स्टिल्टजेस परिवर्तन

गणित में, स्टिल्टजेस परिवर्तन S_ρ(z) घनत्व के माप का ρ वास्तविक अंतराल पर I जटिल चर का कार्य है z बाहर परिभाषित I सूत्र द्वारा

$$S_{\rho }(z)=\int _{I}{\frac {\rho (t)\,dt}{z-t}},\qquad z\in \mathbb {C} \setminus I.$$

कुछ शर्तों के तहत हम घनत्व फ़ंक्शन को पुनर्गठित कर सकते हैं ρ स्टिल्टजेस-पेरोन के व्युत्क्रम सूत्र की बदौलत इसके स्टिल्टजेस परिवर्तन से शुरुआत। उदाहरण के लिए, यदि घनत्व ρ सर्वत्र सतत् है I, इस अंतराल के अंदर एक होगा

$$\rho (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}{\frac {S_{\rho }(x-i\varepsilon )-S_{\rho }(x+i\varepsilon )}{2i\pi }}.$$

मापों के क्षणों के साथ संबंध

Main article: Moment problem

यदि घनत्व का माप ρ में समानता द्वारा प्रत्येक पूर्णांक के लिए परिभाषित किसी भी क्रम का क्षण (गणित) है

$$m_{n}=\int _{I}t^{n}\,\rho (t)\,dt,$$

फिर Stiltjes का परिवर्तन ρ प्रत्येक पूर्णांक के लिए स्वीकार करता है n अनंत के पड़ोस में एसिम्प्टोटिक विश्लेषण विस्तार द्वारा दिया गया

$$S_{\rho }(z)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {m_{k}}{z^{k+1}}}+o\left({\frac {1}{z^{n+1}}}\right).$$

कुछ शर्तों के तहत लॉरेंट श्रृंखला के रूप में पूर्ण विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:

$$S_{\rho }(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {m_{n}}{z^{n+1}}}.$$

ओर्थोगोनल बहुपदों से संबंध

पत्राचार ${\textstyle (f,g)\mapsto \int _{I}f(t)g(t)\rho (t)\,dt}$ अंतराल पर निरंतर कार्यों के स्थान पर एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है I.

अगर {P_n} इस उत्पाद के लिए ऑर्थोगोनल बहुपदों का एक क्रम है, हम सूत्र द्वारा संबंधित माध्यमिक बहुपदों का अनुक्रम बना सकते हैं

$$Q_{n}(x)=\int _{I}{\frac {P_{n}(t)-P_{n}(x)}{t-x}}\rho (t)\,dt.$$

यह प्रतीत होता है कि ${\textstyle F_{n}(z)={\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}}$ का पैडे सन्निकटन है S_ρ(z) अनंत के पड़ोस में, इस अर्थ में

$$S_{\rho }(z)-{\frac {Q_{n}(z)}{P_{n}(z)}}=O\left({\frac {1}{z^{2n}}}\right).$$

चूँकि बहुपदों के ये दो क्रम तीन पदों में समान पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, हम स्टिल्टजेस परिवर्तन के लिए एक सामान्यीकृत निरंतर अंश विकसित कर सकते हैं, जिसके क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) अंश हैं F_n(z).

स्टिल्टजेस परिवर्तन का उपयोग घनत्व से निर्माण के लिए भी किया जा सकता है ρ द्वितीयक बहुपदों को ऑर्थोगोनल प्रणाली में बदलने के लिए एक प्रभावी उपाय। (अधिक जानकारी के लिए लेख द्वितीयक उपाय देखें।)

यह भी देखें

• ऑर्थोगोनल बहुपद
• द्वितीयक बहुपद
• द्वितीयक उपाय

संदर्भ

• H. S. Wall (1948). Analytic Theory of Continued Fractions. D. Van Nostrand Company Inc.