सेलुलर समरूपता

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी में एकवचन समरूपता सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स की श्रेणी के लिए एक होमोलॉजी सिद्धांत है। यह एकवचन होमोलॉजी से सहमत है, और होमोलॉजी मॉड्यूल की गणना का एक प्रभावी साधन प्रदान कर सकता है।

परिभाषा

अगर $X$ n-कंकाल|n-कंकाल वाला एक CW-कॉम्प्लेक्स है $X_{n}$, सेलुलर-होमोलॉजी मॉड्यूल को होमोलॉजी समूह एच के रूप में परिभाषित किया गया है_iसेलुलर श्रृंखला परिसर का

$\cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,$

कहाँ $X_{-1}$ खाली सेट माना जाता है।

समूह

${C_{n}}(X_{n},X_{n-1})$

निःशुल्क मॉड्यूल है, जनरेटर के साथ जिसे पहचाना जा सकता है $n$-की कोशिकाएं $X$. होने देना $e_{n}^{\alpha }$ सेम $n$-की कोशिका $X$, और जाने $\chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}$ संलग्न मानचित्र हो. फिर रचना पर विचार करें

$\chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},$

जहां पहला नक्शा पहचान करता है $\mathbb {S} ^{n-1}$ साथ $\partial e_{n}^{\alpha }$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n}^{\alpha }$ का $e_{n}^{\alpha }$, जो वस्तु $e_{n-1}^{\beta }$ एक $(n-1)$-X का कक्ष, तीसरा मानचित्र $q$ वह भागफल मानचित्र है जो ढह जाता है $X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }$ एक बिंदु तक (इस प्रकार लपेटना $e_{n-1}^{\beta }$ एक गोले में $\mathbb {S} ^{n-1}$), और अंतिम मानचित्र पहचान करता है $X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)$ साथ $\mathbb {S} ^{n-1}$ विशेषता मानचित्र के माध्यम से $\Phi _{n-1}^{\beta }$ का $e_{n-1}^{\beta }$.

सीमा मानचित्र

$\partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$

फिर सूत्र द्वारा दिया जाता है

${\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },$

कहाँ $\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)$ की सतत मानचित्रण की डिग्री है $\chi _{n}^{\alpha \beta }$ और रकम सब पर ले ली जाती है $(n-1)$-की कोशिकाएं $X$, के जनरेटर के रूप में माना जाता है ${C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})$.

उदाहरण

निम्नलिखित उदाहरण बताते हैं कि क्यों सेलुलर होमोलॉजी के साथ की गई गणनाएं अकेले एकवचन होमोलॉजी का उपयोग करके की गई गणनाओं की तुलना में अधिक कुशल होती हैं।

एन-क्षेत्र

n-गोला|n-आयामी क्षेत्र Sⁿ दो कोशिकाओं, एक 0-सेल और एक n-सेल के साथ एक CW संरचना को स्वीकार करता है। यहां एन-सेल निरंतर मैपिंग द्वारा जुड़ा हुआ है $S^{n-1}$ 0-सेल तक. सेलुलर श्रृंखला समूहों के जनरेटर के बाद से ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})$ S की k-कोशिकाओं से पहचाना जा सकता हैⁿ, हमारे पास वह है ${C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z}$ के लिए $k=0,n,$ और अन्यथा तुच्छ है.

इसलिए के लिए $n>1$, परिणामी श्रृंखला कॉम्प्लेक्स है

$\dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,$

लेकिन फिर चूंकि सभी सीमा मानचित्र या तो तुच्छ समूहों से हैं या उनसे हैं, वे सभी शून्य होने चाहिए, जिसका अर्थ है कि सेलुलर होमोलॉजी समूह बराबर हैं

$H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

कब $n=1$, यह सत्यापित करना संभव है कि सीमा मानचित्र $\partial _{1}$ शून्य है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त सूत्र सभी सकारात्मक के लिए मान्य है $n$.

