सेरे द्वैत

बीजगणितीय ज्यामिति में, गणित की शाखा, सेरे द्वैत बीजगणितीय प्रकारों के सुसंगत शीफ सह समरूपता के लिए द्वैत (गणित) है, जिसे जीन पियरे सेरे द्वारा सिद्ध किया गया है। मूल संस्करण सहज प्रक्षेप्य प्रकार पर सदिश बंडलों पर लागू होता है, परन्तु अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने व्यापक सामान्यीकरण पाया, उदाहरण के लिए विलक्षण प्रकारों के लिए। एन-विमीय विविधता पर, प्रमेय कहता है कि एक सह समरूपता समूह $H^{i}$ दूसरे एक, $H^{n-i}$ की दोहरी समष्टि है। सेरे द्वैत टोपोलॉजी में पोंकारे द्वैत के सुसंगत शीफ सह समरूपता के लिए एनालॉग है, जिसमें विहित रेखा बंडल ओरिएंटेशन शीफ का स्थान लेता है।

सेरे द्वैत प्रमेय सम्मिश्र ज्यामिति में भी अधिक सामान्यतः सत्य है, संहत सम्मिश्र कई गुना के लिए जो आवश्यक रूप से प्रक्षेपीय विविधता सम्मिश्र बीजगणितीय विविधता नहीं हैं। इस समायोजन में, सेरे द्वैत प्रमेय डोल्बौल्ट सह समरूपता के लिए हॉज सिद्धांत का अनुप्रयोग है, और इसे अण्डाकार संक्रियकों के सिद्धांत में परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।

सेरे द्वैत की ये दो अलग-अलग व्याख्याएं डॉल्बौल्ट के प्रमेय के अनुप्रयोग द्वारा डॉल्बौल्ट सह समरूपता से संबंधित शीफ सह समरूपता गैर-विलक्षण प्रक्षेपी सम्मिश्र बीजगणितीय प्रकारों के लिए मेल खाती हैं।

सदिश बंडलों के लिए क्रमिक द्वैत

बीजगणितीय प्रमेय

मान लीजिए कि X क्षेत्र k के ऊपर विमा n की सहज विविधता है। 'विहित रेखा बंडल' को $K_{X}$ को X पर एन-रूप के बंडल के रूप में परिभाषित करें, कोटिस्पर्श रेखा बंडल की शीर्ष बाहरी घात:

$K_{X}=\Omega _{X}^{n}={\bigwedge }^{n}(T^{*}X).$

इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि X, k के ऊपर उचित रूपवाद (उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य विविधता) है। तब सेरे द्वैत कहता है: X और पूर्णांक i पर एक बीजगणितीय सदिश बंडल E के लिए, परिमित-विमीय k-सदिश रिक्त समष्टि की प्राकृतिक समरूपता

$H^{i}(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })^{\ast }$

है। यहाँ $\otimes$ सदिश बंडलों के टेंसर गुणनफल को दर्शाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो सह-समरूपता समूहों की विमा समान हैं:

$h^{i}(X,E)=h^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast }).$

पोंकारे द्वैत के जैसे, सेरे द्वैत में समरूपता शीफ ​​सह समरूपता में शीफ सह समरूपता कप गुणनफल से आती है। अर्थात्, $H^{n}(X,K_{X})$ पर प्राकृतिक अनुरेख प्रतिचित्र के साथ कप गुणनफल की संरचना आदर्श युग्मन है:

$H^{i}(X,E)\times H^{n-i}(X,K_{X}\otimes E^{\ast })\to H^{n}(X,K_{X})\to k.$

अनुरेख प्रतिचित्र डे रहम सह समरूपता में समाकलन के सुसंगत शीफ सह समरूपता के लिए एनालॉग है।

विभेदक-ज्यामितीय प्रमेय

सेरे ने X (एक संहत सम्मिश्र कई गुना ) और E (एक होलोमोर्फिक सदिश बंडल) के लिए भी समान द्वैत कथन सिद्ध किया था। यहाँ, सेरे द्वैत प्रमेय हॉज सिद्धांत का परिणाम है। अर्थात्, रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित संहत मिश्रित कई गुना $X$ पर , हॉज स्टार संक्रियक

