हॉकी-स्टिक की पहचान

पास्कल का त्रिकोण, पंक्तियाँ 0 से 7 तक। हॉकी स्टिक की पहचान पुष्टि करती है, उदाहरण के लिए: n=6, r=2 के लिए: 1+3+6+10+15=35।

साहचर्य गणित में, हॉकी-स्टिक की पहचान, क्रिसमस स्टॉकिंग पहचान, बूमरैंग पहचान, फ़र्मेट की पहचान या चू की प्रमेय, बताता है कि यदि $n\geq r\geq 0$ तो, पूर्णांक हैं

${\binom {r}{r}}+{\binom {r+1}{r}}+{\binom {r+2}{r}}+\cdots +{\binom {n}{r}}={\binom {n+1}{r+1}}.$

नाम पास्कल के त्रिकोण पर पहचान के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है: जब योग में दर्शाए गए जोड़ और योग को हाइलाइट किया जाता है, तो प्रकट आकार उन वस्तुओं की याद दिलाता है (हाँकी स्टिक , क्रिसमस मोजा देखें)।

सूत्रीकरण

सारांश#नोटेशन का उपयोग करते हुए, पहचान बताई गई है

$\sum _{i=r}^{n}{i \choose r}={n+1 \choose r+1}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r$

या समकक्ष, प्रतिस्थापन द्वारा दर्पण-छवि $j\to i-r$:

$\sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose r}=\sum _{j=0}^{n-r}{j+r \choose j}={n+1 \choose n-r}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n\geq r.$

प्रमाण

फ़ंक्शन प्रमाण उत्पन्न करना

अपने पास

$X^{r}+X^{r+1}+\dots +X^{n}={\frac {X^{r}-X^{n+1}}{1-X}}$

होने देना $X=1+x$, और के गुणांकों की तुलना करें $x^{r}$.

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण दोनों पास्कल की पहचान का उपयोग करते हैं:

${n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}.$

आगमनात्मक प्रमाण

इस पहचान को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $n$.

बेस केस होने देना $n=r$;

$\sum _{i=r}^{n}{i \choose r}=\sum _{i=r}^{r}{i \choose r}={r \choose r}=1={r+1 \choose r+1}={n+1 \choose r+1}.$

प्रेरक कदम मान लीजिए, कुछ के लिए $k\in \mathbb {N} ,k\geqslant r$,

$\sum _{i=r}^{k}{i \choose r}={k+1 \choose r+1}$

तब

$\sum _{i=r}^{k+1}{i \choose r}=\left(\sum _{i=r}^{k}{i \choose r}\right)+{k+1 \choose r}={k+1 \choose r+1}+{k+1 \choose r}={k+2 \choose r+1}.$

बीजगणितीय प्रमाण

हम योग की गणना को सरल बनाने के लिए टेलीस्कोपिंग श्रृंखला तर्क का उपयोग करते हैं:

${\begin{aligned}\sum _{t=\color {blue}0}^{n}{\binom {t}{k}}=\sum _{t=\color {blue}k}^{n}{\binom {t}{k}}&=\sum _{t=k}^{n}\left[{\binom {t+1}{k+1}}-{\binom {t}{k+1}}\right]\\&=\sum _{t=\color {green}k}^{\color {green}n}{\binom {\color {green}{t+1}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&=\sum _{t=\color {green}{k+1}}^{\color {green}{n+1}}{\binom {\color {green}{t}}{k+1}}-\sum _{t=k}^{n}{\binom {t}{k+1}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}-\underbrace {\binom {k}{k+1}} _{0}&&{\text{by telescoping}}\\&={\binom {n+1}{k+1}}.\end{aligned}}$

संयुक्त प्रमाण

प्रमाण 1

कल्पना कीजिए कि हम वितरण कर रहे हैं $n$ अविभाज्य कैंडीज $k$ अलग पहचाने जाने वाले बच्चे. स्टार्स और बार्स (कॉम्बिनेटरिक्स) के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, वहाँ हैं

${\binom {n+k-1}{k-1}}$

ऐसा करने के तरीके. वैकल्पिक रूप से, हम पहले दे सकते हैं $0\leqslant i\leqslant n$ सबसे बड़े बच्चे को कैंडीज इसलिए हम अनिवार्य रूप से दे रहे हैं $n-i$ कैंडीज को $k-1$ बच्चों और फिर से, सितारों और बार और डबल काउंटिंग (प्रूफ़ तकनीक) के साथ, हमारे पास है

${\binom {n+k-1}{k-1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n+k-2-i}{k-2}},$

जो लेने से वांछित परिणाम को सरल बनाता है $n'=n+k-2$ और $r=k-2$, और उस पर ध्यान दे रहा हूँ $n'-n=k-2=r$:

${\binom {n'+1}{r+1}}=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n'-i}{r}}=\sum _{i=r}^{n'}{\binom {i}{r}}.$

प्रमाण 2

हम आकार की एक समिति बना सकते हैं $k+1$ के एक समूह से $n+1$ लोगों में

${\binom {n+1}{k+1}}$

तौर तरीकों। अब हम संख्याएँ सौंपते हैं $1,2,3,\dots ,n-k+1$ को $n-k+1$ की $n+1$ लोग। इसे हम इसमें विभाजित कर सकते हैं $n-k+1$ असंयुक्त मामले. सामान्य तौर पर, मामले में $x$, $1\leqslant x\leqslant n-k+1$, व्यक्ति $x$ समिति और व्यक्तियों पर है $1,2,3,\dots ,x-1$ समिति में नहीं हैं. इसमें किया जा सकता है

${\binom {n-x+1}{k}}$

तौर तरीकों। अब हम इनके मूल्यों का योग कर सकते हैं $n-k+1$ असंयुक्त मामले, प्राप्त करना

${\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k}}+{\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-2}{k}}+\cdots +{\binom {k+1}{k}}+{\binom {k}{k}}.$

यह भी देखें

• पास्कल की पहचान
• पास्कल का त्रिकोण
• लाइबनिज़ त्रिकोण
• वेंडरमोंडे की पहचान

बाहरी संबंध

• On AOPS
• On StackExchange, Mathematics
• Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum