लैंबर्ट श्रृंखला

For generalized Lambert series, see Appell–Lerch sum.

समारोह $S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$, डोमेन रंग विधि के एक संस्करण का उपयोग करके, matplotlib प्लॉट के रूप में दर्शाया गया है

गणित में, एक लैम्बर्ट श्रृंखला, जिसका नाम जोहान हेनरिक लैम्बर्ट के नाम पर रखा गया है, एक श्रृंखला (गणित) का रूप ले रही है

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}.$

इसे हर का विस्तार करके औपचारिक श्रृंखला फिर से शुरू की जा सकती है:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$

जहां नई श्रृंखला के गुणांक डिरिचलेट कनवल्शन द्वारा दिए गए हैं_n निरंतर फ़ंक्शन 1(n)=1 के साथ:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}.\,$

इस श्रृंखला को मोबियस व्युत्क्रम सूत्र के माध्यम से उलटा किया जा सकता है, और यह मोबियस परिवर्तन का एक उदाहरण है।

उदाहरण

चूंकि यह अंतिम योग एक विशिष्ट संख्या-सैद्धांतिक योग है, लैंबर्ट श्रृंखला में उपयोग किए जाने पर लगभग कोई भी प्राकृतिक गुणक फ़ंक्शन सटीक रूप से योग योग्य होगा। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, किसी के पास है

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{0}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

कहाँ $\sigma _{0}(n)=d(n)$ संख्या n के धनात्मक विभाजक फलन की संख्या है।

उच्च क्रम के विभाजक फ़ंक्शन के लिए, विभाजक कार्यों का योग, एक के पास है

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{\alpha }(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{\alpha }q^{n}}{1-q^{n}}}$

कहाँ $\alpha$ कोई जटिल संख्या है और

$\sigma _{\alpha }(n)=({\textrm {Id}}_{\alpha }*1)(n)=\sum _{d\mid n}d^{\alpha }\,$

विभाजक कार्य है. विशेष रूप से, के लिए $\alpha =1$, लैंबर्ट श्रृंखला एक मिलती है

$q{\frac {F'(q)}{F(q)}}$

जो (के कारक तक) है $q$) विभाजन संख्याओं के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन का लघुगणकीय व्युत्पन्न

$F(q):={\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{n}}}.$

पिछली पहचान से संबंधित अतिरिक्त लैंबर्ट श्रृंखला में इसके वेरिएंट शामिल हैं मोबियस फ़ंक्शन नीचे दिया गया है $\mu (n)$ :

$\sum _{n=1}^{\infty }\mu (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q.$

मोएबियस फ़ंक्शन पर संबंधित लैंबर्ट श्रृंखला में किसी के लिए निम्नलिखित पहचान शामिल हैं मुख्य $\alpha \in \mathbb {Z} ^{+}$:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=q-2q^{2}\\\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{1-q^{n}}}&=-\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}}.\end{aligned}}$

उपरोक्त पहली पहचान का प्रमाण इनकी बहु-खंड (या द्विखंड) पहचान से मिलता है लैंबर्ट श्रृंखला निम्नलिखित रूप में कार्यों को उत्पन्न करती है जहां हम निरूपित करते हैं

$L_{f}(q):=q$ अंकगणितीय फ़ंक्शन f का लैंबर्ट श्रृंखला उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शन होना:

${\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1+q^{n}}}&=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}-\sum _{n\geq 1}{\frac {2f(n)q^{2n}}{1-q^{2n}}}\\&=L_{f}(q)-2\cdot L_{f}(q^{2}).\end{aligned}}$ पिछले समीकरणों में दूसरी पहचान इस तथ्य से मिलती है कि बाईं ओर के योग के गुणांक दिए गए हैं

${\begin{aligned}\sum _{d|n}\mu (\alpha d)=\sum _{d|{\frac {n}{(n,\alpha )}}}\mu (d)=\varepsilon \left({\frac {n}{(n,\alpha )}}\right)=1\iff n=(n,\alpha )\iff n=\alpha ^{k},\ {\text{ for some }}k\geq 1,\end{aligned}}$ जहां समारोह $\varepsilon (n)=\delta _{n,1}$ अंकगणितीय कार्यों के डिरिचलेट कनवल्शन के संचालन के संबंध में गुणात्मक पहचान है।

यूलर के टोटिएंट फ़ंक्शन के लिए $\varphi (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.$

वॉन मैंगोल्ड्ट समारोह के लिए $\Lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\Lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\log(n)q^{n}$

लिउविले के समारोह के लिए $\lambda (n)$:

$\sum _{n=1}^{\infty }\lambda (n)\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }q^{n^{2}}$

दाईं ओर का योग रामानुजन थीटा फ़ंक्शन, या जैकोबी थीटा फ़ंक्शन के समान है $\vartheta _{3}(q)$. ध्यान दें कि लैंबर्ट श्रृंखला जिसमें ए_n त्रिकोणमितीय फलन हैं, उदाहरण के लिए, a_n = पाप(2एनएक्स), का मूल्यांकन जैकोबी थीटा फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्नों के विभिन्न संयोजनों द्वारा किया जा सकता है।

सामान्यतया, हम पिछले जनरेटिंग फ़ंक्शन विस्तार को लेट करके बढ़ा सकते हैं $\chi _{m}(n)$ के विशिष्ट कार्य को निरूपित करें $m^{th}$ शक्तियाँ, $n=k^{m}\in \mathbb {Z} ^{+}$, सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के लिए $m>2$ और सामान्यीकृत एम-लिउविले लैम्ब्डा फ़ंक्शन को अंकगणितीय फ़ंक्शन संतोषजनक के रूप में परिभाषित करना $\chi _{m}(n):=(1\ast \lambda _{m})(n)$. की यह परिभाषा $\lambda _{m}(n)$ इसका स्पष्ट अर्थ है $\lambda _{m}(n)=\sum _{d^{m}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{m}}}\right)$, जो बदले में यह दर्शाता है

$\sum _{n\geq 1}{\frac {\lambda _{m}(n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n\geq 1}q^{n^{m}},\ {\text{ for }}m\geq 2.$

हमारे पास वर्गों के फ़ंक्शन का योग उत्पन्न करने वाला थोड़ा अधिक सामान्यीकृत लैंबर्ट श्रृंखला विस्तार भी है $r_{2}(n)$ के रूप में

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4\cdot (-1)^{n+1}q^{2n+1}}{1-q^{2n+1}}}=\sum _{m=1}^{\infty }r_{2}(m)q^{m}.$

सामान्य तौर पर, यदि हम लैंबर्ट श्रृंखला को ऊपर लिखें $f(n)$ जो अंकगणितीय कार्यों को उत्पन्न करता है $g(m)=(f\ast 1)(m)$, फ़ंक्शंस के अगले जोड़े उनके लैंबर्ट श्रृंखला द्वारा व्यक्त किए गए अन्य प्रसिद्ध संकल्पों के अनुरूप हैं जो फ़ंक्शंस उत्पन्न करते हैं

$(f,g)=(\mu ,\varepsilon ),(\varphi ,\operatorname {Id} _{1}),(\lambda ,\chi _{\operatorname {sq} }),(\Lambda ,\log ),(|\mu |,2^{\omega }),(J_{t},\operatorname {Id} _{t}),(d^{3},(d\ast 1)^{2}),$

कहाँ $\varepsilon (n)=\delta _{n,1}$ डिरिचलेट कनवल्शन के लिए गुणात्मक पहचान है, $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ के लिए पहचान कार्य है $k^{th}$ शक्तियाँ, $\chi _{\operatorname {sq} }$ वर्गों के लिए विशेषता फ़ंक्शन को दर्शाता है, $\omega (n)$ जो कि अलग-अलग अभाज्य कारकों की संख्या की गणना करता है $n$ (प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन देखें), $J_{t}$ जॉर्डन का टोटिएंट फ़ंक्शन है, और $d(n)=\sigma _{0}(n)$ विभाजक फलन है (डिरिचलेट कन्वोल्यूशन#उदाहरण देखें)।

सारांश में अक्षर q का पारंपरिक उपयोग एक ऐतिहासिक उपयोग है, जो अण्डाकार वक्रों और थीटा कार्यों के सिद्धांत में इसकी उत्पत्ति को नोम (गणित) के रूप में संदर्भित करता है।