$\star :\Omega ^{p}(X)\to \Omega ^{2n-p}(X),$

है, जहां $\dim _{\mathbb {C} }X=n$। इसके अतिरिक्त, चूंकि $X$ सम्मिश्र है, सम्मिश्र विभेदक रूपों को $(p,q)$ प्रकार के रूपों में विभाजित किया जाता है। हॉज स्टार संक्रियक (सम्मिश्र-रैखिक रूप से सम्मिश्र-मानित अंतर रूपों तक विस्तारित) इस श्रेणीकरण के साथ

$\star :\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-q,n-p}(X)$ के रूप में परस्पर क्रिया करता है।

ध्यान दें कि होलोमोर्फिक और प्रति-होलोमोर्फिक सूचकांकों ने स्थान बदल लिया है। सम्मिश्र विभेदक रूपों पर संयुग्मन होता है जो प्रकार $(p,q)$ और $(q,p)$ के रूपों का आदान-प्रदान करता है , और यदि कोई ${\bar {\star }}\omega =\star {\bar {\omega }}$ द्वारा संयुग्म-रेखीय हॉज स्टार संक्रियक को परिभाषित करता है तो हमारे निकट

${\bar {\star }}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X)$ होता है।

संयुग्म-रेखीय हॉज स्टार का उपयोग करके, कोई सम्मिश्र अंतर रूपों पर हर्मिटियन $L^{2}$- आंतरिक गुणनफल को

$\langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta ,$

द्वारा परिभाषित कर सकता है, जहाँ अब $\alpha \wedge {\bar {\star }}\beta$ एक $(n,n)$-रूपरूप है, और विशेष रूप से एक समिश्र-मानित $2n$-रूप है, और इसलिए इसे इसके विहित अभिविन्यास के संबंध में $X$ पर समाकलित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, मान लीजिए $(E,h)$ हर्मिटियन होलोमोर्फिक सदिश बंडल है। फिर हर्मिटियन मीट्रिक $h$ संयुग्म-रैखिक समरूपता देता है $E\cong E^{*}$ बीच में $E$ और इसका दोहरी सदिश बंडल, मान लीजिए $\tau :E\to E^{*}$। परिभाषित ${\bar {\star }}_{E}(\omega \otimes s)={\bar {\star }}\omega \otimes \tau (s)$, व्यक्ति समरूपता प्राप्त करता है

${\bar {\star }}_{E}:\Omega ^{p,q}(X,E)\to \Omega ^{n-p,n-q}(X,E^{*})$

कहाँ $\Omega ^{p,q}(X,E)=\Omega ^{p,q}(X)\otimes \Gamma (E)$ सहज से मिलकर बनता है $E$-मानित सम्मिश्र विभेदक रूप। के बीच युग्म का उपयोग करना $E$ और $E^{*}$ द्वारा दिए गए $\tau$ और $h$, इसलिए कोई हर्मिटियन को परिभाषित कर सकता है $L^{2}$-ऐसे पर आंतरिक गुणनफल $E$-मानित प्रपत्र द्वारा

$\langle \alpha ,\beta \rangle _{L^{2}}=\int _{X}\alpha \wedge _{h}{\bar {\star }}_{E}\beta ,$

यहां कहां $\wedge _{h}$ इसका अर्थ है विभेदक रूपों का पच्चर गुणनफल और बीच में युग्मन का उपयोग करना $E$ और $E^{*}$ द्वारा दिए गए $h$।

डॉल्बुल्ट सह समरूपता के लिए हॉज प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि यदि हम परिभाषित करते हैं

$\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}={\bar {\partial }}_{E}^{*}{\bar {\partial }}_{E}+{\bar {\partial }}_{E}{\bar {\partial }}_{E}^{*}$

कहाँ ${\bar {\partial }}_{E}$ का डॉल्बुल्ट संचालक है $E$ और ${\bar {\partial }}_{E}^{*}$ तो, आंतरिक गुणनफल के संबंध में इसका औपचारिक जोड़ है

$H^{p,q}(X,E)\cong {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X).$

बायीं ओर डोल्बौल्ट सह समरूपता है, और दायीं ओर हार्मोनिक का सदिश समष्टि है $E$-मानित विभेदक रूपों द्वारा परिभाषित

${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)=\{\alpha \in \Omega ^{p,q}(X,E)\mid \Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}(\alpha )=0\}.$

