प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा

This article is about अनंत पर एक बिंदु द्वारा यथार्थ का विस्तार. For +∞ और –∞ द्वारा विस्तार, see विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा.

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा को अनंत पर एक अतिरिक्त बिंदु के साथ एक वृत्त के चारों ओर लिपटी वास्तविक संख्या रेखा के रूप में देखा जा सकता है (त्रिविम प्रक्षेपण के कुछ रूप द्वारा)।

वास्तविक विश्लेषण में, प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा (जिसे वास्तविक रेखा का एक-बिंदु संघनन भी कहा जाता है), वास्तविक संख्या $\mathbb {R}$ के सम्मुच्चय (गणित) का विस्तार एक बिंदु ∞ द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार यह समुच्चय $\mathbb {R} \cup \{\infty \}$ है जहां संभव हो वहां मानक अंकगणितीय संक्रियाओं का विस्तार किया गया, और कभी-कभी इसके द्वारा $\mathbb {R} ^{*}$ या ${\widehat {\mathbb {R} }}$ निरूपित किया जाता है। जोड़े गए बिंदु को अनंत पर बिंदु कहा जाता है, क्योंकि इसे वास्तविक रेखा के दोनों छोर (सांस्थिति) का प्रतिवैस माना जाता है। अधिक सटीक रूप से, अनंत पर बिंदु वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक अनुक्रम की सीमा है जिनके निरपेक्ष मान बढ़ रहे हैं और असीमित हैं।

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा को वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा से पहचाना जा सकता है जिसमें तीन बिंदुओं 0, 1 और ∞ को विशिष्ट मान दिए गए हैं। प्रोजेक्टिवली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा, एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से भिन्न होती है, जिसमें +∞ और −∞ अलग हैं।

शून्य से विभाजित करना

संख्याओं के अधिकांश गणितीय प्रतिरूप के विपरीत, यह संरचना शून्य से विभाजन की अनुमति देती है:

${\frac {a}{0}}=\infty$

विशेष रूप से, 1 / 0 = ∞ और 1 / ∞ = 0, गुणक व्युत्क्रम फलन बनाना (गणित) 1 / x इस संरचना में एक संपूर्ण कार्य है। हालाँकि, संरचना एक क्षेत्र (गणित) नहीं है, और कोई भी द्विआधारी संक्रिया अंकगणितीय ऑपरेशन कुल नहीं है - उदाहरण के लिए, 0 ⋅ ∞ अपरिभाषित है, भले ही व्युत्क्रम कुल है।हालाँकि, इसकी उपयोगी व्याख्याएँ हैं - उदाहरण के लिए, ज्यामिति में, एक ऊर्ध्वाधर रेखा का ढलान होता है ∞.

वास्तविक रेखा का विस्तार

प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को उसी तरह बढ़ाती है जैसे रीमैन क्षेत्र पारंपरिक रूप से कहे जाने वाले एक बिंदु को जोड़कर जटिल संख्याओं के क्षेत्र का विस्तार करता है। ∞.

इसके विपरीत, एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा (जिसे वास्तविक रेखा का दो-बिंदु संघनन (गणित) भी कहा जाता है) के बीच अंतर करती है +∞ और −∞.

आदेश

आदेश सिद्धांत संबंध को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता ${\widehat {\mathbb {R} }}$ सार्थक तरीके से. एक नंबर दिया गया a ≠ ∞, परिभाषित करने के लिए कोई ठोस तर्क नहीं है a > ∞ या वो a < ∞. तब से ∞ की तुलना किसी भी अन्य तत्व से नहीं की जा सकती, इस संबंध को बरकरार रखने का कोई मतलब नहीं है ${\widehat {\mathbb {R} }}$.हालाँकि, ऑर्डर जारी रखें $\mathbb {R}$ की परिभाषाओं में प्रयोग किया जाता है ${\widehat {\mathbb {R} }}$.

ज्यामिति

इस विचार के लिए मौलिक ∞ एक ऐसा बिंदु है जो किसी भी अन्य से अलग नहीं है, जिस तरह से वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा एक सजातीय स्थान है, वास्तव में एक वृत्त के लिए होम्योमॉर्फिक है। उदाहरण के लिए 2 × 2 वास्तविक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) के सामान्य रैखिक समूह पर एक सकर्मक क्रिया होती है। समूह क्रिया को मोबियस परिवर्तनों (जिसे रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन भी कहा जाता है) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, इस समझ के साथ कि जब रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन का हर होता है 0, छवि है ∞.

