वक्र का अव्युत्क्रमणीय बिंदु

ज्यामिति में, वक्र पर एक विलक्षण बिंदु वह होता है जहां वक्र को पैरामीट्रिज़ेशन (ज्यामिति) के सुचारू फ़ंक्शन एम्बेडिंग द्वारा नहीं दिया जाता है। एकवचन बिंदु की सटीक परिभाषा अध्ययन किए जा रहे वक्र के प्रकार पर निर्भर करती है।

तल में बीजगणितीय वक्र

समतल बीजगणितीय वक्र को बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (x, y) प्रपत्र के एक समीकरण को संतुष्ट करना $f(x,y)=0,$ कहाँ f एक बहुपद फलन है $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .$ अगर f के रूप में विस्तारित किया गया है

$$f=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\cdots$$

यदि मूल (0, 0) तब वक्र पर है a₀ = 0. अगर b₁ ≠ 0 तो अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय गारंटी देता है कि एक सुचारू फ़ंक्शन है h ताकि वक्र का आकार हो y = h(x) मूल के निकट. इसी प्रकार, यदि b₀ ≠ 0 तो एक सुचारू कार्य होता है k ताकि वक्र का आकार हो x = k(y) मूल के निकट. किसी भी मामले में, वहाँ से एक सहज नक्शा है $\mathbb {R}$ उस तल तक जो मूल बिंदु के पड़ोस में वक्र को परिभाषित करता है। ध्यान दें कि मूल पर

$$b_{0}={\frac {\partial f}{\partial x}},\;b_{1}={\frac {\partial f}{\partial y}},$$

इसलिए यदि कम से कम एक आंशिक व्युत्पन्न हो तो वक्र मूल बिंदु पर गैर-एकवचन या नियमित है f गैर-शून्य है. एकवचन बिंदु वक्र पर वे बिंदु हैं जहां दोनों आंशिक व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं,

$$f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial y}}=0.$$

नियमित अंक

मान लीजिए कि वक्र मूल बिन्दु से होकर गुजरता है और लिखिए $y=mx.$ तब f लिखा जा सकता है

$$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\cdots .$$

अगर $b_{0}+mb_{1}$ तो फिर 0 नहीं है f = 0 में बहुलता 1 का समाधान है x = 0 और मूल बिंदु रेखा के साथ एकल संपर्क का एक बिंदु है $y=mx.$ अगर $b_{0}+mb_{1}=0$ तब f = 0 में बहुलता 2 या उच्चतर और रेखा का समाधान है $y=mx,$ या $b_{0}x+b_{1}y=0,$ वक्र की स्पर्शरेखा है. इस मामले में, यदि $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}$ 0 नहीं है तो वक्र के साथ दोहरा संपर्क बिंदु है $y=mx.$ यदि का गुणांक x², $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2},$ 0 है लेकिन का गुणांक x³ नहीं है तो मूल बिंदु वक्र का विभक्ति बिंदु है। यदि के गुणांक x² और x³ दोनों 0 हैं तो मूल बिंदु को वक्र का तरंगित बिंदु कहा जाता है। इस विश्लेषण को निर्देशांक अक्षों का अनुवाद करके वक्र पर किसी भी बिंदु पर लागू किया जा सकता है ताकि मूल बिंदु दिए गए बिंदु पर हो।

दोगुने अंक

दोहरे बिंदु के प्रकारों को दर्शाने वाले तीन लिमाकॉन। जब कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तित किया जाता है $(x^{2}+y^{2}-x)^{2}=(1.5)^{2}(x^{2}+y^{2}),$ बायां वक्र मूल बिंदु पर एक एकनोड प्राप्त करता है, जो तल में एक पृथक बिंदु है। केंद्रीय वक्र, कारडायोड , के मूल में एक पुच्छल होता है। दाएं वक्र के मूल में एक क्रूनोड है और वक्र एक लूप बनाने के लिए खुद को पार करता है।

अगर b₀ और b₁ दोनों 0 उपरोक्त विस्तार में, लेकिन कम से कम एक c₀, c₁, c₂ 0 नहीं है तो मूल बिंदु को वक्र का दोहरा बिंदु कहा जाता है। फिर से डाल रहा हूँ $y=mx,$ f लिखा जा सकता है

$$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\cdots .$$

दोहरे बिंदुओं को समाधान के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$

क्रूनोड्स

Main article: Crunode

अगर $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ के लिए दो वास्तविक समाधान हैं m, अर्थात यदि $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}<0,$ तब मूल को crunode कहा जाता है। इस मामले में वक्र मूल बिंदु पर स्वयं को काटता है और इसके दो समाधानों के अनुरूप दो अलग-अलग स्पर्शरेखाएँ होती हैं $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ कार्यक्रम f इस मामले में मूल बिंदु पर एक सैडल बिंदु है।

एक्नोड्स

Main article: Acnode

अगर $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ का कोई वास्तविक समाधान नहीं है m, अर्थात यदि $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}>0,$ तो मूल को acnode कहा जाता है। वास्तविक तल में मूल बिंदु वक्र पर एक पृथक बिंदु है; हालाँकि जब एक जटिल वक्र के रूप में माना जाता है तो मूल को अलग नहीं किया जाता है और इसमें दो जटिल समाधानों के अनुरूप दो काल्पनिक स्पर्शरेखाएँ होती हैं $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0.$ कार्यक्रम f इस मामले में मूल में मैक्सिमा और मिनिमा है।

कस्प्स

Main article: Cusp (singularity)

अगर $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ के लिए बहुलता 2 का एक ही समाधान है m, अर्थात यदि $c_{0}c_{2}-c_{1}^{2}=0,$ तब मूल को पुच्छ (विलक्षणता) कहा जाता है। इस मामले में वक्र एक तीव्र बिंदु बनाते हुए मूल बिंदु पर दिशा बदलता है। वक्र के मूल में एक ही स्पर्शरेखा होती है जिसे दो संपाती स्पर्शरेखाएँ माना जा सकता है।

