मुक्त संवलन

नि:शुल्क कनवल्शन संभाव्यता मापों के कनवल्शन की शास्त्रीय धारणा का मुक्त संभाव्यता एनालॉग है। मुक्त संभाव्यता सिद्धांत की गैर-क्रमविनिमेय प्रकृति के कारण, किसी को योगात्मक और गुणक मुक्त कनवल्शन के बारे में अलग से बात करनी होगी, जो कि मुक्त यादृच्छिक चर के जोड़ और गुणन से उत्पन्न होता है (नीचे देखें; शास्त्रीय मामले में, मुक्त का एनालॉग क्या होगा) गुणात्मक कनवल्शन को यादृच्छिक चर के लघुगणक में पास करके योगात्मक कनवल्शन में कम किया जा सकता है)। यादृच्छिक मैट्रिक्स के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपायों के संदर्भ में इन परिचालनों की कुछ व्याख्याएं हैं। मुक्त कनवल्शन की धारणा डैन-वर्जिल वोइकुलेस्कु द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

मुक्त योगात्मक कनवल्शन

होने देना $\mu$ और $\nu$ वास्तविक रेखा पर दो संभाव्यता माप हों, और मान लें $X$ कानून के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में एक यादृच्छिक चर है $\mu$ और $Y$ कानून के साथ समान गैर क्रमपरिवर्तनीय संभाव्यता स्थान में एक यादृच्छिक चर है $\nu$. अंततः यही मान लीजिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र स्वतंत्रता हैं. फिर मुक्त योगात्मक कनवल्शन $\mu \boxplus \nu$ का कानून है $X+Y$. यादृच्छिक मैट्रिक्स व्याख्या: यदि $A$ और $B$ कुछ स्वतंत्र हैं $n$ द्वारा $n$ हर्मिटियन (सम्मान वास्तविक सममित) यादृच्छिक मैट्रिक्स जैसे कि उनमें से कम से कम एक अपरिवर्तनीय है, कानून में, किसी एकात्मक (सम्मान ऑर्थोगोनल) मैट्रिक्स द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय $A$ और $B$ क्रमशः प्रवृत्त होते हैं $\mu$ और $\nu$ जैसा $n$ अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप $A+B$ आदत है $\mu \boxplus \nu$. कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है $\mu \boxplus \nu$ स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और उपायों के आर-रूपांतरण का उपयोग करके $\mu$ और $\nu$.

आयताकार मुक्त योगात्मक कनवल्शन

आयताकार मुक्त योगात्मक कनवल्शन (अनुपात के साथ)। $c$) $\boxplus _{c}$ इसे बेनायच-जॉर्जेस द्वारा गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता ढांचे में भी परिभाषित किया गया है और निम्नलिखित यादृच्छिक मैट्रिक्स व्याख्या को स्वीकार करता है। के लिए $c\in [0,1]$, के लिए $A$ और $B$ कुछ स्वतंत्र हैं $n$ द्वारा $p$ जटिल (सम्मानित वास्तविक) यादृच्छिक मैट्रिक्स जैसे कि उनमें से कम से कम एक अपरिवर्तनीय है, कानून में, किसी भी एकात्मक (सम्मानित ऑर्थोगोनल) मैट्रिक्स द्वारा बाईं और दाईं ओर गुणा के तहत और इस तरह कि अनुभवजन्य एकवचन मान वितरण $A$ और $B$ क्रमशः प्रवृत्त होते हैं $\mu$ और $\nu$ जैसा $n$ और $p$ इस प्रकार अनंत की ओर प्रवृत्त होते हैं $n/p$ आदत है $c$, फिर अनुभवजन्य एकवचन मूल्यों का वितरण $A+B$ आदत है $\mu \boxplus _{c}\nu$. कई मामलों में, संभाव्यता माप की गणना करना संभव है $\mu \boxplus _{c}\nu$ स्पष्ट रूप से जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और अनुपात के साथ आयताकार आर-रूपांतरण का उपयोग करके $c$ उपायों का $\mu$ और $\nu$.

