सामान्य विस्तार

For other uses, see Normal closure.

अमूर्त बीजगणित में, एक सामान्य विस्तार एक बीजगणितीय विस्तार L/K होता है जिसके लिए K के ऊपर प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L होता है, 'L में रैखिक कारकों में विभाजित हो जाता है। 'एल. ये बीजगणितीय विस्तारों के गैलोज़ विस्तार होने की शर्तों में से एक हैं। निकोलस बॉर्बकी ऐसे विस्तार को अर्ध-गैलोइस विस्तार कहते हैं।

परिभाषा

होने देना$L/K$एक बीजगणितीय विस्तार हो (अर्थात् L, K का एक बीजगणितीय विस्तार है), जैसे कि $L\subseteq {\overline {K}}$ (अर्थात् L, K के बीजगणितीय समापन में समाहित है)। फिर निम्नलिखित स्थितियाँ, जिनमें से किसी को भी सामान्य विस्तार की परिभाषा के रूप में माना जा सकता है, समतुल्य हैं:

• एल के प्रत्येक एंबेडिंग (क्षेत्र सिद्धांत)। ${\overline {K}}$ एल की ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।
• L बहुपदों के एक परिवार का विभाजन क्षेत्र है $K\left[X\right]$.
• प्रत्येक अघुलनशील बहुपद $K\left[X\right]$ जिसका मूल L में है, वह L में रैखिक गुणनखंडों में विभाजित हो जाता है।

अन्य गुण

मान लीजिए L एक फ़ील्ड K का विस्तार है। तब:

• यदि L, K का सामान्य विस्तार है और यदि E एक मध्यवर्ती विस्तार है (अर्थात्, L ⊃ E ⊃ K), तो L, E का सामान्य विस्तार है।
• यदि ई और एफ एल में निहित के के सामान्य विस्तार हैं, तो संयुक्त ईएफ और ई ∩ एफ भी के के सामान्य विस्तार हैं।

सामान्यता के लिए समतुल्य शर्तें

होने देना $L/K$ बीजगणितीय हो. फ़ील्ड L एक 'सामान्य' एक्सटेंशन है यदि और केवल यदि नीचे दी गई समतुल्य शर्तों में से कोई भी मान्य हो।

• L में प्रत्येक तत्व का K पर न्यूनतम बहुपद L में विभाजित होता है;
• एक सेट है $S\subseteq K[x]$ बहुपदों का जो एक साथ L पर विभाजित होता है, जैसे कि यदि $K\subseteq F\subsetneq L$ फ़ील्ड हैं, तो S के पास एक बहुपद है जो F में विभाजित नहीं होता है;
• सभी समरूपताएँ $L\to {\bar {K}}$ एक ही छवि है;
• ऑटोमोर्फिज्म का समूह, ${\text{Aut}}(L/K),$ L का जो K के तत्वों को स्थिर करता है, समरूपता के समुच्चय पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $L\to {\bar {K}}.$

उदाहरण और प्रति उदाहरण

उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ का सामान्य विस्तार है $\mathbb {Q} ,$ चूँकि यह का विभाजक क्षेत्र है $x^{2}-2.$ वहीं दूसरी ओर, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ का सामान्य विस्तार नहीं है $\mathbb {Q}$ अघुलनशील बहुपद के बाद से $x^{3}-2$ इसमें एक जड़ है (अर्थात्, ${\sqrt[{3}]{2}}$), लेकिन सभी नहीं (इसमें 2 की गैर-वास्तविक घन जड़ें नहीं हैं)। याद रखें कि मैदान ${\overline {\mathbb {Q} }}$ बीजगणितीय संख्याओं का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {Q} ,$ यानी इसमें शामिल है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ तब से,

$$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}$$
 और अगर $\omega$ एकता का एक आदिम घनमूल है, फिर मानचित्र

$${\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}$$

का एक एम्बेडिंग है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ में ${\overline {\mathbb {Q} }}$ किसका प्रतिबंध $\mathbb {Q}$ पहचान है. हालाँकि, $\sigma$ का स्वप्रतिरूपण नहीं है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ किसी भी प्राइम के लिए $p,$ विस्तृति $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ डिग्री का सामान्य है $p(p-1).$ का विभाजक क्षेत्र है $x^{p}-2.$ यहाँ $\zeta _{p}$ किसी को भी दर्शाता है $p$एकता की आदिम जड़. फील्ड $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ का सामान्य समापन (नीचे देखें) है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

सामान्य समापन

यदि K एक फ़ील्ड है और L, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो L का कुछ बीजगणितीय विस्तार M है, जैसे कि M, K का एक सामान्य विस्तार है। इसके अलावा, समरूपता तक केवल एक ही ऐसा विस्तार है जो न्यूनतम है, वह है , M का एकमात्र उपक्षेत्र जिसमें L शामिल है और जो K का सामान्य विस्तार है, M ही है। इस विस्तार को K के विस्तार L का 'सामान्य समापन' कहा जाता है।

यदि L, K का एक सीमित विस्तार है, तो इसका सामान्य समापन भी एक सीमित विस्तार है।

यह भी देखें

• गैलोइस एक्सटेंशन
• सामान्य आधार

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787