जीनस जी सतह

सेलुलर होमोलॉजी का उपयोग जीनस जी सतह की होमोलॉजी की गणना के लिए भी किया जा सकता है $\Sigma _{g}$. का मौलिक बहुभुज $\Sigma _{g}$ एक है $4n$-गॉन जो देता है $\Sigma _{g}$ एक 2-सेल वाली सीडब्ल्यू-संरचना, $2n$ 1-सेल, और एक 0-सेल। 2-सेल की सीमा के साथ जुड़ा हुआ है $4n$-गॉन, जिसमें प्रत्येक 1-कोशिका दो बार होती है, एक बार आगे की ओर और एक बार पीछे की ओर। इसका मतलब है कि संलग्न मानचित्र शून्य है, क्योंकि प्रत्येक 1-सेल की आगे और पीछे की दिशाएं रद्द हो जाती हैं। इसी प्रकार, प्रत्येक 1-सेल के लिए संलग्न मानचित्र भी शून्य है, क्योंकि यह निरंतर मानचित्रण है $S^{0}$ 0-सेल के लिए. इसलिए, परिणामी श्रृंखला जटिल है

$\cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,$

जहां सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसलिए, इसका मतलब है कि जीनस जी सतह की सेलुलर होमोलॉजी दी गई है

$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

इसी तरह, कोई 1 0-सेल, जी 1-सेल और 1 2-सेल के साथ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में जुड़े क्रॉसकैप के साथ जीनस जी सतह का निर्माण कर सकता है। इसके होमोलॉजी समूह हैं

$$H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

टोरस

एन-टोरस $(S^{1})^{n}$ 1 0-सेल, एन 1-सेल, ..., और 1 एन-सेल के साथ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स के रूप में बनाया जा सकता है। शृंखला संकुल है

$$0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0$$

और सभी सीमा मानचित्र शून्य हैं। इसे स्पष्ट रूप से मामलों का निर्माण करके समझा जा सकता है $n=0,1,2,3$, फिर पैटर्न देखें।

इस प्रकार, $H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}$ .

जटिल प्रक्षेप्य स्थान

अगर $X$ इसमें कोई आसन्न-आयामी कोशिकाएँ नहीं हैं, (इसलिए यदि इसमें n-कोशिकाएँ हैं, तो इसमें कोई (n-1)-कोशिकाएँ और (n+1)-कोशिकाएँ नहीं हैं), तो $H_{n}^{CW}(X)$ प्रत्येक के लिए इसकी एन-कोशिकाओं द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह है $n$.

जटिल प्रक्षेप्य स्थान $P^{n}\mathbb {C}$ इस प्रकार 0-सेल, 2-सेल, ..., और (2n)-सेल को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है $H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z}$ के लिए $k=0,2,...,2n$, और अन्यथा शून्य.

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान

वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $\mathbb {R} P^{n}$ एक के साथ सीडब्ल्यू-संरचना स्वीकार करता है $k$-कक्ष $e_{k}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$. इनके लिए संलग्न मानचित्र $k$-सेल्स को 2-फोल्ड कवरिंग मैप द्वारा दिया गया है $\varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}$. (देखें कि $k$-कंकाल $\mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.) ध्यान दें कि इस मामले में, $C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z}$ सभी के लिए $k\in \{0,1,\dots ,n\}$.

