आर्ग मैक्स

उदाहरण के रूप में, अनमान्यकृत और मानकृत सिंक फलन के लिए उपरोक्त दोनों में $\operatorname {argmax}$ का 0 होता है, क्योंकि दोनों में x = 0 पर उनके वृहत्तम मान 1 होते हैं।

असामान्यीकृत चिन्ह फलन (लाल) का आर्ग न्यूनतम अधिकतर {−4.49, 4.49} होता है, इसके x = ±4.49 पर अधिकतर -0.217 के दो वृहत्तम न्यूनतम मान होते हैं। यद्यपि, सामान्यीकृत चिन्ह फलन (नीला) का आर्ग न्यूनतम {−1.43, 1.43} होता है,क्योंकि इसके वृहत्तम न्यूनतम मान x = ±1.43 पर होते हैं, चूंकि न्यूनतम मान समान होता है।

गणित में, अधिकतम का तर्क (जिसे संक्षेप में आर्ग मैक्स या आर्गमैक्स कहा जाता है) वह बिंदु होते हैं, या तत्व, किसी फलन (गणित) के कार्यक्षेत्र के बिंदु होते हैं, जिन पर फलन के मान अधिकतम होते हैं। वैश्विक अधिकतम के विपरीत, जो संदर्भित करता है किसी फलन का सबसे बड़ा आउटपुट, आर्ग मैक्स इनपुट या तर्क को संदर्भित करता है, जिस पर फलन आउटपुट जितना संभव हो उतना बड़ा होता है।

परिभाषा

गणित में, दिए गए ऐसे समुच्चय $X$, पूरी प्रकार से ऑर्डर किया गया समुच्चय $Y$, और फलन, $f\colon X\to Y$, के लिए $X$ के किसी उपसेट $S$ के लिए $\operatorname {argmax}$ (आर्ग मैक्स) को निम्न रूप में परिभाषित किया जाता है:

$\operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

यदि $S=X$ या $S$ प्रसंग से स्पष्ट है, तो अधिकांशतः $S$ को छोड़ दिया जाता है, जैसे ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in X\}.$ अन्या शब्दों में, $\operatorname {argmax}$ अंकों का समुच्चय (गणित) है जिसमें $x$ के बिंदु सम्मलित हैं, जिनके लिए $f(x)$ फलन का सबसे बड़ा मान प्राप्त करता है (यदि यह उपस्थित है)। $\operatorname {Argmax}$ यह खाली समुच्चय, सिंगलटन (गणित) हो सकता है, या इसमें कई तत्व सम्मलित हो सकते हैं।

उत्तल विश्लेषण और परिवर्तनशील विश्लेषण के क्षेत्र में,थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है जब विशेष स्थितियों में $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं। इस स्थितियों में, यदि $f$ समान रूप से समान होता है,तो $\operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing$ (इसका तात्पर्य है $\operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing$) और अन्यथा $\operatorname {argmax} _{S}f$ उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है, जहां इस स्थितियों में $\operatorname {argmax} _{S}f$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$\operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}$ जहां इसे संकेत में रखा गया है कि यह समानता $\sup {}_{S}f$ के साथ केवल उस स्थिति में साझा किया जाता है जब $f$, $S$.पर असीम नहीं होता है।

आर्ग न्यूनतम

$\operatorname {argmin}$ (या $\operatorname {arg\,min}$) की धारणा (जो न्यूनतम के तर्क के लिए होती है) उसी विधि से परिभाषित होती है। उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}$

$x$ के बिंदु वही होते हैं जिनके लिए $f(x)$ फलन का सबसे छोटा मान प्राप्त करता है। यह $\operatorname {arg\,max}$. (न्यूनतम के तर्क का तर्क) के पूरक ऑपरेटर होता है।

विशेष स्थितियों में जहां $Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}$ विस्तारित यथार्थात्मक संख्याएँ होती हैं, यदि $f$ सभी $S$ पर असीम रूप से $-\infty$ पर तबके समान होता है, तो $\operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing$ (इसका तात्पर्य है, $\operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing$) होता है, और अन्यथा $\operatorname {argmin} _{S}f$ f उपरोक्त रूप में परिभाषित होता है और इसके अतिरिक्त, इस स्थितियों में (जब $f$ असीमता रूप से $-\infty$ के समान नहीं होता है) निम्नलिखित को भी पूर्ण करता है:

$\operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.$

उदाहरण और गुण

उदाहरण के लिए, यदि $f(x)$ निम्नलिखित रूप हो:

$1-|x|,$

तो $f$ का अधिकतम मूल्य को सिर्फ बिंदु $x=0.$ पर प्राप्त करता है। इसलिए,

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.$

$\operatorname {argmax}$ ऑपरेटर $\operatorname {max}$ ऑपरेटर से अलग होता है। $\operatorname {max}$ ऑपरेटर, जब एक साथी फ़ंक्शन को दिया जाता है, वह फ़ंक्शन का अधिकतम मान देता है, बल्कि उस बिंदु या बिंदुओं को नहीं जिससे वह फ़ंक्शन उस मान तक पहुंचता है। अन्य शब्दों में,

$\max _{x}f(x)$ में तत्व है $\{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.$

$\operatorname {argmax} ,$ की प्रकार $\operatorname {max}$ रिक्त समुच्चय (जिसमें अधिकतम अवरोधित है) या एकल समुच्चय हो सकता है, किन्तु $\operatorname {argmax} ,$ के विपरीत, $\operatorname {max}$ एकाधिक तत्वों को नहीं समेत सकता है: उदाहरण के लिए, यदि: $f(x)$ = $4x^{2}-x^{4},$ है, तो ${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},$ किन्तु ${\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}$ क्योंकि फलन $\operatorname {argmax} .$ प्रत्येक तत्व पर समान मान प्राप्त करता है

समान रूप से, यदि $M$ की अधिकतम है $f,$ तो $\operatorname {argmax}$ अधिकतम का स्तर समुच्चय है:

${\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).$

हम इसे पुनर्व्यवस्थित करके सरल सम्मिश्रण प्राप्त कर सकते हैं

$f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).$

यदि अधिकतम बिंदु पर पहुंच जाता है तो इस बिंदु को अधिकांशतः $\operatorname {argmax} ,$ के रूप में संदर्भित किया जाता है और $\operatorname {argmax}$ को बिंदु माना जाता है, न कि बिंदुओं का सेट के लिए। इसलिए, उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5$

(एकलटन(गणित) समुच्चय के अतिरिक्त $\{5\}$), क्योंकि फलन $x(10-x)$ का अधिकतम मान $25,$है, जो बिंदु $x=5.$ पर होता है। चूंकि, यदि अधिकतम कई बिंदुओं पर पहुंचा जाता है, तो $\operatorname {argmax}$ को बिंदु सेट के रूप में विचार किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

${\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}$

क्योंकि $\cos x$ का अधिकतम मान $1,$ है, जो इस अवधि पर बिंदु $x=0,2\pi$ या $4\pi .$ पर होता है। पूरे वास्तविक रेखा पर,

${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},$ तो अनंत समुच्चय है।

फलन सामान्यतः अधिकतम मान नहीं प्राप्त करते हैं, और इसलिए $\operatorname {argmax}$ कभी-कभी रिक्त सेट होता है; उदाहरण के लिए, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing ,$ क्योंकि $x^{3}$,वास्तविक रेखा पर असीमित होता है। उदाहरण के रूप में, ${\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing ,$ यद्यपि |$\arctan$ वास्तविक रेखा पर $\pm \pi /2.$ से बंद है। यद्यपि, चरम मूल्य प्रमेय के अनुसार, अंतराल (गणित) पर सतत वास्तविक-मूल्यवान फलन में अधिकतम होता है, और इसलिए खाली नहीं $\operatorname {argmax} .$ होता है।

यह भी देखें

• किसी फलन का तर्क
• उच्चिष्ट और निम्निष्ट
• मोड (सांख्यिकी)
• गणितीय अनुकूलन
• कर्नेल (रैखिक बीजगणित)
• पूर्वछवि

संदर्भ

• Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.

बाहरी संबंध

• arg min and arg max at PlanetMath.