आगे का वर्गीकरण

नोड शब्द का उपयोग क्रूनोड या एक्नोड को इंगित करने के लिए किया जाता है, दूसरे शब्दों में एक दोहरा बिंदु जो एक पुच्छल नहीं है। नोड्स की संख्या और वक्र पर क्यूस्प्स की संख्या प्लुकर सूत्रों में उपयोग किए जाने वाले दो अपरिवर्तनीय हैं।

यदि समाधानों में से एक $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}=0$ का भी एक समाधान है $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3}=0,$ तब वक्र की संगत शाखा के मूल बिंदु पर विभक्ति बिंदु होता है। इस मामले में मूल को फ़्लेक्नोड कहा जाता है। यदि दोनों स्पर्शरेखाओं में यह गुण है, तो $c_{0}+2mc_{1}+m^{2}c_{2}$ का एक कारक है $d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+m^{3}d_{3},$ तो मूल को बाइफ्लेक्नोड कहा जाता है।

एकाधिक अंक

मूल बिंदु पर त्रिक बिंदु वाला एक वक्र: x(t) = sin(2t) + cos(t), y(t) = sin(t) + cos(2t)

सामान्य तौर पर, यदि डिग्री की सभी शर्तें इससे कम हों k 0 हैं, और डिग्री का कम से कम एक पद है k 0 इंच नहीं है f, तो वक्र को एकाधिक क्रम बिंदु वाला कहा जाता है k या एक k-ple बिंदु। वक्र में, सामान्यतः, होगा k मूल पर स्पर्श रेखाएं हालांकि इनमें से कुछ स्पर्श रेखाएं काल्पनिक हो सकती हैं।

पैरामीट्रिक वक्र

एक पैरामीट्रिक समीकरण वक्र $\mathbb {R} ^{2}$ को किसी फ़ंक्शन की छवि के रूप में परिभाषित किया गया है $g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},$ $g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t)).$ एकवचन बिंदु वे बिंदु हैं जहां

$${\frac {dg_{1}}{dt}}={\frac {dg_{2}}{dt}}=0.$$

अर्धघनाकार परवलय में एक पुच्छल $y^{2}=x^{3}$

कई वक्रों को किसी भी प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन हो सकता है कि दोनों परिभाषाएँ सहमत न हों। उदाहरण के लिए, पुच्छ (विलक्षणता) को बीजगणितीय वक्र पर परिभाषित किया जा सकता है, $x^{3}-y^{2}=0,$ या एक पैरामीटरयुक्त वक्र पर, $g(t)=(t^{2},t^{3}).$ दोनों परिभाषाएँ मूल पर एक विलक्षण बिंदु देती हैं। हालाँकि, एक क्रुनोड जैसे कि $y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$ मूल में वक्र की एक विलक्षणता है जिसे बीजगणितीय वक्र के रूप में माना जाता है, लेकिन यदि हम इसे इस रूप में मापते हैं $g(t)=(t^{2}-1,t(t^{2}-1)),$ तब $g'(t)$ कभी गायब नहीं होता है, और इसलिए नोड ऊपर परिभाषित अनुसार पैरामीटरयुक्त वक्र की विलक्षणता नहीं है।

पैरामीटराइजेशन चुनते समय सावधानी बरतने की जरूरत है। उदाहरण के लिए सीधी रेखा y = 0 द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है $g(t)=(t^{3},0),$ जिसके मूल में विलक्षणता है। जब द्वारा पैरामीट्रिज किया गया $g(t)=(t,0),$ यह एकवचन नहीं है. इसलिए, यहां किसी वक्र के एकवचन बिंदु के बजाय एक सहज मानचित्रण के एकवचन बिंदुओं पर चर्चा करना तकनीकी रूप से अधिक सही है।

उपरोक्त परिभाषाओं को अंतर्निहित फ़ंक्शन वक्रों को कवर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है जिन्हें शून्य सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $f^{-1}(0)$ एक सुचारू कार्य का, और केवल बीजगणितीय किस्मों पर विचार करना आवश्यक नहीं है। उच्च आयामों में वक्रों को कवर करने के लिए परिभाषाओं को बढ़ाया जा सकता है।

हस्लर व्हिटनी का एक प्रमेय राज्य अमेरिका

Theorem —  Any closed set in $\mathbb {R} ^{n}$ occurs as the solution set of $f^{-1}(0)$ for some smooth function $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} .$

किसी भी पैरामीटरयुक्त वक्र को एक अंतर्निहित वक्र के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, और वक्रों के एकवचन बिंदुओं के वर्गीकरण का अध्ययन बीजगणितीय विविधता के एकवचन बिंदु के वर्गीकरण के रूप में किया जा सकता है।

एकवचन बिंदुओं के प्रकार

कुछ संभावित विलक्षणताएँ हैं:

• एक पृथक बिंदु: $x^{2}+y^{2}=0,$ एक एनोड
• दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं: $x^{2}-y^{2}=0,$ एक क्रुनोड
• एक पुच्छ (विलक्षणता): $x^{3}-y^{2}=0,$ इसे स्पिनोड भी कहा जाता है
• एक टैकनोड: $x^{4}-y^{2}=0$
• एक रैम्फॉइड पुच्छल: $x^{5}-y^{2}=0.$

यह भी देखें

• बीजगणितीय विविधता का एकवचन बिंदु
• विलक्षणता सिद्धांत
• मोर्स सिद्धांत

संदर्भ

• Hilton, Harold (1920). "Chapter II: Singular Points". Plane Algebraic Curves. Oxford.