लिप्सचिट्ज़ निरंतरता

लिप्सचिट्ज़ सतत फ़ंक्शन के लिए, एक दोहरा शंकु (सफ़ेद) मौजूद होता है जिसके मूल को ग्राफ़ के साथ ले जाया जा सकता है ताकि पूरा ग्राफ़ हमेशा दोहरे शंकु के बाहर रहे

गणितीय विश्लेषण में, लिप्सचिट्ज़ निरंतरता, जिसका नाम जर्मनी के गणितज्ञ रूडोल्फ लिप्सचिट्ज़ के नाम पर रखा गया है, फ़ंक्शन (गणित) के लिए समान निरंतरता का एक मजबूत रूप है। सहज रूप से, एक लिप्सचिट्ज़ निरंतर फ़ंक्शन इस बात में सीमित है कि यह कितनी तेजी से बदल सकता है: एक वास्तविक संख्या मौजूद है, जैसे कि, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए, उन्हें जोड़ने वाली रेखा के ढलान का पूर्ण मान इससे अधिक नहीं है यह वास्तविक संख्या; ऐसी सबसे छोटी सीमा को फ़ंक्शन का लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कहा जाता है (और यह निरंतरता के मापांक से संबंधित है)। उदाहरण के लिए, प्रत्येक फ़ंक्शन जो एक अंतराल पर परिभाषित होता है और पहले व्युत्पन्न से घिरा होता है, लिप्सचिट्ज़ निरंतर होता है।

विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में, लिप्सचिट्ज़ निरंतरता पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय की केंद्रीय स्थिति है जो प्रारंभिक मूल्य समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता की गारंटी देती है। एक विशेष प्रकार की लिप्सचिट्ज़ निरंतरता, जिसे संकुचन मानचित्रण कहा जाता है, का उपयोग बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय में किया जाता है। हमारे पास वास्तविक रेखा के सघनता गैर-तुच्छ अंतराल पर कार्यों के लिए सख्त समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला है:

निरंतर भिन्न ⊂ लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊂ $\alpha$-धारक निरंतर,

कहाँ $0<\alpha \leq 1$. हमारे पास भी है

लिप्सचिट्ज़ निरंतर ⊂ बिल्कुल निरंतर ⊂ समान रूप से निरंतर।

परिभाषाएँ

दो मीट्रिक स्थान (X, d) दिए गए हैं_X) और (वाई, डी_Y), जहां घ_X सेट X और d पर मीट्रिक (गणित) को दर्शाता है_Y सेट Y पर मीट्रिक है, एक फ़ंक्शन f:₁ और एक्स₂ एक्स में,

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2}).$

ऐसे किसी भी K को फ़ंक्शन f के लिए 'लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' के रूप में संदर्भित किया जाता है और f को 'K-लिप्सचिट्ज़' के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। सबसे छोटे स्थिरांक को कभी-कभी '(सर्वोत्तम) लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक' कहा जाता है। च या 'फैलाव' या 'फैलाव' का बंद। यदि K = 1 फ़ंक्शन को 'लघु मानचित्र' कहा जाता है, और यदि 0 ≤ K < 1 और f स्वयं के लिए एक मीट्रिक स्थान मैप करता है, तो फ़ंक्शन को 'संकुचन मानचित्रण' कहा जाता है।

विशेष रूप से, एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f: R → R को लिप्सचिट्ज़ निरंतर कहा जाता है यदि कोई सकारात्मक वास्तविक स्थिरांक K मौजूद हो, जैसे कि सभी वास्तविक x के लिए₁ और एक्स₂,

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leq K|x_{1}-x_{2}|.$

इस मामले में, Y मानक मीट्रिक d के साथ वास्तविक संख्या 'R' का सेट है_Y(और₁, और₂) = |य₁− और₂|, और X 'R' का उपसमुच्चय है।

सामान्य तौर पर, असमानता (तुच्छ रूप से) संतुष्ट होती है यदि x₁ = एक्स₂. अन्यथा, कोई किसी फ़ंक्शन को लिप्सचिट्ज़ निरंतर के रूप में परिभाषित कर सकता है यदि और केवल तभी जब कोई स्थिरांक K ≥ 0 मौजूद हो, जैसे कि सभी x के लिए₁ ≠ एक्स₂,

${\frac {d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))}{d_{X}(x_{1},x_{2})}}\leq K.$

कई वास्तविक चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए, यह तभी लागू होता है जब सभी छेदक रेखाओं के ढलानों का निरपेक्ष मान K से घिरा हो। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक बिंदु से गुजरने वाली ढलान K की रेखाओं का सेट एक बनाता है वृत्ताकार शंकु, और एक फ़ंक्शन लिप्सचिट्ज़ है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन का ग्राफ हर जगह इस शंकु के पूरी तरह से बाहर है (आंकड़ा देखें)।