क्रिया के विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि किन्हीं तीन अलग-अलग बिंदुओं P, Q और R के लिए, P से 0, Q से 1 और R से लेकर एक रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तन होता है। ∞ अर्थात्, रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों का समूह (गणित) वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा पर सकर्मक क्रिया है। इसे 4-टुपल अंकों तक नहीं बढ़ाया जा सकता, क्योंकि क्रॉस-अनुपात अपरिवर्तनीय है।

शब्दावली प्रक्षेप्य रेखा उपयुक्त है, क्योंकि बिंदु एक-आयाम (वेक्टर स्थान) रैखिक उप-स्थानों के साथ 1-से-1 पत्राचार में हैं $\mathbb {R} ^{2}$.

अंकगणितीय परिचालन

अंकगणितीय संक्रियाओं के लिए प्रेरणा

इस स्थान पर अंकगणितीय संक्रियाएँ वास्तविक पर समान संक्रियाओं का विस्तार हैं। नई परिभाषाओं के लिए प्रेरणा वास्तविक संख्याओं के फलनों के फलन की सीमा है।

अंकगणितीय परिचालन जो परिभाषित हैं

उपसमुच्चय पर मानक संचालन के अतिरिक्त $\mathbb {R}$ का ${\widehat {\mathbb {R} }}$, निम्नलिखित परिचालनों को परिभाषित किया गया है $a\in {\widehat {\mathbb {R} }}$, संकेतानुसार अपवादों के साथ::${\begin{aligned}a+\infty =\infty +a&=\infty ,&a\neq \infty \\a-\infty =\infty -a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/\infty =a\cdot 0=0\cdot a&=0,&a\neq \infty \\\infty /a&=\infty ,&a\neq \infty \\a/0=a\cdot \infty =\infty \cdot a&=\infty ,&a\neq 0\\0/a&=0,&a\neq 0\end{aligned}}$

अंकगणितीय संक्रियाएं जो अपरिभाषित रह गई हैं

निम्नलिखित अभिव्यक्तियों को वास्तविक कार्यों की सीमाओं पर विचार करके प्रेरित नहीं किया जा सकता है, और उनकी कोई भी परिभाषा सभी परिभाषित मामलों के लिए मानक बीजगणितीय गुणों के बयान को अपरिवर्तित बनाए रखने की अनुमति नहीं देती है। नतीजतन, वे अपरिभाषित रह गए हैं:

${\begin{aligned}&\infty +\infty \\&\infty -\infty \\&\infty \cdot 0\\&0\cdot \infty \\&\infty /\infty \\&0/0\end{aligned}}$

घातांकीय फलन $e^{x}$ तक बढ़ाया नहीं जा सकता ${\widehat {\mathbb {R} }}$.

बीजगणितीय गुण

निम्नलिखित समानताओं का अर्थ है: या तो दोनों पक्ष अपरिभाषित हैं, या दोनों पक्ष परिभाषित और समान हैं। यह किसी के लिए भी सच है $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\a+b&=b+a\\(a\cdot b)\cdot c&=a\cdot (b\cdot c)\\a\cdot b&=b\cdot a\\a\cdot \infty &={\frac {a}{0}}\\\end{aligned}}$

जब भी किसी के लिए दाहिना पक्ष परिभाषित किया जाता है, तो निम्नलिखित सत्य होता है $a,b,c\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

${\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\a&=\left({\frac {a}{b}}\right)\cdot b&=\,\,&{\frac {(a\cdot b)}{b}}\\a&=(a+b)-b&=\,\,&(a-b)+b\end{aligned}}$

सामान्यतः अंकगणित के सभी नियम मान्य होते हैं $\mathbb {R}$ के लिए भी मान्य हैं ${\widehat {\mathbb {R} }}$ जब भी सभी घटित होने वाले भाव परिभाषित होते हैं।

अंतराल और सांस्थिति

एक अंतराल (गणित) की अवधारणा को बढ़ाया जा सकता है ${\widehat {\mathbb {R} }}$. हालाँकि, चूँकि यह एक क्रमबद्ध सम्मुच्चय नहीं है, इसलिए अंतराल का थोड़ा अलग अर्थ है। बंद अंतरालों की परिभाषाएँ इस प्रकार हैं (ऐसा माना जाता है

