संवर्त विसर्जन

For the concept in differential geometry, see Immersion (mathematics).

बीजगणितीय ज्यामिति में, योजना (गणित) का एक बंद विसर्जन योजनाओं का एक रूपवाद है $f:Z\to X$ जो Z को X के एक बंद उपसमुच्चय के रूप में पहचानता है, ताकि स्थानीय रूप से, Z पर नियमित कार्यों को X तक बढ़ाया जा सके। बाद वाली स्थिति को यह कहकर औपचारिक बनाया जा सकता है $f^{\#}:{\mathcal {O}}_{X}\rightarrow f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}$ विशेषण है. एक उदाहरण समावेशन मानचित्र है $\operatorname {Spec} (R/I)\to \operatorname {Spec} (R)$ विहित मानचित्र से प्रेरित $R\to R/I$.

अन्य लक्षण

निम्नलिखित समतुल्य हैं:

1. $f:Z\to X$ एक बंद विसर्जन है.
2. प्रत्येक खुले संबंध के लिए $U=\operatorname {Spec} (R)\subset X$, वहाँ एक आदर्श मौजूद है $I\subset R$ ऐसा है कि $f^{-1}(U)=\operatorname {Spec} (R/I)$ यू पर योजनाओं के रूप में
3. वहाँ एक खुला एफ़िन आवरण मौजूद है $X=\bigcup U_{j},U_{j}=\operatorname {Spec} R_{j}$ और प्रत्येक j के लिए एक आदर्श मौजूद है $I_{j}\subset R_{j}$ ऐसा है कि $f^{-1}(U_{j})=\operatorname {Spec} (R_{j}/I_{j})$ जैसे योजनाएं ख़त्म हो गईं $U_{j}$.
4. आदर्शों का एक अर्ध-सुसंगत पुलिंदा है ${\mathcal {I}}$ एक्स पर ऐसा कि $f_{\ast }{\mathcal {O}}_{Z}\cong {\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ और f वैश्विक विशिष्टता पर Z का एक समरूपता है ${\mathcal {O}}_{X}/{\mathcal {I}}$ एक्स से अधिक

स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों के लिए परिभाषा

स्थानीय रूप से रिंगित स्थानों के मामले में एक रूपवाद $i:Z\to X$ यदि मानदंडों की समान सूची संतुष्ट होती है तो यह एक बंद विसर्जन है

1. वो नक्शा $i$ की एक समरूपता है $Z$ इसकी छवि पर
2. संबंधित शीफ़ मानचित्र ${\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}$ कर्नेल के साथ विशेषण है ${\mathcal {I}}$
3. गिरी ${\mathcal {I}}$ के रूप में अनुभागों द्वारा स्थानीय रूप से उत्पन्न किया जाता है ${\mathcal {O}}_{X}$-मापांक

एकमात्र बदलती स्थिति तीसरी है। यह एक प्रति-उदाहरण को देखने के लिए शिक्षाप्रद है ताकि यह महसूस किया जा सके कि एक मानचित्र को देखकर तीसरी स्थिति क्या उत्पन्न करती है जो एक बंद विसर्जन नहीं है, $i:\mathbb {G} _{m}\hookrightarrow \mathbb {A} ^{1}$ कहाँ<ब्लॉककोट>$\mathbb {G} _{m}={\text{Spec}}(\mathbb {Z} [x,x^{-1}])$अगर हम डंठल को देखें $i_{*}{\mathcal {O}}_{\mathbb {G} _{m}}|_{0}$ पर $0\in \mathbb {A} ^{1}$ फिर कोई अनुभाग नहीं हैं. इसका तात्पर्य किसी भी खुली उपयोजना से है $U\subset \mathbb {A} ^{1}$ युक्त $0$ पूले में कोई खंड नहीं है। यह तीसरी शर्त का उल्लंघन करता है क्योंकि कम से कम एक खुली उपयोजना है $U$ कवर $\mathbb {A} ^{1}$ रोकना $0$.

गुण

एक बंद विसर्जन परिमित रूपवाद और रेडियल रूपवाद (सार्वभौमिक रूप से इंजेक्शन) है। विशेष रूप से, एक बंद विसर्जन सार्वभौमिक रूप से बंद है। आधार परिवर्तन और संरचना के तहत एक बंद विसर्जन स्थिर होता है। बंद विसर्जन की धारणा इस अर्थ में स्थानीय है कि f एक बंद विसर्जन है यदि और केवल यदि कुछ (समान रूप से प्रत्येक) खुले आवरण के लिए $X=\bigcup U_{j}$ प्रेरित नक्शा $f:f^{-1}(U_{j})\rightarrow U_{j}$ एक बंद विसर्जन है. यदि रचना $Z\to Y\to X$ एक बंद विसर्जन है और $Y\to X$ तो अलग किया गया रूपवाद है $Z\to Y$ एक बंद विसर्जन है. यदि एक्स एक अलग एस-योजना है, तो एक्स का प्रत्येक एस-सेक्शन एक बंद विसर्जन है। अगर $i:Z\to X$ एक बंद विसर्जन है और ${\mathcal {I}}\subset {\mathcal {O}}_{X}$ Z को काटने वाले आदर्शों का अर्ध-सुसंगत शीफ़ है, फिर प्रत्यक्ष छवि $i_{*}$ Z के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी से लेकर X के ऊपर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी तक, आवश्यक छवि के साथ सटीक, पूरी तरह से वफादार है ${\mathcal {G}}$ ऐसा है कि ${\mathcal {I}}{\mathcal {G}}=0$. परिमित प्रस्तुति का एक सपाट बंद विसर्जन एक खुले बंद उपयोजना का खुला विसर्जन है।

यह भी देखें

• सेग्रे एम्बेडिंग
• नियमित एम्बेडिंग

संदर्भ

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
• The Stacks Project
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157