बेलनाकार बीजगणित

गणित में, अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा आविष्कृत बेलनाकार बीजगणित की धारणा, समानता के साथ प्रथम-क्रम तर्क के बीजगणितीय तर्क में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। यह प्रस्तावात्मक तर्क के लिए बूलियन बीजगणित (संरचना) की भूमिका के तुलनीय है। बेलनाकार बीजगणित बूलियन बीजगणित हैं जो अतिरिक्त बेलनाकारीकरण संचालन से सुसज्जित हैं जो परिमाणीकरण (तर्क) और समानता (गणित) को मॉडल करते हैं। वे बहुपद बीजगणित से इस मायने में भिन्न हैं कि उत्तरार्द्ध समानता का मॉडल नहीं बनाते हैं।

बेलनाकार बीजगणित की परिभाषा

आयाम का एक बेलनाकार बीजगणित $\alpha$ (कहाँ $\alpha$ कोई क्रमिक संख्या है) एक बीजगणितीय संरचना है $(A,+,\cdot ,-,0,1,c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ ऐसा है कि $(A,+,\cdot ,-,0,1)$ एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है, $c_{\kappa }$ एक यूनरी ऑपरेटर चालू है $A$ हरएक के लिए $\kappa$ (सिलिंड्रिफिकेशन कहा जाता है), और $d_{\kappa \lambda }$ का एक विशिष्ट तत्व $A$ हरएक के लिए $\kappa$ और $\lambda$ (एक विकर्ण कहा जाता है), जैसे कि निम्नलिखित पकड़:

(सी1) $c_{\kappa }0=0$

(सी2) $x\leq c_{\kappa }x$

3 $c_{\kappa }(x\cdot c_{\kappa }y)=c_{\kappa }x\cdot c_{\kappa }y$ 4 $c_{\kappa }c_{\lambda }x=c_{\lambda }c_{\kappa }x$

(किलोग्राम) $d_{\kappa \kappa }=1$

(सी6) यदि $\kappa \notin \{\lambda ,\mu \}$, तब $d_{\lambda \mu }=c_{\kappa }(d_{\lambda \kappa }\cdot d_{\kappa \mu })$

(सी7) यदि $\kappa \neq \lambda$, तब $c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot x)\cdot c_{\kappa }(d_{\kappa \lambda }\cdot -x)=0$

प्रथम-क्रम तर्क कार्यात्मक विधेय की प्रस्तुति को मानते हुए#कार्यात्मक विधेय के बिना करना, परिचालक $c_{\kappa }x$ चर पर मॉडल अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव $\kappa$ सूत्र में $x$ जबकि ऑपरेटर $d_{\kappa \lambda }$ चरों की समानता को मॉडल करता है $\kappa$ और $\lambda$. इसलिए, मानक तार्किक नोटेशन का उपयोग करके पुन: तैयार किया गया, सिद्धांतों को इस प्रकार पढ़ा जाता है

(सी1) $\exists \kappa .{\mathit {false}}\iff {\mathit {false}}$

(सी2) $x\implies \exists \kappa .x$

3 $\exists \kappa .(x\wedge \exists \kappa .y)\iff (\exists \kappa .x)\wedge (\exists \kappa .y)$ 4 $\exists \kappa \exists \lambda .x\iff \exists \lambda \exists \kappa .x$

(किलोग्राम) $\kappa =\kappa \iff {\mathit {true}}$

(सी6) यदि $\kappa$ दोनों से भिन्न एक चर है $\lambda$ और $\mu$, तब $\lambda =\mu \iff \exists \kappa .(\lambda =\kappa \wedge \kappa =\mu )$

(सी7) यदि $\kappa$ और $\lambda$ तो फिर ये अलग-अलग चर हैं $\exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge x)\wedge \exists \kappa .(\kappa =\lambda \wedge \neg x)\iff {\mathit {false}}$