इस विवरण का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: समरूपता ${\bar {\star }}_{E}$ सम्मिश्र रैखिक समरूपता उत्पन्न करता है

$H^{p,q}(X,E)\cong H^{n-p,n-q}(X,E^{*})^{*}.$

उपरोक्त हॉज सिद्धांत का उपयोग करके इसे आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। अर्थात्, यदि $[\alpha ]$ में सह समरूपता कक्षा है $H^{p,q}(X,E)$ अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि के साथ $\alpha \in {\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)$, तब

$(\alpha ,{\bar {\star }}_{E}\alpha )=\langle \alpha ,\alpha \rangle _{L^{2}}\geq 0$

समानता के साथ यदि और केवल यदि $\alpha =0$। विशेष रूप से, सम्मिश्र रैखिक युग्मन

$(\alpha ,\beta )=\int _{X}\alpha \wedge _{h}\beta$

बीच में ${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E}}}^{p,q}(X)$ और ${\mathcal {H}}_{\Delta _{{\bar {\partial }}_{E^{*}}}}^{n-p,n-q}(X)$ गैर-पतित है, और सेरे द्वैत प्रमेय में समरूपता को प्रेरित करता है।

बीजगणितीय समायोजन में सेरे द्वैत का कथन लेकर पुनः प्राप्त किया जा सकता है $p=0$, और डॉल्बुल्ट के प्रमेय को लागू करना, जो यह बताता है

$H^{p,q}(X,E)\cong H^{q}(X,{\boldsymbol {\Omega }}^{p}\otimes E)$

जहां बायीं ओर डॉल्बौल्ट सह समरूपता है और दाहिनी ओर शीफ सह समरूपता है, जहां ${\boldsymbol {\Omega }}^{p}$ होलोमोर्फिक के शीफ़ को दर्शाता है $(p,0)$-रूप। विशेष रूप से, हम प्राप्त करते हैं

$H^{q}(X,E)\cong H^{0,q}(X,E)\cong H^{n,n-q}(X,E^{*})^{*}\cong H^{n-q}(X,K_{X}\otimes E^{*})^{*}$

जहां हमने होलोमोर्फिक के शीफ का उपयोग किया है $(n,0)$-forms केवल विहित बंडल है $X$।

बीजगणितीय वक्र

सेरे द्वैत का मौलिक अनुप्रयोग बीजगणितीय वक्रों के लिए है। (सम्मिश्र संख्याओं पर, यह संहत रीमैन सतहों पर विचार करने के बराबर है।) क्षेत्र k के ऊपर चिकने प्रक्षेप्य वक्र $H^{0}(X,L)$ और $H^{1}(X,L)$। सेरे द्वैत का वर्णन करता है $H^{1}$ के संदर्भ में समूह $H^{0}$ समूह (एक अलग रेखा बंडल के लिए)। चूँकि, यह अधिक ठोस है $H^{0}$ रेखा बंडल का बस उसके अनुभागों का स्थान है।

सेरे द्वैत वक्रों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है। जीनस (गणित) जी के वक्र X पर डिग्री डी के रेखा बंडल एल के लिए, रीमैन-रोच प्रमेय कहता है कि

$h^{0}(X,L)-h^{1}(X,L)=d-g+1.$

सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए, इसे और अधिक प्रारंभिक शब्दों में दोहराया जा सकता है:

$h^{0}(X,L)-h^{0}(X,K_{X}\otimes L^{*})=d-g+1.$

बाद वाला कथन (भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के संदर्भ में व्यक्त) वास्तव में 19वीं शताब्दी के प्रमेय का मूल संस्करण है। यह मुख्य उपकरण है जिसका उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए वक्र को प्रक्षेप्य समष्टि में कैसे एम्बेड किया जा सकता है और इसलिए बीजगणितीय वक्रों को वर्गीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण: ऋणात्मक डिग्री वाले रेखा बंडल का प्रत्येक वैश्विक खंड शून्य है। इसके अतिरिक्त, विहित बंडल की डिग्री है $2g-2$। इसलिए, रीमैन-रोच का तात्पर्य है कि डिग्री के रेखा बंडल एल के लिए $d>2g-2$, $h^{0}(X,L)$ के बराबर है $d-g+1$। जब जीनस जी कम से कम 2 होता है, तो यह सेरे द्वैत का अनुसरण करता है $h^{1}(X,TX)=h^{0}(X,K_{X}^{\otimes 2})=3g-3$। यहाँ $H^{1}(X,TX)$ X का प्रथम-क्रम विरूपण सिद्धांत है। यह दिखाने के लिए आवश्यक बुनियादी गणना है कि जीनस जी के वक्रों के मॉड्यूलि स्पेस में विमा है $3g-3$।

