सजातीय समन्वय वलय

बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय विविधता V की सजातीय समन्वय अंगूठी R को बीजगणितीय विविधता के रूप में दिया गया है#किसी दिए गए आयाम के प्रक्षेप्य स्थान की विविधता N परिभाषा के अनुसार भागफल अंगूठी है

आर = के[एक्स₀, एक्स₁, एक्स₂, ..., एक्स_N] / मैं

जहां I, V को परिभाषित करने वाला सजातीय आदर्श है, K बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिस पर V को परिभाषित किया गया है, और

के[एक्स₀, एक्स₁, एक्स₂, ..., एक्स_N]

N + 1 चर X में बहुपद वलय है_i. इसलिए बहुपद वलय स्वयं प्रक्षेप्य स्थान का सजातीय समन्वय वलय है, और आधार के किसी दिए गए विकल्प के लिए चर सजातीय निर्देशांक हैं (प्रक्षेप्य स्थान के अंतर्निहित सदिश स्थल में)। आधार के चुनाव का मतलब है कि यह परिभाषा आंतरिक नहीं है, लेकिन सममित बीजगणित का उपयोग करके इसे ऐसा बनाया जा सकता है।

निरूपण

चूँकि V को एक विविधता माना जाता है, और इसलिए यह एक अप्रासंगिक बीजगणितीय सेट है, आदर्श I को एक प्रमुख आदर्श के रूप में चुना जा सकता है, और इसलिए R एक अभिन्न डोमेन है। समान परिभाषा का उपयोग सामान्य सजातीय आदर्शों के लिए किया जा सकता है, लेकिन परिणामी समन्वय रिंगों में गैर-शून्य निलपोटेंट तत्व और शून्य के अन्य विभाजक शामिल हो सकते हैं। योजना सिद्धांत के दृष्टिकोण से इन मामलों को प्रोज निर्माण के माध्यम से एक ही स्तर पर निपटाया जा सकता है।

सभी एक्स द्वारा उत्पन्न अप्रासंगिक आदर्श जे_i खाली सेट से मेल खाता है, क्योंकि सभी सजातीय निर्देशांक प्रक्षेप्य स्थान के एक बिंदु पर गायब नहीं हो सकते हैं।

प्रक्षेप्य Nullstellensatz प्रक्षेप्य किस्मों और सजातीय आदर्शों I जिनमें J शामिल नहीं है, के बीच एक विशेषण पत्राचार देता है।

संकल्प और सहजीवन

बीजगणितीय ज्यामिति के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित तकनीकों के अनुप्रयोग में, डेविड हिल्बर्ट (हालांकि आधुनिक शब्दावली अलग है) के बाद से आर के मुक्त रिज़ॉल्यूशन को लागू करना पारंपरिक रहा है, जिसे बहुपद रिंग पर एक वर्गीकृत मॉड्यूल के रूप में माना जाता है। इससे Syzygy (गणित) के बारे में जानकारी मिलती है, अर्थात् आदर्श I के जेनरेटरों के बीच संबंध। शास्त्रीय परिप्रेक्ष्य में, ऐसे जेनरेटर केवल वे समीकरण होते हैं जिन्हें V को परिभाषित करने के लिए लिखा जाता है। यदि V एक ऊनविम पृष्ठ है तो केवल एक समीकरण की आवश्यकता होती है, और इसके लिए पूर्ण प्रतिच्छेदन समीकरणों की संख्या को संहिताकरण के रूप में लिया जा सकता है; लेकिन सामान्य प्रक्षेप्य विविधता में समीकरणों का कोई परिभाषित सेट नहीं है जो इतना पारदर्शी हो। विस्तृत अध्ययन, उदाहरण के लिए विहित वक्र और एबेलियन किस्मों को परिभाषित करने वाले समीकरण, इन मामलों को संभालने के लिए व्यवस्थित तकनीकों की ज्यामितीय रुचि दिखाते हैं। यह विषय अपने शास्त्रीय रूप में उन्मूलन सिद्धांत से भी विकसित हुआ है, जिसमें न्यूनीकरण मॉड्यूलो I को एक एल्गोरिथम प्रक्रिया माना जाता है (अब व्यवहार में ग्रोबनेर बेस द्वारा नियंत्रित किया जाता है)।