बेलनाकार सेट बीजगणित

आयाम का एक बेलनाकार सेट बीजगणित $\alpha$ एक बीजगणितीय संरचना है $(A,\cup ,\cap ,-,\emptyset ,X^{\alpha },c_{\kappa },d_{\kappa \lambda })_{\kappa ,\lambda <\alpha }$ ऐसा है कि $\langle X^{\alpha },A\rangle$ सेट का एक क्षेत्र है, $c_{\kappa }S$ द्वारा दिया गया है $\{y\in X^{\alpha }\mid \exists x\in S\ \forall \beta \neq \kappa \ y(\beta )=x(\beta )\}$, और $d_{\kappa \lambda }$ द्वारा दिया गया है $\{x\in X^{\alpha }\mid x(\kappa )=x(\lambda )\}$. यह आवश्यक रूप से एक बेलनाकार बीजगणित के स्वयंसिद्ध C1-C7 को मान्य करता है $\cup$ के बजाय $+$, $\cap$ के बजाय $\cdot$, पूरक के लिए पूरक सेट करें, खाली सेट 0 के रूप में करें, $X^{\alpha }$ इकाई के रूप में, और $\subseteq$ के बजाय $\leq$. समुच्चय X को आधार कहा जाता है।

एक बेलनाकार बीजगणित का प्रतिनिधित्व उस बीजगणित से एक बेलनाकार सेट बीजगणित तक एक समरूपता है। प्रत्येक बेलनाकार बीजगणित का बेलनाकार सेट बीजगणित के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं होता है। प्रथम-क्रम विधेय तर्क के शब्दार्थ को बेलनाकार सेट बीजगणित के साथ जोड़ना आसान है। (अधिक जानकारी के लिए देखें § Further reading.)

सामान्यीकरण

बेलनाकार बीजगणित को कई-क्रमबद्ध तर्क (कैलेइरो और गोंकाल्वेस 2006) के मामले में सामान्यीकृत किया गया है, जो प्रथम-क्रम सूत्रों और शब्दों के बीच द्वंद्व के बेहतर मॉडलिंग की अनुमति देता है।

मोनैडिक बूलियन बीजगणित से संबंध

कब $\alpha =1$ और $\kappa ,\lambda$ फिर, केवल 0 होने तक ही सीमित हैं $c_{\kappa }$ बन जाता है $\exists$, विकर्णों को हटाया जा सकता है, और बेलनाकार बीजगणित का निम्नलिखित प्रमेय (पिंटर 1973):

$c_{\kappa }(x+y)=c_{\kappa }x+c_{\kappa }y$ स्वयंसिद्ध में बदल जाता है

$\exists (x+y)=\exists x+\exists y$

मोनैडिक बूलियन बीजगणित का। स्वयंसिद्ध (C4) समाप्त हो जाता है (एक तनातनी बन जाता है)। इस प्रकार मोनैडिक बूलियन बीजगणित को एक चर मामले में बेलनाकार बीजगणित के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

• सार बीजगणितीय तर्क
• लैम्ब्डा कैलकुलस और संयोजनात्मक तर्क मॉडलिंग परिमाणीकरण और चर को खत्म करने के अन्य दृष्टिकोण
• हाइपरडोक्ट्रिन बेलनाकार बीजगणित का एक श्रेणी सिद्धांत सूत्रीकरण है
• संबंध बीजगणित (आरए)
• पॉलीडिक बीजगणित
• बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन

संदर्भ

• Charles Pinter (1973). "A Simple Algebra of First Order Logic". Notre Dame Journal of Formal Logic. XIV: 361–366.
• Leon Henkin, J. Donald Monk, and Alfred Tarski (1971) Cylindric Algebras, Part I. North-Holland. ISBN 978-0-7204-2043-2.
• Leon Henkin, J. Donald Monk, and Alfred Tarski (1985) Cylindric Algebras, Part II. North-Holland.
• Robin Hirsch and Ian Hodkinson (2002) Relation algebras by games Studies in logic and the foundations of mathematics, North-Holland
• Carlos Caleiro, Ricardo Gonçalves (2006). "On the algebraization of many-sorted logics" (PDF). In J. Fiadeiro and P.-Y. Schobbens (ed.). Proc. 18th int. conf. on Recent trends in algebraic development techniques (WADT). LNCS. Vol. 4409. Springer. pp. 21–36. ISBN 978-3-540-71997-7.

अग्रिम पठन

• Imieliński, T.; Lipski, W. (1984). "The relational model of data and cylindric algebras". Journal of Computer and System Sciences. 28: 80–102. doi:10.1016/0022-0000(84)90077-1.

बाहरी संबंध

• example of cylindrical algebra by CWoo on planetmath.org