सुसंगत ढेरों के लिए क्रमिक द्वैत

सेरे द्वैत का अन्य सूत्रीकरण केवल सदिश बंडलों के लिए नहीं, बल्कि सभी सुसंगत ढेरों के लिए है। सेरे द्वैत को सामान्य बनाने में पहले कदम के रूप में, ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि यह संस्करण हल्की विलक्षणताओं वाली योजना (गणित) के लिए काम करता है, कोहेन-मैकाले रिंग|कोहेन-मैकाले योजनाएं, न कि केवल सहज योजनाएं।

अर्थात्, क्षेत्र k पर शुद्ध विमा n की कोहेन-मैकाले योजना X के लिए, ग्रोथेंडिक ने सुसंगत शीफ को परिभाषित किया $\omega _{X}$ X पर 'डुअलाइजिंग शीफ' कहा जाता है। (कुछ लेखक इसे शीफ कहते हैं $K_{X}$।) इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि X, k के ठीक ऊपर है। X पर सुसंगत शीफ़ E और पूर्णांक i के लिए, सेरे द्वैत कहता है कि प्राकृतिक समरूपता है

$\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})\cong H^{n-i}(X,E)^{*}$

परिमित-विमीय k-सदिश रिक्त स्थान का। यहां एक्सट संक्रियक को मॉड्यूल के शीव्स की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है$O_{X}$-मॉड्यूल। इसमें पिछला कथन भी शामिल है $\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})$ के लिए समरूपी है $H^{i}(X,E^{*}\otimes \omega _{X})$ जब E सदिश बंडल है।

इस परिणाम का उपयोग करने के लिए, किसी को कम से कम विशेष मामलों में, स्पष्ट रूप से दोहरीकरण शीफ को निर्धारित करना होगा। जब X, k के ऊपर चिकना होता है, $\omega _{X}$ विहित रेखा बंडल है $K_{X}$ ऊपर परिभाषित। अधिक आम तौर पर, यदि

$\omega _{X}\cong {\mathcal {Ext}}_{O_{Y}}^{r}(O_{X},K_{Y}).$

जब

$\omega _{X}\cong K_{Y}|_{X}\otimes {\bigwedge }^{r}(N_{X/Y}).$

इस मामले में, X कोहेन-मैकाले योजना है $\omega _{X}$ रेखा बंडल, जो कहता है कि X गोरेन्स्टीन योजना है।

उदाहरण: मान लीजिए कि प्रक्षेप्य स्थान में X पूर्ण प्रतिच्छेदन है ${\mathbf {P} }^{n}$ सजातीय बहुपदों द्वारा परिभाषित क्षेत्र k पर $f_{1},\ldots ,f_{r}$ डिग्रियों का $d_{1},\ldots ,d_{r}$। (यह कहने का अर्थ है कि यह पूर्ण प्रतिच्छेदन है कि X का विमा है $n-r$।) रेखा बंडल O(d) पर हैं ${\mathbf {P} }^{n}$ पूर्णांक d के लिए, इस गुण के साथ कि घात d के सजातीय बहुपदों को O(d) के अनुभागों के रूप में देखा जा सकता है। फिर X का दोहरीकरण शीफ रेखा बंडल है

$\omega _{X}=O(d_{1}+\cdots +d_{r}-n-1)|_{X},$

योजक सूत्र द्वारा। उदाहरण के लिए, डिग्री d के समतल वक्र X का दोहरीकरण शीफ है $O(d-3)|_{X}$।

