समतुल्य अवकल रूप

विभेदक ज्यामिति में, एक ली समूह जी द्वारा मैनिफोल्ड एम लाई समूह क्रिया पर एक समतुल्य अंतर रूप एक बहुपद मानचित्र है

$\alpha :{\mathfrak {g}}\to \Omega ^{*}(M)$

झूठ बीजगणित से ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ एम पर विभेदक रूप के स्थान पर जो समतुल्य हैं; अर्थात।,

$\alpha (\operatorname {Ad} (g)X)=g\alpha (X).$

दूसरे शब्दों में, एक समतुल्य विभेदक रूप एक अपरिवर्तनीय तत्व है

$\mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\otimes \Omega ^{*}(M)=\operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}}^{*})\otimes \Omega ^{*}(M).$

एक समतुल्य विभेदक रूप के लिए $\alpha$, समतुल्य बाहरी व्युत्पन्न $d_{\mathfrak {g}}\alpha$ का $\alpha$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$(d_{\mathfrak {g}}\alpha )(X)=d(\alpha (X))-i_{X^{\#}}(\alpha (X))$

जहां d सामान्य बाह्य व्युत्पन्न है और $i_{X^{\#}}$ एक्स द्वारा उत्पन्न मौलिक वेक्टर क्षेत्र द्वारा आंतरिक उत्पाद है। यह देखना आसान है $d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0$ (इस तथ्य का लाई व्युत्पन्न का उपयोग करें $\alpha (X)$ साथ में $X^{\#}$ शून्य है) और फिर एक डालता है

$H_{G}^{*}(X)=\ker d_{\mathfrak {g}}/\operatorname {im} d_{\mathfrak {g}},$

जिसे एम की समतुल्य सहसंगति कहा जाता है (जो बोरेल निर्माण के संदर्भ में परिभाषित सामान्य समतुल्य सहसंगति से मेल खाता है।) यह परिभाषा एच. कार्टन के कारण है। इस धारणा का समतुल्य सूचकांक सिद्धांत पर अनुप्रयोग है।

$d_{\mathfrak {g}}$-बंद या $d_{\mathfrak {g}}$-सटीक रूपों को समान रूप से बंद या समान रूप से सटीक कहा जाता है।

एक समवर्ती रूप से बंद रूप के अभिन्न अंग का मूल्यांकन उसके प्रतिबंध से निश्चित बिंदु तक समवर्ती सह-समरूपता के लिए स्थानीयकरण सूत्र के माध्यम से किया जा सकता है।

संदर्भ

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Springer, ISBN 978-3-540-20062-8