मिश्रित पॉइसन वितरण

mixed Poisson distribution

Notation	$\operatorname {Pois} (\lambda )\,{\underset {\lambda }{\wedge }}\,\pi (\lambda )$
Parameters	$\lambda \in (0,\infty )$
Support	$k\in \mathbb {N} _{0}$
PMF	$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda$
Mean	$\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Variance	$\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda +(\lambda -\mu _{\pi })^{2})\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda$
Skewness	${\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}$
MGF	$M_{\pi }(e^{t}-1)$, with $M_{\pi }$ the MGF of π
CF	$M_{\pi }(e^{it}-1)$
PGF	$M_{\pi }(z-1)$

मिश्रित पॉइसन वितरण स्टोचैस्टिक्स में एक यूनीवेरिएट वितरण असतत संभाव्यता वितरण है। यह यह मानने से उत्पन्न होता है कि एक यादृच्छिक चर का सशर्त वितरण, दर पैरामीटर के मान को देखते हुए, एक पॉइसन वितरण है, और स्केल पैरामीटर # दर पैरामीटर को स्वयं एक यादृच्छिक चर माना जाता है। इसलिए यह मिश्रित संभाव्यता वितरण का एक विशेष मामला है। मिश्रित पॉइसन वितरण को बीमांकिक विज्ञान में दावों की संख्या के वितरण के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में पाया जा सकता है और इसे संक्रामक रोग के गणितीय मॉडलिंग के रूप में भी जांचा जाता है। इसे यौगिक पॉइसन वितरण या यौगिक पॉइसन प्रक्रिया के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

परिभाषा

एक यादृच्छिक चर X घनत्व के साथ मिश्रित पॉइसन वितरण को संतुष्ट करता है π(λ) यदि इसमें संभाव्यता वितरण है

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

यदि हम पॉइसन वितरण की संभावनाओं को q द्वारा निरूपित करते हैं_λ(ठीक है फिर

$\operatorname {P} (X=k)=\int _{0}^{\infty }q_{\lambda }(k)\,\,\pi (\lambda )\,\mathrm {d} \lambda .$

गुण

• विचरण हमेशा अपेक्षित मूल्य से बड़ा होता है। इस गुण को अतिप्रकीर्णन कहा जाता है। यह पॉइसन वितरण के विपरीत है जहां माध्य और विचरण समान हैं।
• व्यवहार में, लगभग केवल गामा वितरण, लॉग-सामान्य वितरण और व्युत्क्रम गाऊसी वितरण के घनत्व का उपयोग घनत्व के रूप में किया जाता है π(λ). यदि हम गामा वितरण का घनत्व चुनते हैं, तो हमें नकारात्मक द्विपद वितरण मिलता है, जो बताता है कि इसे पॉइसन गामा वितरण भी क्यों कहा जाता है।

निम्नलिखित में चलो $\mu _{\pi }=\int \limits _{0}^{\infty }\lambda \,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ घनत्व का अपेक्षित मान हो $\pi (\lambda )\,$ और $\sigma _{\pi }^{2}=\int \limits _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{2}\,\,\pi (\lambda )\,d\lambda \,$ घनत्व का विचरण हो.

अपेक्षित मूल्य

मिश्रित पॉइसन वितरण का अपेक्षित मूल्य है

$\operatorname {E} (X)=\mu _{\pi }.$

भिन्नता

भिन्नता के लिए एक मिलता है

$\operatorname {Var} (X)=\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}.$

तिरछापन

तिरछापन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

$\operatorname {v} (X)={\Bigl (}\mu _{\pi }+\sigma _{\pi }^{2}{\Bigr )}^{-3/2}\,{\Biggl [}\int _{0}^{\infty }(\lambda -\mu _{\pi })^{3}\,\pi (\lambda )\,d{\lambda }+\mu _{\pi }{\Biggr ]}.$

विशेषता कार्य

चारित्रिक कार्य का रूप होता है

$\varphi _{X}(s)=M_{\pi }(e^{is}-1).\,$

कहाँ $M_{\pi }$ घनत्व का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है।

संभाव्यता उत्पन्न करने वाला फलन

संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के लिए, कोई प्राप्त करता है

$m_{X}(s)=M_{\pi }(s-1).\,$

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य

मिश्रित पॉइसन वितरण का क्षण-उत्पादक कार्य है

$M_{X}(s)=M_{\pi }(e^{s}-1).\,$

उदाहरण

Theorem — Compounding a Poisson distribution with rate parameter distributed according to a gamma distribution yields a negative binomial distribution. Proof Let $\pi (\lambda )={\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }$ be a density of a $\operatorname {\Gamma } \left(r,{\frac {p}{1-p}}\right)$ distributed random variable. ${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {({\frac {p}{1-p}})^{r}}{\Gamma (r)}}\lambda ^{r-1}e^{-{\frac {p}{1-p}}\lambda }\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda {\frac {1}{1-p}}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {p^{r}(1-p)^{-r}}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k+r}\underbrace {\int _{0}^{\infty }\lambda ^{k+r-1}e^{-\lambda }\,\mathrm {d} \lambda } _{=\Gamma (r+k)}\\&={\frac {\Gamma (r+k)}{\Gamma (r)k!}}(1-p)^{k}p^{r}\end{aligned}}$ Therefore we get $X\sim \operatorname {NegB} (r,p).$

Theorem — Compounding a Poisson distribution with rate parameter distributed according to a exponential distribution yields a geometric distribution. Proof Let $\pi (\lambda )={\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}$ be a density of a $\mathrm {Exp} \left({\frac {1}{\beta }}\right)$ distributed random variable. Using integration by parts n times yields: $${\begin{aligned}\operatorname {P} (X=k)&={\frac {1}{k!}}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda }{\frac {1}{\beta }}e^{-{\frac {\lambda }{\beta }}}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\int \limits _{0}^{\infty }\lambda ^{k}e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&={\frac {1}{k!\beta }}\cdot k!\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-\lambda \left({\frac {1+\beta }{\beta }}\right)}\,\mathrm {d} \lambda \\&=\left({\frac {\beta }{1+\beta }}\right)^{k}\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)\end{aligned}}$$ Therefore we get $X\sim \operatorname {Geo\left({\frac {1}{1+\beta }}\right)} .$

मिश्रित पॉइसन वितरण की तालिका

mixing distribution	mixed Poisson distribution
gamma	negative binomial
exponential	geometric
inverse Gaussian	Sichel
Poisson	Neyman
generalized inverse Gaussian	Poisson-generalized inverse Gaussian
generalized gamma	Poisson-generalized gamma
generalized Pareto	Poisson-generalized Pareto
inverse-gamma	Poisson-inverse gamma
log-normal	Poisson-log-normal
Lomax	Poisson–Lomax
Pareto	Poisson–Pareto
Pearson’s family of distributions	Poisson–Pearson family
truncated normal	Poisson-truncated normal
uniform	Poisson-uniform
shifted gamma	Delaporte
beta with specific parameter values	Yule

साहित्य

• जान ग्रैंडेल: मिश्रित पॉइसन प्रक्रियाएं। चैपमैन एंड हॉल, लंदन 1997, आईएसबीएन 0-412-78700-8 .
• टॉम ब्रिटन: अनुमान के साथ स्टोकेस्टिक महामारी मॉडल। स्प्रिंगर, 2019, doi:10.1007/978-3-030-30900-8