$a,b\in \mathbb {R} ,a<b$):

${\begin{aligned}\left[a,b\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\leq b\rbrace \\\left[a,\infty \right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,a\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \\\left[b,a\right]&=\lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,b\leq x\rbrace \cup \lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[\infty ,a\right]&=\lbrace \infty \rbrace \cup \lbrace x\mid x\in \mathbb {R} ,x\leq a\rbrace \\\left[a,a\right]&=\{a\}\\\left[\infty ,\infty \right]&=\lbrace \infty \rbrace \end{aligned}}$

अपवाद के साथ जब अंत-बिंदु समान होते हैं, संबंधित खुले और आधे-खुले अंतराल को संबंधित समापन बिंदुओं को हटाकर परिभाषित किया जाता है। 0 वाले अंतराल से विभाजित करते समय यह पुनर्परिभाषा अंतराल अंकगणित में उपयोगी होती है।

${\widehat {\mathbb {R} }}$ और खाली सम्मुच्चय भी अंतराल हैं, जैसा कि है ${\widehat {\mathbb {R} }}$ किसी भी एक बिंदु को छोड़कर.

आधार (सांस्थिति) के रूप में खुले अंतराल एक टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करते हैं ${\widehat {\mathbb {R} }}$. आधार के लिए परिबद्ध अंतराल खुले अंतराल पर्याप्त हैं $\mathbb {R}$ और अंतराल $(b,a)=\{x\mid x\in \mathbb {R} ,b<x\}\cup \{\infty \}\cup \{x\mid x\in \mathbb {R} ,x<a\}$ सभी के लिए $a,b\in \mathbb {R}$ ऐसा है कि $a<b.$ जैसा कि कहा गया है, सांस्थिति एक वृत्त के लिए समरूपी है। इस प्रकार यह इस वृत्त पर सामान्य मीट्रिक (गणित) (या तो सीधे या वृत्त के साथ मापा जाता है) के अनुरूप (किसी दिए गए होमोमोर्फिज़्म के लिए) मेट्रिज़ेबल है। ऐसी कोई मीट्रिक नहीं है जो सामान्य मीट्रिक का विस्तार हो $\mathbb {R} .$

अंतराल अंकगणित

अंतराल अंकगणित का विस्तार होता है ${\widehat {\mathbb {R} }}$ से $\mathbb {R}$. अंतराल पर एक अंकगणितीय ऑपरेशन का परिणाम हमेशा एक अंतराल होता है, सिवाय इसके कि जब बाइनरी ऑपरेशन वाले अंतराल में असंगत मान होते हैं जो एक अपरिभाषित परिणाम की ओर ले जाते हैं। विशेष रूप से, हमारे पास प्रत्येक के लिए है $a,b\in {\widehat {\mathbb {R} }}$:

$x\in [a,b]\iff {\frac {1}{x}}\in \left[{\frac {1}{b}},{\frac {1}{a}}\right]\!,$

चाहे कोई भी अंतराल शामिल हो 0 और ∞.

कलन

गणना के उपकरणों का उपयोग कार्यों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है ${\widehat {\mathbb {R} }}$. परिभाषाएँ इस स्थान की सांस्थिति से प्रेरित हैं।

पड़ोस

होने देना $x\in {\widehat {\mathbb {R} }}$ और $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$.

• A का पड़ोस (गणित) है x, अगर A में एक खुला अंतराल होता है B उसमें सम्मिलित है x.
• A दाहिनी ओर का पड़ोस है x, यदि कोई वास्तविक संख्या है y ऐसा है कि $y\neq x$ और A अर्ध-खुला अंतराल शामिल है $[x,y)$.
• A बायीं ओर का पड़ोस है x, यदि कोई वास्तविक संख्या है y ऐसा है कि $y\neq x$ और A अर्ध-खुला अंतराल शामिल है $(y,x]$.
• A एक पंचर पड़ोस है (सम्मानतः दाएं तरफा या बाएं तरफा पंचर पड़ोस) x, अगर $x\not \in A,$ और $A\cup \{x\}$ का एक पड़ोस (सम्मानतः दाहिनी ओर या बाईं ओर का पड़ोस) है x.