मुक्त गुणात्मक संवलन

होने देना $\mu$ और $\nu$ अंतराल पर दो संभाव्यता माप हों $[0,+\infty )$, और मान लीजिये $X$ कानून के साथ गैर क्रमविनिमेय संभाव्यता स्थान में एक यादृच्छिक चर है $\mu$ और $Y$ कानून के साथ समान गैर क्रमपरिवर्तनीय संभाव्यता स्थान में एक यादृच्छिक चर है $\nu$. अंततः यही मान लीजिए $X$ और $Y$ स्वतंत्र स्वतंत्रता हैं. फिर मुक्त गुणात्मक कनवल्शन $\mu \boxtimes \nu$ का कानून है $X^{1/2}YX^{1/2}$ (या, समकक्ष, का कानून $Y^{1/2}XY^{1/2}$. यादृच्छिक मैट्रिक्स व्याख्या: यदि $A$ और $B$ कुछ स्वतंत्र हैं $n$ द्वारा $n$ गैर-नकारात्मक हर्मिटियन (सम्मानित वास्तविक सममित) यादृच्छिक मैट्रिक्स जैसे कि उनमें से कम से कम एक अपरिवर्तनीय है, कानून में, किसी एकात्मक (सम्मानित ऑर्थोगोनल) मैट्रिक्स द्वारा संयुग्मन के तहत और इस तरह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय $A$ और $B$ क्रमशः प्रवृत्त होते हैं $\mu$ और $\nu$ जैसा $n$ अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है, फिर अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप $AB$ आदत है $\mu \boxtimes \nu$. कानूनों के मामले में भी ऐसी ही परिभाषा बनाई जा सकती है $\mu ,\nu$ यूनिट सर्कल पर समर्थित $\{z:|z|=1\}$, एक ऑर्थोगोनल या एकात्मक यादृच्छिक मैट्रिक्स व्याख्या के साथ।

जटिल-विश्लेषणात्मक तकनीकों और एस-ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके गुणक मुक्त कनवल्शन की स्पष्ट गणना की जा सकती है।

मुक्त कनवल्शन के अनुप्रयोग

• मुक्त केंद्रीय सीमा प्रमेय का प्रमाण देने के लिए मुक्त कनवल्शन का उपयोग किया जा सकता है।
• नि:शुल्क कनवल्शन का उपयोग उन यादृच्छिक चरों के योगों या उत्पादों के नियमों और स्पेक्ट्रा की गणना करने के लिए किया जा सकता है जो निःशुल्क हैं। ऐसे उदाहरणों में शामिल हैं: मुक्त समूहों पर यादृच्छिक चाल ऑपरेटर (केस्टन उपाय); और स्वतंत्र यादृच्छिक मैट्रिक्स के योगों या उत्पादों के eigenvalues ​​​​का स्पर्शोन्मुख वितरण।

यादृच्छिक मैट्रिक्स के लिए अपने अनुप्रयोगों के माध्यम से, मुक्त कनवल्शन का गिरको के जी-आकलन पर अन्य कार्यों के साथ कुछ मजबूत संबंध हैं।

वायरलेस संचार, वित्त और जीवविज्ञान में अनुप्रयोगों ने एक उपयोगी रूपरेखा प्रदान की है जब अवलोकनों की संख्या प्रणाली के आयामों के समान क्रम की होती है।

यह भी देखें

• कनवल्शन
• नि:शुल्क संभाव्यता
• यादृच्छिक मैट्रिक्स

संदर्भ

• "Free Deconvolution for Signal Processing Applications", O. Ryan and M. Debbah, ISIT 2007, pp. 1846–1850
• James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Vol. 35, Springer, New York, 2017.
• D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Free Probability and Operator Algebras, Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016

बाहरी संबंध

• Alcatel Lucent Chair on Flexible Radio
• http://www.cmapx.polytechnique.fr/~benaych
• http://folk.uio.no/oyvindry
• survey articles of Roland Speicher on free probability.