एक फ़ंक्शन को 'स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर' कहा जाता है यदि एक्स में प्रत्येक एक्स के लिए एक्स का पड़ोस (गणित) यू मौजूद है जैसे कि यू तक सीमित एफ लिप्सचिट्ज़ निरंतर है। समान रूप से, यदि

अधिक आम तौर पर, एक्स पर परिभाषित एक फ़ंक्शन एफ को 'होल्डर निरंतर' कहा जाता है या एक्स पर ऑर्डर α > 0 की 'होल्डर स्थिति' को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि कोई निरंतर एम ≥ 0 मौजूद है

$d_{Y}(f(x),f(y))\leq Md_{X}(x,y)^{\alpha }$ एक्स में सभी एक्स और वाई के लिए। कभी-कभी ऑर्डर α की एक धारक स्थिति को 'ऑर्डर की यूनिफ़ॉर्म लिप्सचिट्ज़ स्थिति' α > 0 भी कहा जाता है।

वास्तविक संख्या K ≥ 1 के लिए, यदि

${\frac {1}{K}}d_{X}(x_{1},x_{2})\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Kd_{X}(x_{1},x_{2})\quad {\text{ for all }}x_{1},x_{2}\in X,$

तब f को 'K-bilipschitz' (जिसे 'K-bi-Lipschitz' भी लिखा जाता है) कहा जाता है। हम कहते हैं कि f 'बिलिप्सचिट्ज़' या 'बाई-लिप्सचिट्ज़' है, इसका मतलब यह है कि ऐसा K मौजूद है। एक बिलिप्सचिट्ज़ मैपिंग इंजेक्शन समारोह है, और वास्तव में इसकी छवि पर एक होमियोमोर्फिज्म है। एक बिलिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन एक इंजेक्टिव लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन के समान है जिसका उलटा फ़ंक्शन भी लिप्सचिट्ज़ है।

उदाहरण

लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य जो हर जगह भिन्न होते हैं

• The function $f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$ defined for all real numbers is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant K = 1, because it is everywhere differentiable and the absolute value of the derivative is bounded above by 1. See the first property listed below under "Properties".
• Likewise, the sine function is Lipschitz continuous because its derivative, the cosine function, is bounded above by 1 in absolute value.

लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य जो हर जगह भिन्न नहीं होते हैं

• The function $f(x)=|x|$ defined on the reals is Lipschitz continuous with the Lipschitz constant equal to 1, by the reverse triangle inequality. More generally, a norm on a vector space is Lipschitz continuous with respect to the associated metric, with the Lipschitz constant equal to 1.

लिप्सचिट्ज़ निरंतर कार्य जो हर जगह भिन्न होते हैं लेकिन निरंतर भिन्न नहीं होते हैं

• The function $f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{if }}x\neq 0\\0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$, whose derivative exists but has an essential discontinuity at $x=0$.

निरंतर कार्य जो (वैश्विक स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं

• The function f(x) = √x defined on [0, 1] is not Lipschitz continuous. This function becomes infinitely steep as x approaches 0 since its derivative becomes infinite. However, it is uniformly continuous, and both Hölder continuous of class C^{0, α} for α ≤ 1/2 and also absolutely continuous on [0, 1] (both of which imply the former).

विभिन्न कार्य जो (स्थानीय रूप से) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं

• The function f defined by f(0) = 0 and f(x) = x^3/2sin(1/x) for 0<x≤1 gives an example of a function that is differentiable on a compact set while not locally Lipschitz because its derivative function is not bounded. See also the first property below.

विश्लेषणात्मक कार्य जो (वैश्विक स्तर पर) लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं हैं

• The exponential function becomes arbitrarily steep as x → ∞, and therefore is not globally Lipschitz continuous, despite being an analytic function.
• The function f(x) = x² with domain all real numbers is not Lipschitz continuous. This function becomes arbitrarily steep as x approaches infinity. It is however locally Lipschitz continuous.