सीमा मानचित्र की गणना करना

$\partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),$

हमें मानचित्र की डिग्री ज्ञात करनी होगी

$\chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.$

अब, उस पर ध्यान दें $\varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}$, और प्रत्येक बिंदु के लिए $x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}$, हमारे पास वह है $\varphi ^{-1}(\{x\})$ इसमें दो बिंदु होते हैं, प्रत्येक जुड़े घटक (खुले गोलार्ध) में एक $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. इस प्रकार, मानचित्र की डिग्री ज्ञात करने के लिए $\chi _{k}$, यह की स्थानीय डिग्री खोजने के लिए पर्याप्त है $\chi _{k}$ इनमें से प्रत्येक खुले गोलार्ध पर। अंकन में आसानी के लिए, हमने जाने दिया $B_{k}$ और ${\tilde {B}}_{k}$ के जुड़े हुए घटकों को निरूपित करें $S^{k-1}\setminus S^{k-2}$. तब $\chi _{k}|_{B_{k}}$ और $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}$ होमोमोर्फिज्म हैं, और $\chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A$, कहाँ $A$ प्रतिपादक मानचित्र है। अब, एंटीपोडल मानचित्र की डिग्री पर $S^{k-1}$ है $(-1)^{k}$. इसलिए, व्यापकता की हानि के बिना, हमारे पास वह स्थानीय डिग्री है $\chi _{k}$ पर $B_{k}$ है $1$ और की स्थानीय डिग्री $\chi _{k}$ पर ${\tilde {B}}_{k}$ है $(-1)^{k}$. स्थानीय डिग्रियों को जोड़ने पर, हमारे पास वह है

$\deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}$

सीमा मानचित्र $\partial _{k}$ फिर द्वारा दिया जाता है $\deg(\chi _{k})$.

इस प्रकार हमारे पास सीडब्ल्यू-संरचना चालू है $\mathbb {R} P^{n}$ निम्नलिखित श्रृंखला परिसर को जन्म देता है:

$0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,$

कहाँ $\partial _{n}=2$ अगर $n$ सम है और $\partial _{n}=0$ अगर $n$ अजीब है। इसलिए, सेलुलर होमोलॉजी समूह के लिए $\mathbb {R} P^{n}$ निम्नलिखित हैं:

$H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0,n,\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$

अन्य गुण

कोई सेलुलर श्रृंखला परिसर से देख सकता है कि $n$-स्केलेटन सभी निम्न-आयामी होमोलॉजी मॉड्यूल निर्धारित करता है:

${H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})$

के लिए $k<n$.

इस सेलुलर परिप्रेक्ष्य का एक महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि यदि सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स में लगातार आयामों में कोई कोशिका नहीं है, तो इसके सभी होमोलॉजी मॉड्यूल स्वतंत्र हैं। उदाहरण के लिए, जटिल प्रक्षेप्य स्थान $\mathbb {CP} ^{n}$ प्रत्येक सम आयाम में एक कोशिका के साथ एक कोशिका संरचना होती है; यह उसके लिए अनुसरण करता है $0\leq k\leq n$,

${H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z}$

और

${H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.$

सामान्यीकरण

अतियाह-हिर्ज़ेब्रुक वर्णक्रमीय अनुक्रम एक मनमाने ढंग से असाधारण होमोलॉजी सिद्धांत | असाधारण (सह) होमोलॉजी सिद्धांत के लिए सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स की (सह) होमोलॉजी की गणना करने की अनुरूप विधि है।

यूलर विशेषता

एक सेलुलर कॉम्प्लेक्स के लिए $X$, होने देना $X_{j}$ यह हो $j$-वें कंकाल, और $c_{j}$ की संख्या हो $j$-सेल्स, यानी, फ्री मॉड्यूल की रैंक ${C_{j}}(X_{j},X_{j-1})$. यूलर की विशेषता $X$ फिर द्वारा परिभाषित किया गया है

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

यूलर विशेषता एक समरूप अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, बेट्टी संख्या के संदर्भ में $X$,

$\chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).$

इसे इस प्रकार उचित ठहराया जा सकता है। त्रिक के लिए सापेक्ष समरूपता के लंबे सटीक अनुक्रम पर विचार करें $(X_{n},X_{n-1},\varnothing )$:

$\cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .$

अनुक्रम के माध्यम से सटीकता का पीछा करना देता है

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).$

यही गणना त्रिगुणों पर भी लागू होती है $(X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )$, $(X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )$, आदि। प्रेरण द्वारा,

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.$

संदर्भ

• Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology, Springer ISBN 3-540-58660-1.
• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1. A free electronic version is available on the author's homepage.