सामान्य कारणों से K[X की तुलना में श्रेणीबद्ध मॉड्यूल के रूप में R के निःशुल्क रिज़ॉल्यूशन हैं₀, एक्स₁, एक्स₂, ..., एक्स_N]. एक रिज़ॉल्यूशन को न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया गया है यदि प्रत्येक मॉड्यूल में छवि मुक्त मॉड्यूल के रूप में है

φ:एफ_i → एफ_{i − 1}

संकल्प में जेएफ में निहित है_{i − 1,} जहाँ J अप्रासंगिक आदर्श है। नाकायमा के लेम्मा के परिणामस्वरूप, φ फिर एफ में एक दिया गया आधार लेता है_i एफ में जनरेटर के न्यूनतम सेट के लिए_{i − 1}. न्यूनतम मुक्त रिज़ॉल्यूशन की अवधारणा एक मजबूत अर्थ में अच्छी तरह से परिभाषित है: श्रृंखला परिसरों के समरूपता तक अद्वितीय और किसी भी मुक्त रिज़ॉल्यूशन में प्रत्यक्ष योग के रूप में घटित होती है। चूँकि श्रृंखला जटिल R के लिए आंतरिक है, इसलिए कोई 'ग्रेडेड बेट्टी नंबर' β को परिभाषित कर सकता है_{i, j} एफ से आने वाली ग्रेड-जे छवियों की संख्या के रूप में_i (अधिक सटीक रूप से, φ को सजातीय बहुपदों के एक मैट्रिक्स के रूप में सोचने से, उस सजातीय डिग्री की प्रविष्टियों की गिनती दाईं ओर से प्राप्त ग्रेडिंग द्वारा बढ़ जाती है)। दूसरे शब्दों में, सभी मुक्त मॉड्यूल में वजन का अनुमान रिज़ॉल्यूशन से लगाया जा सकता है, और वर्गीकृत बेट्टी संख्या रिज़ॉल्यूशन के दिए गए मॉड्यूल में दिए गए वजन के जनरेटर की संख्या की गणना करती है। किसी दिए गए प्रक्षेप्य एम्बेडिंग में वी के इन अपरिवर्तनीयों के गुण वक्रों के मामले में भी सक्रिय शोध प्रश्न खड़े करते हैं। ऐसे उदाहरण हैं जहां न्यूनतम मुक्त रिज़ॉल्यूशन स्पष्ट रूप से ज्ञात है। एक तर्कसंगत सामान्य वक्र के लिए यह एक ईगॉन-नॉर्थकॉट कॉम्प्लेक्स है। प्रक्षेप्य स्थान में अण्डाकार वक्रों के लिए रिज़ॉल्यूशन का निर्माण ईगॉन-नॉर्थकॉट परिसरों के मानचित्रण शंकु के रूप में किया जा सकता है।

नियमितता

कास्टेलनुवो-मम्फोर्ड नियमितता को प्रोजेक्टिव किस्म को परिभाषित करने वाले आदर्श I के न्यूनतम रिज़ॉल्यूशन से पढ़ा जा सकता है। आरोपित बदलावों के संदर्भ में ए_{i, j} आई-वें मॉड्यूल एफ में_i, यह a के i पर अधिकतम है_{i, j} − मैं; इसलिए यह तब छोटा होता है जब बदलाव केवल 1 की वृद्धि से बढ़ता है क्योंकि हम रिज़ॉल्यूशन में बाईं ओर जाते हैं (केवल रैखिक सहजीवन)।

