आर्ग मैक्स

उदाहरण के तौर पर, उपरोक्त दोनों असामान्यीकृत और सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन हैं $\operatorname {argmax}$ {0} का क्योंकि दोनों x = 0 पर अपना वैश्विक अधिकतम मान 1 प्राप्त करते हैं।

असामान्यीकृत साइन फ़ंक्शन (लाल) का आर्ग मिनट लगभग {−4.49, 4.49} है, क्योंकि इसमें 2 है x = ±4.49 पर वैश्विक न्यूनतम मान लगभग −0.217 है। हालाँकि, सामान्यीकृत सिन फ़ंक्शन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} है, लगभग, क्योंकि उनका वैश्विक न्यूनतम x = ±1.43 पर होता है, भले ही न्यूनतम मान समान हो।

गणित में, मैक्सिमा (संक्षिप्त रूप में arg max या argmax) के तर्क कुछ फ़ंक्शन (गणित) के फ़ंक्शन के डोमेन के बिंदु, या सबसे बड़े और सबसे कम तत्व होते हैं, जिस पर फ़ंक्शन मान मैक्सिमा और मिनिमा होते हैं। वैश्विक अधिकतम के विपरीत, जो किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े आउटपुट को संदर्भित करता है, arg max किसी फ़ंक्शन के इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फ़ंक्शन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।

परिभाषा

एक मनमाना सेट दिया गया (गणित) $X$, एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट $Y$, और एक फ़ंक्शन, $f\colon X\to Y$, द $\operatorname {argmax}$ कुछ उपसमुच्चय पर $S$ का $X$ द्वारा परिभाषित किया गया है

$\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

अगर $S=X$ या $S$ तो, संदर्भ से स्पष्ट है $S$ अक्सर छोड़ दिया जाता है, जैसे कि ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ दूसरे शब्दों में, $\operatorname {argmax}$ अंकों का समुच्चय (गणित) है $x$ जिसके लिए $f(x)$ फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह मौजूद है)। $\operatorname {Argmax}$ यह खाली सेट, एक सिंगलटन (गणित) हो सकता है, या इसमें कई तत्व शामिल हो सकते हैं।

उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्र में, विशेष मामले में थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित वास्तविक संख्याएँ हैं। इस मामले में, यदि $f$ समान रूप से बराबर है $\infty$ पर $S$ तब $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (वह है, $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$) और अन्यथा $\operatorname {argmax} _{S}f$ ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है, जहां इस मामले में $\operatorname {argmax} _{S}f$ इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:

$\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}$ जहां इस बात पर जोर दिया गया है कि इसमें समानता शामिल है $\sup {}_{S}f$ रखती है only कब $f$ समान रूप से नहीं है $\infty$ पर $S$.

गुस्सा मेरा

की अवधारणा $\operatorname {argmin}$ (या $\operatorname {arg\,min}$), जो न्यूनतम के तर्क के लिए खड़ा है, अनुरूप रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}$

बिंदु हैं $x$ जिसके लिए $f(x)$ अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है। यह का पूरक संचालक है $\operatorname {arg\,max}$.

विशेष मामले में जहां $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित वास्तविक संख्याएँ हैं, यदि $f$ समान रूप से बराबर है $-\infty$ पर $S$ तब $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (वह है, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$) और अन्यथा $\operatorname {argmin} _{S}f$ उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके अलावा, इस मामले में (के) $f$ समान रूप से समान नहीं है $-\infty$) यह भी संतुष्ट करता है:

$\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.$

उदाहरण और गुण

उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ है $1-|x|,$ तब $f$ का अधिकतम मान प्राप्त कर लेता है $1$ केवल बिंदु पर $x=0.$ इस प्रकार

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.$

$\operatorname {argmax}$ h>ऑपरेटर से भिन्न है $\max$ ऑपरेटर। $\max$ h> ऑपरेटर, जब समान फ़ंक्शन दिया जाता है, तो लौटाता है maximum value के बजाय फ़ंक्शन का point or points जो उस फ़ंक्शन को उस मान तक पहुंचने का कारण बनता है; दूसरे शब्दों में

$\max _{x}f(x)$ में तत्व है $\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

पसंद $\operatorname {argmax} ,$ अधिकतम एक खाली सेट हो सकता है (जिस स्थिति में अधिकतम अपरिभाषित है) या एक सिंगलटन, लेकिन इसके विपरीत $\operatorname {argmax} ,$ $\operatorname {max}$ एकाधिक तत्व शामिल नहीं हो सकते: उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ है $4x^{2}-x^{4},$ तब ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ लेकिन ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ क्योंकि फ़ंक्शन प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है $\operatorname {argmax} .$ समान रूप से, यदि $M$ की अधिकतम है $f,$ फिर $\operatorname {argmax}$ अधिकतम का स्तर सेट है:

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).$

हम सरल पहचान देने के लिए पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

$f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).$

यदि अधिकतम एक बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अक्सर कहा जाता है the $\operatorname {argmax} ,$ और $\operatorname {argmax}$ एक बिंदु माना जाता है, बिंदुओं का समूह नहीं। तो, उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5$

(सिंगलटन (गणित) सेट के बजाय $\{5\}$), के अधिकतम मूल्य के बाद से $x(10-x)$ है $25,$ जिसके लिए होता है $x=5.$ हालाँकि, यदि कई बिंदुओं पर अधिकतम पहुँच जाता है, $\operatorname {argmax}$ एक पर विचार करने की आवश्यकता है set अंकों का.

उदाहरण के लिए

${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

क्योंकि का अधिकतम मान $\cos x$ है $1,$ जो इस अंतराल पर होता है $x=0,2\pi$ या $4\pi .$ पूरी वास्तविक लाइन पर

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},$ तो एक अनंत सेट.

फ़ंक्शंस को सामान्य रूप से अधिकतम मूल्य प्राप्त करने की आवश्यकता नहीं होती है, और इसलिए $\operatorname {argmax}$ कभी-कभी खाली सेट होता है; उदाहरण के लिए, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,$ तब से $x^{3}$ वास्तविक रेखा पर बंधा हुआ कार्य है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,$ यद्यपि चाप स्पर्शरेखा|$\arctan$से घिरा हुआ है $\pm \pi /2.$ हालाँकि, चरम मूल्य प्रमेय के अनुसार, एक अंतराल (गणित) पर एक सतत वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और इस प्रकार एक गैर-रिक्त होता है $\operatorname {argmax} .$

यह भी देखें

• किसी फ़ंक्शन का तर्क
• मैक्सिमा और मिनिमा
• मोड (सांख्यिकी)
• गणितीय अनुकूलन
• कर्नेल (रैखिक बीजगणित)
• पूर्वछवि

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

बाहरी संबंध

• arg min and arg max at PlanetMath.