वैकल्पिक रूप

स्थानापन्न $q=e^{-z}$ श्रृंखला के लिए एक और सामान्य रूप प्राप्त होता है, जैसे

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}$

कहाँ

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{d\mid m}a_{d}\,$

पहले जैसा। इस रूप में लैंबर्ट श्रृंखला के उदाहरण, साथ $z=2\pi$, विषम पूर्णांक मानों के लिए रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के व्यंजकों में होता है; विवरण के लिए जीटा स्थिरांक देखें।

वर्तमान उपयोग

साहित्य में हम पाते हैं कि लैंबर्ट श्रृंखला विभिन्न प्रकार की राशियों पर लागू होती है। उदाहरण के लिए, चूंकि $q^{n}/(1-q^{n})=\mathrm {Li} _{0}(q^{n})$ एक बहु लघुगणक फलन है, हम प्रपत्र के किसी भी योग का उल्लेख कर सकते हैं

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\xi ^{n}\,\mathrm {Li} _{u}(\alpha q^{n})}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\alpha ^{n}\,\mathrm {Li} _{s}(\xi q^{n})}{n^{u}}}$

लैंबर्ट श्रृंखला के रूप में, यह मानते हुए कि पैरामीटर उपयुक्त रूप से प्रतिबंधित हैं। इस प्रकार

$12\left(\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-1}(q^{n})\right)^{\!2}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{2}\,\mathrm {Li} _{-5}(q^{n})-\sum _{n=1}^{\infty }n^{4}\,\mathrm {Li} _{-3}(q^{n}),$

जो यूनिट सर्कल पर नहीं सभी जटिल q के लिए है, उसे लैंबर्ट श्रृंखला की पहचान माना जाएगा। यह पहचान भारतीय गणितज्ञ एस. रामानुजन द्वारा प्रकाशित कुछ पहचानों से सीधे तौर पर मिलती है। रामानुजन के कार्यों की बहुत गहन खोज ब्रूस बर्नड्ट के कार्यों में पाई जा सकती है।

गुणनखंडन प्रमेय

2017-2018 में हाल ही में प्रकाशित एक नया निर्माण फॉर्म के तथाकथित लैम्बर्ट श्रृंखला गुणनखंडन प्रमेयों से संबंधित है

$\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1\pm q^{n}}}={\frac {1}{(\mp q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left((s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k))a_{k}\right)q^{n},$

कहाँ $s_{o}(n,k)\pm s_{e}(n,k)=[q^{n}](\mp q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1\pm q^{k}}}$ का संबंधित योग या अंतर है प्रतिबंधित विभाजन कार्य $s_{e/o}(n,k)$ जो की संख्या को दर्शाता है $k$के सभी विभाजनों में है $n$ अलग-अलग भागों की सम (क्रमशः, विषम) संख्या में। होने देना $s_{n,k}:=s_{e}(n,k)-s_{o}(n,k)=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}$ उलटे निचले त्रिकोणीय अनुक्रम को निरूपित करें जिसके पहले कुछ मान नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं।

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	-1	-1	1	0	0	0	0	0
4	-1	0	-1	1	0	0	0	0
5	-1	-1	-1	-1	1	0	0	0
6	0	0	1	-1	-1	1	0	0
7	0	0	-1	0	-1	-1	1	0
8	1	0	0	1	0	-1	-1	1

लैंबर्ट श्रृंखला गुणनखंडन प्रमेय विस्तार का एक अन्य विशिष्ट रूप दिया गया है

$L_{f}(q):=\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}\sum _{n\geq 1}\left(s_{n,k}f(k)\right)q^{n},$

कहाँ $(q;q)_{\infty }$ (अनंत) q-पोचहैमर प्रतीक है। पिछले समीकरण के दाईं ओर व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स उत्पाद व्युत्क्रम मैट्रिक्स उत्पादों के अनुरूप हैं जिनकी निचली त्रिकोणीय प्रविष्टियाँ विभाजन (संख्या सिद्धांत) और विभाजक योगों द्वारा मोबियस फ़ंक्शन के संदर्भ में दी गई हैं।

