विहित मानचित्र

See also Natural transformation, a related concept in category theory.

For the canonical map of an algebraic variety into projective space, see Canonical bundle § Canonical maps.

गणित में, एक विहित मानचित्र, जिसे प्राकृतिक मानचित्र भी कहा जाता है, वस्तुओं के बीच एक फ़ंक्शन (गणित) या रूपवाद है जो वस्तुओं की परिभाषा या निर्माण से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। अक्सर, यह एक मानचित्र होता है जो संरचना की व्यापक मात्रा को संरक्षित करता है। विहित मानचित्र का चुनाव कभी-कभी किसी परिपाटी (जैसे, एक संकेत परिपाटी) पर निर्भर करता है।

एक निकट से संबंधित धारणा एक संरचना मानचित्र या संरचना रूपवाद है; वह मानचित्र या रूपवाद जो वस्तु पर दी गई संरचना के साथ आता है। इन्हें कभी-कभी विहित मानचित्र भी कहा जाता है।

एक विहित समरूपता एक विहित मानचित्र है जो एक समरूपता (यानी, व्युत्क्रम फलन) भी है। कुछ संदर्भों में, विहित मानचित्रों या विहित समरूपता के विकल्प के मुद्दे को संबोधित करना आवश्यक हो सकता है; एक विशिष्ट उदाहरण के लिए, प्रीस्टैक#परिभाषा देखें।

विहित मानचित्र को परिभाषित करने की समस्या पर चर्चा के लिए 2022 ग्रोथेंडिक सम्मेलन में केविन बज़र्ड की बातचीत देखें।

उदाहरण

• यदि N, समूह (गणित) G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G से भागफल समूह G/N तक एक विहित विशेषण समूह समरूपता है, जो एक तत्व g को g द्वारा निर्धारित सह समुच्चय में भेजता है।
• यदि I रिंग (गणित) R का एक आदर्श (रिंग सिद्धांत) है, तो R से भागफल रिंग R/I पर एक विहित विशेषण रिंग समरूपता है, जो एक तत्व r को उसके सहसमुच्चय I+r पर भेजता है।
• यदि V एक सदिश समष्टि है, तो V से V के दूसरे दोहरे समष्टि तक एक विहित मानचित्र है, जो एक सदिश v को रैखिक रूप f में भेजता है_v एफ द्वारा परिभाषित_v(λ) = λ(v).
• अगर f: R → S क्रमविनिमेय छल्लों के बीच एक समरूपता है, तो S को R के ऊपर एक वलय पर बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है। वलय समरूपता f को तब संरचना मानचित्र (बीजगणित संरचना के लिए) कहा जाता है। प्राइम स्पेक्ट्रम पर संबंधित मानचित्र f^*: Spec(S) → Spec(R) को संरचना मानचित्र भी कहा जाता है।
• यदि ई टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर एक वेक्टर बंडल है, तो ई से एक्स तक का प्रक्षेपण मानचित्र संरचना मानचित्र है।
• टोपोलॉजी में, एक कैनोनिकल मैप एक फ़ंक्शन f है जो एक सेट X → X/R (X modulo R) को मैप करता है, जहां R, X पर एक समतुल्य संबंध है, जो X में प्रत्येक x को समतुल्य वर्ग [x] modulo R में ले जाता है।