर-शून्य स्थानीय समरूपता समूह है $H_{n,\{0\}}(\mathbb {D} ^{n})$.

कार्यात्मकता

पूर्ण समरूपता की तरह, रिक्त स्थान के बीच निरंतर मानचित्र सापेक्ष समरूपता समूहों के बीच समरूपता उत्पन्न करते हैं। वास्तव में, यह मानचित्र बिल्कुल समरूपता समूहों पर प्रेरित मानचित्र है, लेकिन यह भागफल तक उतरता है।

होने देना $(X,A)$ और $(Y,B)$ ऐसे रिक्त स्थान के जोड़े बनें $A\subseteq X$ और $B\subseteq Y$, और जाने $f\colon X\to Y$ एक सतत मानचित्र बनें. फिर एक प्रेरित नक्शा है $f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)$ (पूर्ण) श्रृंखला समूहों पर। अगर $f(A)\subseteq B$, तब $f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)$. होने देना

${\begin{aligned}\pi _{X}&:C_{n}(X)\longrightarrow C_{n}(X)/C_{n}(A)\\\pi _{Y}&:C_{n}(Y)\longrightarrow C_{n}(Y)/C_{n}(B)\\\end{aligned}}$ भागफल समूह #गुण बनें जो तत्वों को भागफल समूहों में उनके समतुल्य वर्गों में ले जाते हैं। फिर नक्शा $\pi _{Y}\circ f_{\#}\colon C_{n}(X)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)$ एक समूह समरूपता है. तब से $f_{\#}(C_{n}(A))\subseteq C_{n}(B)=\ker \pi _{Y}$, यह मानचित्र भागफल तक उतरता है, एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्र को प्रेरित करता है $\varphi \colon C_{n}(X)/C_{n}(A)\to C_{n}(Y)/C_{n}(B)$ ऐसा कि निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है:

श्रृंखला मानचित्र समरूपता समूहों के बीच समरूपता उत्पन्न करते हैं, इसलिए $f$ एक नक्शा प्रेरित करता है $f_{*}\colon H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)$ सापेक्ष समरूपता समूहों पर.

उदाहरण

सापेक्ष समरूपता का एक महत्वपूर्ण उपयोग भागफल स्थानों के समरूपता समूहों की गणना है $X/A$. उस मामले में $A$ का एक उपस्थान है $X$ हल्की नियमितता की शर्त को पूरा करते हुए कि वहाँ एक पड़ोस मौजूद है $A$ कि है $A$ एक विरूपण के रूप में पीछे हटना, फिर समूह ${\tilde {H}}_{n}(X/A)$ के लिए समरूपी है $H_{n}(X,A)$. हम किसी गोले की समरूपता की गणना करने के लिए इस तथ्य का तुरंत उपयोग कर सकते हैं। हम महसूस कर सकते हैं $S^{n}$ इसकी सीमा द्वारा एन-डिस्क के भागफल के रूप में, अर्थात। $S^{n}=D^{n}/S^{n-1}$. सापेक्ष समरूपता के सटीक अनुक्रम को लागू करने से निम्नलिखित मिलता है:
$\cdots \to {\tilde {H}}_{n}(D^{n})\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(D^{n})\to \cdots .$ क्योंकि डिस्क सिकुड़ने योग्य है, हम जानते हैं कि इसके कम किए गए होमोलॉजी समूह सभी आयामों में गायब हो जाते हैं, इसलिए उपरोक्त अनुक्रम संक्षिप्त सटीक अनुक्रम में ढह जाता है:

$0\rightarrow H_{n}(D^{n},S^{n-1})\rightarrow {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})\rightarrow 0.$ इसलिए, हमें समरूपताएँ प्राप्त होती हैं $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n-1}(S^{n-1})$. अब हम इसे दिखाने के लिए प्रेरण द्वारा आगे बढ़ सकते हैं $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong \mathbb {Z}$. अब क्योंकि $S^{n-1}$ अपने आप में एक उपयुक्त पड़ोस का विरूपण प्रत्यावर्तन है $D^{n}$, हमें वह मिल गया $H_{n}(D^{n},S^{n-1})\cong {\tilde {H}}_{n}(S^{n})\cong \mathbb {Z}$.

एक और व्यावहारिक ज्यामितीय उदाहरण सापेक्ष समरूपता द्वारा दिया गया है $(X=\mathbb {C} ^{*},D=\{1,\alpha \})$ कहाँ $\alpha \neq 0,1$. तब हम लंबे सटीक अनुक्रम का उपयोग कर सकते हैं

${\begin{aligned}0&\to H_{1}(D)\to H_{1}(X)\to H_{1}(X,D)\\&\to H_{0}(D)\to H_{0}(X)\to H_{0}(X,D)\end{aligned}}={\begin{aligned}0&\to 0\to \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)\\&\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0\end{aligned}}$

अनुक्रम की सटीकता का उपयोग करके हम इसे देख सकते हैं $H_{1}(X,D)$ एक लूप शामिल है $\sigma$ मूल के चारों ओर वामावर्त। के कोकर्नेल के बाद से $\phi \colon \mathbb {Z} \to H_{1}(X,D)$ सटीक क्रम में फिट बैठता है

$0\to \operatorname {coker} (\phi )\to \mathbb {Z} ^{\oplus 2}\to \mathbb {Z} \to 0$

यह समरूपी होना चाहिए $\mathbb {Z}$. कोकर्नेल के लिए एक जनरेटर है $1$-ज़ंजीर $[1,\alpha ]$ चूँकि इसका सीमा मानचित्र है

$\partial ([1,\alpha ])=[\alpha ]-[1]$

यह भी देखें

• छांटना प्रमेय
• मेयर-विएटोरिस अनुक्रम

टिप्पणियाँ

^ i.e., the boundary $\partial \colon C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)$ maps $C_{n}(A)$ to $C_{n-1}(A)$

संदर्भ

• "Relative homology groups". PlanetMath.
• Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1

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