$s_{n,k}^{(-1)}=\sum _{d|n}p(d-k)\mu \left({\frac {n}{d}}\right)$

अगली तालिका इन संगत व्युत्क्रम आव्यूहों की पहली कई पंक्तियों को सूचीबद्ध करती है।

n \ k	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	0	0	0	0	0	0	0
2	0	1	0	0	0	0	0	0
3	1	1	1	0	0	0	0	0
4	2	1	1	1	0	0	0	0
5	4	3	2	1	1	0	0	0
6	5	3	2	2	1	1	0	0
7	10	7	5	3	2	1	1	0
8	12	9	6	4	3	2	1	1

हम जाने $G_{j}:={\frac {1}{2}}\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil \left\lceil {\frac {3j+1}{2}}\right\rceil$ अंतर्विष्ट पंचकोणीय संख्याओं के अनुक्रम को निरूपित करें, अर्थात, ताकि पंचकोणीय संख्या प्रमेय का विस्तार इस रूप में हो

$(q;q)_{\infty }=\sum _{n\geq 0}(-1)^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }q^{G_{n}}.$

फिर किसी लैम्बर्ट श्रृंखला के लिए $L_{f}(q)$ का क्रम उत्पन्न करना $g(n)=(f\ast 1)(n)$, हमारे पास ऊपर दिए गए गुणनखंडन प्रमेय का संगत व्युत्क्रम संबंध है

$f(n)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{d|n}p(d-k)\mu (n/d)\times \sum _{j:k-G_{j}>0}(-1)^{\left\lceil {\frac {j}{2}}\right\rceil }b(k-G_{j}).$

लैम्बर्ट श्रृंखला गुणनखंडन प्रमेयों पर यह कार्य विस्तारित है प्रपत्र के अधिक सामान्य विस्तार के लिए

$\sum _{n\geq 1}{\frac {a_{n}q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {1}{C(q)}}\sum _{n\geq 1}\left(\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}(\gamma ){\widetilde {a}}_{k}(\gamma )\right)q^{n},$

कहाँ $C(q)$ क्या कोई (विभाजन-संबंधी) पारस्परिक उत्पन्न करने वाला कार्य है, $\gamma (n)$ कोई अंकगणितीय कार्य है, और जहां संशोधित गुणांकों का विस्तार किया जाता है

${\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{d|k}\sum _{r|{\frac {k}{d}}}a_{d}\gamma (r).$

उपरोक्त विस्तार में संगत व्युत्क्रम आव्यूह संतुष्ट करते हैं

$s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )=\sum _{d|n}[q^{d-k}]{\frac {1}{C(q)}}\gamma \left({\frac {n}{d}}\right),$

ताकि ऊपर दिए गए लैम्बर्ट गुणनखंडन प्रमेय के पहले संस्करण की तरह हम प्रपत्र के दाईं ओर के गुणांकों के लिए एक व्युत्क्रम संबंध प्राप्त करें

${\widetilde {a}}_{k}(\gamma )=\sum _{k=1}^{n}s_{n,k}^{(-1)}(\gamma )\times [q^{k}]\left(\sum _{d=1}^{k}{\frac {a_{d}q^{d}}{1-q^{d}}}C(q)\right).$

पुनरावृत्ति संबंध

इस अनुभाग में हम प्राकृतिक संख्याओं के लिए निम्नलिखित कार्यों को परिभाषित करते हैं $n,x\geq 1$:

$g_{f}(n):=(f\ast 1)(n),$ :$\Sigma _{f}(x):=\sum _{1\leq n\leq x}g_{f}(n).$

हम लैंबर्ट श्रृंखला#गुणनखंड प्रमेय से संकेतन को भी अपनाते हैं

$s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},$

कहाँ $(q;q)_{\infty }$ अनंत q-पोचहैमर प्रतीक है। फिर हमारे पास इन कार्यों और सिद्ध पंचकोणीय संख्याओं को शामिल करने के लिए निम्नलिखित पुनरावृत्ति संबंध हैं:

