अनैच्छिक आव्यूह

गणित में, एक अनैच्छिक मैट्रिक्स एक [[उलटा मैट्रिक्स]] है जो कि इसका अपना व्युत्क्रम मैट्रिक्स है। अर्थात्, मैट्रिक्स ए द्वारा गुणा एक इनवोल्यूशन (गणित) है यदि और केवल यदि ए² = I, जहां I n × n पहचान मैट्रिक्स है। अनैच्छिक मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स के सभी मैट्रिक्स के वर्गमूल हैं। यह केवल इस तथ्य का परिणाम है कि किसी भी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स को उसके व्युत्क्रम से गुणा करने पर पहचान प्राप्त होती है।

उदाहरण

2 × 2 वास्तविक संख्या मैट्रिक्स ${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ अनिवार्य है बशर्ते कि $a^{2}+bc=1.$ M(2, C) में पॉल के मैट्रिक्स अनैच्छिक हैं:

$${\begin{aligned}\sigma _{1}=\sigma _{x}&={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{2}=\sigma _{y}&={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\\\sigma _{3}=\sigma _{z}&={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$$

प्राथमिक मैट्रिक्स के तीन वर्गों में से एक अनैच्छिक है, अर्थात् पंक्ति-इंटरचेंज प्राथमिक मैट्रिक्स। प्रारंभिक मैट्रिक्स के एक अन्य वर्ग का एक विशेष मामला, जो एक पंक्ति या स्तंभ को -1 से गुणा करने का प्रतिनिधित्व करता है, भी अनैच्छिक है; यह वास्तव में हस्ताक्षर मैट्रिक्स का एक तुच्छ उदाहरण है, जो सभी अनिवार्य हैं।

अनैच्छिक आव्यूहों के कुछ सरल उदाहरण नीचे दिखाए गए हैं।

$${\begin{array}{cc}\mathbf {I} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}};&\mathbf {I} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {R} ={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}};&\mathbf {R} ^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}\\\\\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}};&\mathbf {S} ^{-1}={\begin{pmatrix}+1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}\\\end{array}}$$

कहाँ

• I 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स है (जो तुच्छ रूप से अनिवार्य है);
• R, परस्पर बदली हुई पंक्तियों की एक जोड़ी के साथ 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स है;
• S एक हस्ताक्षर मैट्रिक्स है।

ब्लॉकों की रैखिक स्वतंत्रता के परिणामस्वरूप, अनैच्छिक मैट्रिक्स से निर्मित कोई भी ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स | ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स भी अनैच्छिक होगा।

समरूपता

एक अनैच्छिक मैट्रिक्स जो सममित मैट्रिक्स भी है, एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, और इस प्रकार एक आइसोमेट्री (एक रैखिक परिवर्तन जो यूक्लिडियन दूरी को संरक्षित करता है) का प्रतिनिधित्व करता है। इसके विपरीत प्रत्येक ऑर्थोगोनल अनैच्छिक मैट्रिक्स सममित है। इसके विशेष मामले के रूप में, प्रत्येक परावर्तन (रैखिक बीजगणित) और 180° रोटेशन मैट्रिक्स अनैच्छिक है।

गुण

एक इनवोल्यूशन दोषपूर्ण मैट्रिक्स है | गैर-दोषपूर्ण, और प्रत्येक आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स बराबर होते हैं $\pm 1$, तो एक हस्ताक्षर मैट्रिक्स के लिए एक समावेशन विकर्ण मैट्रिक्स।

एक सामान्य मैट्रिक्स इन्वॉल्वमेंट हर्मिटियन मैट्रिक्स (जटिल) या सममित (वास्तविक) और एकात्मक मैट्रिक्स (जटिल) या ऑर्थोगोनल (वास्तविक) भी है।

किसी भी क्षेत्र (गणित) पर एक अनैच्छिक मैट्रिक्स का निर्धारक ±1 है। यदि A एक n × n मैट्रिक्स है, तो A अनिवार्य है यदि और केवल यदि P₊= (I+A)/2 निष्क्रिय मैट्रिक्स है। यह संबंध अनैच्छिक आव्यूहों और निष्क्रिय आव्यूहों के बीच एक आपत्ति देता है।इसी प्रकार, A अनैच्छिक है यदि और केवल यदि P₋= (I − A)/2 इडेम्पोटेंट मैट्रिक्स है। ये दो ऑपरेटर सममित और एंटीसिमेट्रिक अनुमान बनाते हैं $v_{\pm }=P_{\pm }v$ एक वेक्टर का $v=v_{+}+v_{-}$ इन्वॉल्वमेंट ए के संबंध में, इस अर्थ में $Av_{\pm }=\pm v_{\pm }$, या $AP_{\pm }=\pm P_{\pm }$. यही निर्माण किसी भी इनवोल्यूशन (गणित) पर लागू होता है, जैसे कि जटिल संयुग्म (वास्तविक और काल्पनिक भाग), खिसकाना (सममित और एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स), और हर्मिटियन सहायक (हर्मिटियन मैट्रिक्स और स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्क्यू-हर्मिटियन मैट्रिक्स)।

यदि A, M(n, R) में एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है, जो वास्तविक संख्याओं पर एक मैट्रिक्स बीजगणित है, और A, I का अदिश गुणज नहीं है, तो उपबीजगणित {x I + y A: x, y ∈ R} जनरेटर (गणित) ए विभाजित-जटिल संख्याओं के लिए समरूपी है।

यदि A और B दो अनैच्छिक आव्यूह हैं जो एक दूसरे के साथ आव्यूहों का परिवर्तन करते हैं (अर्थात AB = BA) तो AB भी अनैच्छिक है।

यदि A एक अनैच्छिक मैट्रिक्स है तो A के मैट्रिक्स का प्रत्येक पूर्णांक मैट्रिक्स गुणन#शक्तियाँ अनैच्छिक है। दरअसल, ए^{यदि n समता (गणित) है तो n} 'ए' के ​​बराबर होगा और यदि n समता (गणित) है तो 'आई' के बराबर होगा।

यह भी देखें

• अफ़िन इन्वॉल्वमेंट