कैलाबी-यौ तीन गुना का सम्मिश्र मॉड्यूल

विशेष रूप से, हम सम्मिश्र विकृतियों की संख्या की गणना कर सकते हैं, के बराबर $\dim(H^{1}(X,TX))$ क्विंटिक तीन गुना के लिए $\mathbb {P} ^{4}$, कैलाबी-यॉ प्रकार, सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए। चूँकि Calabi-Yau संपत्ति सुनिश्चित करती है $K_{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}$ सेरे द्वैत हमें यह दिखाता है $H^{1}(X,TX)\cong H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X}\otimes \Omega _{X})\cong H^{2}(X,\Omega _{X})$ सम्मिश्र मॉड्यूल की संख्या को दर्शाना बराबर है $h^{2,1}$ हॉज हीरे में। बेशक, अंतिम कथन बोगोमोलेव-तियान-टोडोरोव प्रमेय पर निर्भर करता है जो बताता है कि कैलाबी-याउ पर प्रत्येक विकृति अबाधित है।

ग्रोथेंडिक द्वैत

Main article: Coherent duality

ग्रोथेंडिक का सुसंगत द्वैत का सिद्धांत व्युत्पन्न श्रेणियों की भाषा का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत का व्यापक सामान्यीकरण है। क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की किसी भी योजना X के लिए, वस्तु होती है $\omega _{X}^{\bullet }$ X पर सुसंगत ढेरों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी का, $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$, जिसे k के ऊपर X का दोहरीकरण मिश्रित कहा जाता है। औपचारिक रूप से, $\omega _{X}^{\bullet }$ असाधारण व्युत्क्रम छवि फ़ैक्टर है $f^{!}O_{Y}$, जहां f दिया गया रूपवाद है $X\to Y=\operatorname {Spec} (k)$। जब X शुद्ध विमा n का कोहेन-मैकाले है, $\omega _{X}^{\bullet }$ है $\omega _{X}[n]$; यानी, यह ऊपर चर्चा की गई द्वैतीकरण शीफ है, जिसे (कोहोमोलॉजिकल) डिग्री -एन में सम्मिश्र के रूप में देखा जाता है। विशेष रूप से, जब X, k के ऊपर चिकना होता है, $\omega _{X}^{\bullet }$ डिग्री −n में रखा गया विहित रेखा बंडल है।

दोहरीकरण परिसर का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत किसी भी उचित योजना X को k से अधिक सामान्यीकृत करता है। अर्थात्, परिमित-विमीय k-सदिश रिक्त समष्टि की प्राकृतिक समरूपता है

$\operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(O_{X},E)^{*}$

किसी भी वस्तु के लिए E में $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$। अधिक आम तौर पर, उचित योजना के लिए X ओवर के, ऑब्जेक्ट E इन $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$, और एफ आदर्श परिसर है $D_{\operatorname {perf} }(X)$, के निकट सुंदर कथन है:

$\operatorname {Hom} _{X}(E,F\otimes \omega _{X}^{\bullet })\cong \operatorname {Hom} _{X}(F,E)^{*}.$

यहां टेंसर गुणनफल का अर्थ व्युत्पन्न टेंसर गुणनफल है, जैसा कि व्युत्पन्न श्रेणियों में स्वाभाविक है। (पिछले रूपूलेशन से तुलना करने के लिए, ध्यान दें $\operatorname {Ext} _{X}^{i}(E,\omega _{X})$ के रूप में देखा जा सकता है $\operatorname {Hom} _{X}(E,\omega _{X}[i])$।) जब X, k के ऊपर भी चिकना होता है, तो प्रत्येक वस्तु अंदर आ जाती है $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ पूर्ण सम्मिश्र है, और इसलिए यह द्वैत सभी E और एफ पर लागू होता है $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$। उपरोक्त कथन को यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है $F\mapsto F\otimes \omega _{X}^{\bullet }$ यह सेरे संक्रियक है $D_{\operatorname {coh} }^{b}(X)$ X के लिए k के ऊपर सहज और उचित। किसी क्षेत्र में उचित बीजगणितीय रिक्त समष्टि के लिए सेरे द्वैत अधिक सामान्यतः लागू होता है।

संदर्भ

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• Huybrechts, Daniel (2005), Complex geometry, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-21290-6, MR 2093043
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• Serre, Jean-Pierre (1955), "Un théorème de dualité", Commentarii Mathematici Helvetici, 29: 9–26, doi:10.1007/BF02564268, MR 0067489
• Tate, John (1968), "Residues of differentials on curves" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, Série 4, 1: 149–159, doi:10.24033/asens.1162, ISSN 0012-9593, MR 0227171

बाहरी संबंध

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project