प्रोजेक्टिव सामान्यता

यदि R एकीकृत रूप से बंद डोमेन है, तो इसके प्रोजेक्टिव एम्बेडिंग में विविधता V 'प्रोजेक्टिवली सामान्य' है। इस स्थिति का तात्पर्य है कि वी एक सामान्य किस्म है, लेकिन इसके विपरीत नहीं: प्रक्षेप्य सामान्यता की संपत्ति प्रक्षेप्य एम्बेडिंग से स्वतंत्र नहीं है, जैसा कि तीन आयामों में एक तर्कसंगत चतुर्थक वक्र के उदाहरण से दिखाया गया है। एक अन्य समतुल्य स्थिति प्रक्षेप्य स्थान पर टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल के दोहरे द्वारा काटे गए वी पर विभाजकों की रैखिक प्रणाली और डी = 1, 2, 3, ... के लिए इसकी डी-वें शक्तियों के संदर्भ में है; जब V बीजगणितीय वक्र#एकवचन|गैर-एकवचन है, तो यह प्रक्षेप्य रूप से सामान्य है यदि और केवल तभी जब ऐसी प्रत्येक रैखिक प्रणाली एक पूर्ण रैखिक प्रणाली हो। वैकल्पिक रूप से कोई टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल के दोहरे को प्रक्षेप्य स्थान पर सेरे ट्विस्ट शीफ़ O(1) के रूप में सोच सकता है, और संरचना शीफ ​​O को मोड़ने के लिए इसका उपयोग कर सकता है।_V कितनी भी बार, मान लीजिए k बार, एक शीफ़ O प्राप्त करना_V(क)। तब V को 'k-नॉर्मल' कहा जाता है यदि O(k) के वैश्विक खंड O के वैश्विक खंडों को विशेष रूप से मैप करते हैं_V(k), किसी दिए गए k के लिए, और यदि V 1-सामान्य है तो इसे 'रैखिक रूप से सामान्य' कहा जाता है। एक गैर-एकवचन विविधता प्रक्षेप्य रूप से सामान्य है यदि और केवल यदि यह सभी k ≥ 1 के लिए k-सामान्य है। रैखिक सामान्यता को ज्यामितीय रूप से भी व्यक्त किया जा सकता है: V के रूप में प्रक्षेप्य विविधता को उच्च आयाम के प्रक्षेप्य स्थान से एक आइसोमोर्फिक रैखिक प्रक्षेपण द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है , उचित रैखिक उपस्थान में लेटने के तुच्छ तरीके को छोड़कर। रैखिक सामान्यता की स्थितियों को कम करने के लिए पर्याप्त वेरोनीज़ मानचित्रण का उपयोग करके प्रक्षेप्य सामान्यता का इसी तरह अनुवाद किया जा सकता है।

वी के प्रोजेक्टिव एम्बेडिंग को जन्म देने वाले दिए गए बहुत बड़े लाइन बंडल के दृष्टिकोण से इस मुद्दे को देखते हुए, ऐसे लाइन बंडल (उलटा पुलिंदा) को 'सामान्य रूप से उत्पन्न' कहा जाता है यदि एम्बेडेड वी प्रोजेक्टिव रूप से सामान्य है। प्रक्षेप्य सामान्यता पहली शर्त एन है₀ ग्रीन और लाज़र्सफेल्ड द्वारा परिभाषित स्थितियों का एक क्रम। इसके लिए

$\bigoplus _{d=0}^{\infty }H^{0}(V,L^{d})$

प्रक्षेप्य स्थान के सजातीय समन्वय रिंग पर वर्गीकृत मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, और न्यूनतम मुक्त रिज़ॉल्यूशन लिया जाता है। हालत एन_p पहले पी ग्रेडेड बेट्टी नंबरों पर लागू किया गया, जिसके लिए जरूरी है कि वे j > i + 1 होने पर गायब हो जाएं। वक्रों के लिए ग्रीन ने वह स्थिति N दिखाई_p तब संतुष्ट होता है जब deg(L) ≥ 2g + 1 + p, जो कि p = 0 के लिए गुइडो कैस्टेलनुवोवो का शास्त्रीय परिणाम था।

यह भी देखें

• प्रक्षेपी विविधता
• हिल्बर्ट बहुपद

संदर्भ

• Oscar Zariski and Pierre Samuel, Commutative Algebra Vol. II (1960), pp. 168–172.