सीमाएं

सीमाओं की मूल परिभाषाएँ

होने देना $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},$ $p\in {\widehat {\mathbb {R} }},$ और $L\in {\widehat {\mathbb {R} }}$.

f (x) के एक फ़ंक्शन की सीमा x दृष्टिकोण p, L है, जिसे दर्शाया गया है

$\lim _{x\to p}{f(x)}=L$

यदि और केवल यदि L के प्रत्येक पड़ोस A के लिए, p का एक छिद्रित पड़ोस B है, जैसे कि $x\in B$ तात्पर्य $f(x)\in A$.

जैसे-जैसे x दाएँ (बाएँ) से p की ओर बढ़ता है, f (x) की एकतरफ़ा सीमा L होती है, जिसे दर्शाया जाता है

$\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L\qquad \left(\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L\right),$

यदि और केवल यदि एल के प्रत्येक पड़ोस ए के लिए, पी का दाहिनी ओर (बाएं तरफ) छिद्रित पड़ोस बी है, जैसे कि $x\in B$ तात्पर्य $f(x)\in A.$ ऐसा दिखाया जा सकता है $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ यदि और केवल यदि दोनों $\lim _{x\to p^{+}}{f(x)}=L$ और $\lim _{x\to p^{-}}{f(x)}=L$.

सीमाओं के साथ तुलना $\mathbb {R}$

ऊपर दी गई परिभाषाओं की तुलना वास्तविक कार्यों की सीमाओं की सामान्य परिभाषाओं से की जा सकती है। निम्नलिखित कथनों में, $p,L\in \mathbb {R} ,$ पहली सीमा ऊपर परिभाषित के अनुसार है, और दूसरी सीमा सामान्य अर्थ में है:

• $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to p}{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=L$ के बराबर है $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}=L$
• $\lim _{x\to p}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to p}{|f(x)|}=+\infty$
• $\lim _{x\to \infty ^{+}}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to -\infty }{|f(x)|}=+\infty$
• $\lim _{x\to \infty ^{-}}{f(x)}=\infty$ के बराबर है $\lim _{x\to +\infty }{|f(x)|}=+\infty$

सीमाओं की विस्तारित परिभाषा

होने देना $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }}$. तब p, A का एक सीमा बिंदु है यदि और केवल यदि p के प्रत्येक पड़ोस में एक बिंदु शामिल है $y\in A$ ऐसा है कि $y\neq p.$ होने देना $f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},L\in {\widehat {\mathbb {R} }},p\in {\widehat {\mathbb {R} }}$, p A का एक सीमा बिंदु। जैसे-जैसे x, A से होकर p तक पहुंचता है, f (x) की सीमा L होती है, यदि और केवल यदि L के प्रत्येक पड़ोस B के लिए, p का एक छिद्रित पड़ोस C है, जैसे कि $x\in A\cap C$ तात्पर्य $f(x)\in B.$ यह नियमित निरंतरता (सांस्थिति) से मेल खाती है, जो सबस्पेस सांस्थिति पर लागू होती है $A\cup \lbrace p\rbrace ,$ और f का प्रतिबंध (गणित)। $A\cup \lbrace p\rbrace .$

निरंतरता

कार्यक्रम

$f:{\widehat {\mathbb {R} }}\to {\widehat {\mathbb {R} }},\quad p\in {\widehat {\mathbb {R} }}.$

पर सतत कार्य है p अगर और केवल अगर f को परिभाषित किया गया है p और

$\lim _{x\to p}{f(x)}=f(p).$

अगर $A\subseteq {\widehat {\mathbb {R} }},$ कार्यक्रम

$f:A\to {\widehat {\mathbb {R} }}$

में निरंतर है A यदि और केवल यदि, प्रत्येक के लिए $p\in A$, f को परिभाषित किया गया है p और की सीमा $f(x)$ जैसा x आदत है p द्वारा A है $f(p).$ प्रत्येक तर्कसंगत कार्य P(x)/Q(x), कहाँ P और Q बहुपद हैं, इन्हें एक अनूठे तरीके से, एक फलन तक बढ़ाया जा सकता है ${\widehat {\mathbb {R} }}$ को ${\widehat {\mathbb {R} }}$ वह निरंतर है ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ विशेष रूप से, यह बहुपद फलनों का मामला है, जो मान लेते हैं $\infty$ पर $\infty ,$ यदि वे स्थिर कार्य नहीं हैं।