$g_{f}(n+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24n+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}g_{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k),$ :$\Sigma _{f}(x+1)=\sum _{b=\pm 1}\sum _{k=1}^{\left\lfloor {\frac {{\sqrt {24x+1}}-b}{6}}\right\rfloor }(-1)^{k+1}\Sigma _{f}\left(n+1-{\frac {k(3k+b)}{2}}\right)+\sum _{n=0}^{x}\sum _{k=1}^{n+1}s_{n+1,k}f(k).$

व्युत्पन्न

लैंबर्ट श्रृंखला के व्युत्पन्न श्रृंखला को शब्दानुसार विभेदित करके प्राप्त किए जा सकते हैं $q$. हमारे पास शब्दानुसार निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ हैं $s^{th}$ किसी के लिए लैंबर्ट श्रृंखला का व्युत्पन्न $s\geq 1$

$q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\frac {(-1)^{s-k}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}$

$q^{s}\cdot D^{(s)}\left[{\frac {q^{i}}{1-q^{i}}}\right]=\sum _{r=0}^{s}\left[\sum _{m=0}^{s}\sum _{k=0}^{m}\left[{\begin{matrix}s\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {s-k}{r}}{\frac {(-1)^{s-k-r}k!i^{m}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right]q^{(r+1)i},$

जहां पिछले समीकरणों में ब्रैकेटेड त्रिकोणीय गुणांक स्टर्लिंग संख्या को दर्शाते हैं। हमारे पास फॉर्म में दिए गए पिछले विस्तारों में निहित शब्दों के व्यक्तिगत गुणांक निकालने के लिए अगली पहचान भी है

$[q^{n}]\left(\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{mi}}{(1-q^{i})^{k+1}}}\right)=\sum _{\begin{matrix}d|n\\t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor \end{matrix}}{\binom {{\frac {n}{d}}-m+k}{k}}a_{d}.$

अब यदि हम कार्यों को परिभाषित करें $A_{t}(n)$ किसी के लिए $n,t\geq 1$ द्वारा

$A_{t}(n):=\sum _{\begin{matrix}0\leq k\leq m\leq t\\0\leq r\leq t\end{matrix}}\sum _{d|n}\left[{\begin{matrix}t\\m\end{matrix}}\right]\left\{{\begin{matrix}m\\k\end{matrix}}\right\}{\binom {t-k}{r}}{\binom {{\frac {n}{d}}-1-r+k}{k}}(-1)^{t-k-r}k!d^{m}\cdot a_{d}\cdot \left[t\leq d\leq \left\lfloor {\frac {n}{r+1}}\right\rfloor \right]_{\delta },$

कहाँ $[\cdot ]_{\delta }$ इवरसन के सम्मेलन को दर्शाता है, तो हमारे पास इसके लिए गुणांक हैं $t^{th}$ लैंबर्ट श्रृंखला के व्युत्पन्न द्वारा दिए गए

${\begin{aligned}A_{t}(n)&=[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq t}{\frac {a_{i}q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)\\&=[q^{n}]\left(\sum _{n\geq 1}{\frac {(A_{t}\ast \mu )(n)q^{n}}{1-q^{n}}}\right).\end{aligned}}$

निःसंदेह, एक विशिष्ट तर्क के अनुसार विशुद्ध रूप से औपचारिक शक्ति श्रृंखला पर संचालन के द्वारा हमारे पास भी वह है

$[q^{n}]\left(q^{t}\cdot D^{(t)}\left[\sum _{i\geq 1}{\frac {f(i)q^{i}}{1-q^{i}}}\right]\right)={\frac {n!}{(n-t)!}}\cdot (f\ast 1)(n).$

यह भी देखें

• एर्डोस-बोरवीन स्थिरांक
• अंकगणितीय कार्य
• डिरिचलेट कनवल्शन

संदर्भ

• Berry, Michael V. (2010). Functions of Number Theory. CAMBRIDGE UNIVERSITY PRESS. pp. 637–641. ISBN 978-0-521-19225-5.
• Lambert, Preston A. (1904). "Expansions of algebraic functions at singular points". Proc. Am. Philos. Soc. 43 (176): 164–172. JSTOR 983503.
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001
• "Lambert series", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Lambert Series". MathWorld.
• Schmidt, Maxie Dion (2020-04-06). "A catalog of interesting and useful Lambert series identities". arXiv:2004.02976 [math.NT].