इसके अलावा, यदि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन कार्य करती है $\tan$ इतना बढ़ाया गया है

$\tan \left({\frac {\pi }{2}}+n\pi \right)=\infty {\text{ for }}n\in \mathbb {Z} ,$

तब $\tan$ में निरंतर है $\mathbb {R} ,$ लेकिन किसी ऐसे फ़ंक्शन को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता जो निरंतर है ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ कई प्राथमिक कार्य जो निरंतर होते रहते हैं $\mathbb {R}$ उन कार्यों को लंबे समय तक नहीं बढ़ाया जा सकता जो निरंतर चल रहे हैं ${\widehat {\mathbb {R} }}.$ यह मामला है, उदाहरण के लिए, घातीय फलन और सभी त्रिकोणमितीय फलन का। उदाहरण के लिए, उन लोगों के फ़ंक्शन निरंतर है $\mathbb {R} ,$ लेकिन इसे निरंतर नहीं बनाया जा सकता $\infty .$ जैसा कि ऊपर देखा गया है, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को उस फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो निरंतर है $\mathbb {R} ,$ लेकिन इस फ़ंक्शन को निरंतर नहीं बनाया जा सकता है $\infty .$ कई असंतत कार्य जो कोडोमेन के विस्तारित होने पर निरंतर हो जाते हैं ${\widehat {\mathbb {R} }}$ यदि कोडोमेन को एफ़िनली विस्तारित वास्तविक संख्या प्रणाली तक बढ़ाया जाता है तो यह असंतत रहता है ${\overline {\mathbb {R} }}.$ ये है फंक्शन का मामला $x\mapsto {\frac {1}{x}}.$ दूसरी ओर, कुछ कार्य जो निरंतर होते रहते हैं $\mathbb {R}$ और पर असंतत $\infty \in {\widehat {\mathbb {R} }}$ यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन बढ़ाया जाता है तो यह निरंतर हो जाता है ${\overline {\mathbb {R} }}.$ यह आर्कटिक स्पर्शरेखा का मामला है।

एक प्रक्षेप्य सीमा के रूप में

Main article: Projective range

जब वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा को वास्तविक प्रक्षेप्य तल के संदर्भ में माना जाता है, तो डेसार्गेस प्रमेय के परिणाम अंतर्निहित होते हैं। विशेष रूप से, बिंदुओं के बीच प्रक्षेप्य हार्मोनिक संयुग्म संबंध का निर्माण वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा की संरचना का हिस्सा है। उदाहरण के लिए, किसी भी बिंदु के जोड़े को देखते हुए, अनंत पर बिंदु उनके मध्य बिंदु का प्रक्षेप्य हार्मोनिक संयुग्म है।

चूंकि प्रक्षेप्यता हार्मोनिक संबंध को संरक्षित करती है, वे वास्तविक प्रोजेक्टिव लाइन की स्वचालितता बनाते हैं। प्रोजेक्टिविटी को बीजगणितीय रूप से होमोग्राफी के रूप में वर्णित किया गया है, क्योंकि वास्तविक संख्याएं एक रिंग (गणित) बनाती हैं, एक रिंग के ऊपर एक प्रोजेक्टिव लाइन के सामान्य निर्माण के अनुसार। सामूहिक रूप से वे समूह PGL(2,R)|PGL(2,R) बनाते हैं।

जो प्रोजेक्टिविटी अपने स्वयं के व्युत्क्रम होते हैं उन्हें इनवोल्यूशन (गणित) #प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री कहा जाता है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण इन्वोल्यूशन में दो निश्चित बिंदु (गणित) होते हैं। इनमें से दो वास्तविक प्रक्षेप्य रेखा पर प्राथमिक, अंकगणितीय संक्रियाओं के अनुरूप हैं: योगात्मक व्युत्क्रम और गुणक व्युत्क्रम। दरअसल, 0 और ∞ निषेध के तहत तय होते हैं, जबकि 1 और −1 व्युत्क्रम के तहत तय होते हैं।

यह भी देखें

• वास्तविक प्रक्षेप्य तल
• जटिल प्रक्षेप्य तल
• पहिया सिद्धांत