गुण

• हर जगह अलग-अलग फ़ंक्शन जी: 'आर' → 'आर' लिप्सचिट्ज़ निरंतर है (के = सुपर | जी ′ (एक्स) | के साथ) यदि और केवल अगर यह पहले व्युत्पन्न से घिरा हुआ है; माध्य मान प्रमेय से एक दिशा अनुसरण करती है। विशेष रूप से, कोई भी निरंतर भिन्न कार्य स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ होता है, क्योंकि निरंतर कार्य स्थानीय रूप से बंधे होते हैं इसलिए इसका ग्रेडिएंट भी स्थानीय रूप से बाध्य होता है।
• एक लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन g : 'R' → 'R' बिल्कुल निरंतर है और इसलिए लगभग हर जगह भिन्न होता है, अर्थात, लेब्सग्यू माप शून्य के सेट के बाहर हर बिंदु पर भिन्न होता है। इसका व्युत्पन्न अनिवार्य रूप से लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक द्वारा परिमाण में घिरा हुआ है, और a < b के लिए, अंतर g(b) - g(a) अंतराल [a, b] पर व्युत्पन्न g′ के अभिन्न अंग के बराबर है।
  • इसके विपरीत, यदि f : I → 'R' बिल्कुल निरंतर है और इस प्रकार लगभग हर जगह भिन्न है, और |f′(x)| को संतुष्ट करता है। I में लगभग सभी x के लिए ≤ K, तो अधिकतम K पर लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ f लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।
  • अधिक आम तौर पर, रैडेमाकर का प्रमेय यूक्लिडियन स्थानों के बीच लिप्सचिट्ज़ मैपिंग के लिए भिन्नता परिणाम का विस्तार करता है: एक लिप्सचिट्ज़ मानचित्र एफ: यू → 'आर'^एम, जहां यू 'आर' में एक खुला सेट हैⁿ, लगभग हर जगह व्युत्पन्न है। इसके अलावा, यदि K, f का सर्वश्रेष्ठ लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक है, तो $\|Df(x)\|\leq K$ जब भी कुल व्युत्पन्न Df मौजूद हो।
• एक भिन्न लिप्सचिट्ज़ मानचित्र के लिए $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ असमानता $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}\leq K$ सर्वोत्तम लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के लिए धारण करता है $K$ का $f$. यदि डोमेन $U$ वास्तव में उत्तल है $\|Df\|_{W^{1,\infty }(U)}=K$.
• मान लीजिए कि {एफ_n} दो मीट्रिक स्थानों के बीच लिप्सचिट्ज़ निरंतर मैपिंग का एक क्रम है, और वह सभी एफ_nलिप्सचिट्ज़ स्थिरांक कुछ K से घिरा है। यदि f_nमैपिंग f एकसमान अभिसरण में अभिसरण करता है, तो f भी लिप्सचिट्ज़ है, लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक समान K से घिरा होता है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के लिए एक विशेष सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट है सतत कार्यों के बानाच स्थान का एक बंद और उत्तल उपसमुच्चय। हालाँकि, यह परिणाम उन अनुक्रमों के लिए मान्य नहीं है जिनमें फ़ंक्शंस में असीमित लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक हो सकते हैं। वास्तव में, एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस पर सभी लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शंस का स्थान निरंतर फ़ंक्शंस के बनच स्थान का एक उपबीजगणित है, और इस प्रकार इसमें सघनता है, जो स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का एक प्रारंभिक परिणाम है (या वीयरस्ट्रैस सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप, क्योंकि प्रत्येक बहुपद स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर है)।
• प्रत्येक लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्र समान रूप से निरंतर होता है, और इसलिए एक फोर्टियोरी निरंतर कार्य होता है। अधिक आम तौर पर, परिबद्ध लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ कार्यों का एक सेट एक समविराम सेट बनाता है। अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय का तात्पर्य है कि यदि {f_n} परिबद्ध लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ कार्यों का एक समान रूप से परिबद्ध अनुक्रम है, फिर इसमें एक अभिसरण अनुवर्ती होता है। पिछले पैराग्राफ के परिणाम के अनुसार, सीमा फ़ंक्शन भी लिप्सचिट्ज़ है, लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के लिए समान सीमा के साथ। विशेष रूप से लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक ≤ K  वाले कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस
• लिप्सचिट्ज़ के एक परिवार के लिए निरंतर कार्य एफ_α सामान्य स्थिरांक के साथ, फ़ंक्शन $\sup _{\alpha }f_{\alpha }$ (और $\inf _{\alpha }f_{\alpha }$) लिप्सचिट्ज़ निरंतर भी है, समान लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक के साथ, बशर्ते कि यह कम से कम एक बिंदु पर एक सीमित मान मानता हो।
• यदि U मीट्रिक स्पेस M और f का एक उपसमुच्चय है: U → 'R' एक लिप्सचिट्ज़ निरंतर फ़ंक्शन है, तो हमेशा लिप्सचिट्ज़ निरंतर मानचित्र M → 'R' मौजूद होते हैं जो f का विस्तार करते हैं और f के समान लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक रखते हैं (यह भी देखें) किर्स्ज़ब्रौन प्रमेय)। द्वारा एक एक्सटेंशन प्रदान किया जाता है

${\tilde {f}}(x):=\inf _{u\in U}\{f(u)+k\,d(x,u)\},$ :जहाँ k, U पर f के लिए एक लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक है।

लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स

टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड पर एक लिप्सचिट्ज़ संरचना को एटलस (टोपोलॉजी) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जिसके संक्रमण मानचित्र बिलिप्सचिट्ज़ हैं; यह संभव है क्योंकि बिलिप्सचिट्ज़ मानचित्र एक छद्म समूह बनाते हैं। इस तरह की संरचना किसी को ऐसे मैनिफोल्ड्स के बीच स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ मानचित्रों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, उसी तरह जैसे कोई चिकनी कई गुना ्स के बीच स्मूथ मैप्स को परिभाषित करता है: यदि M और N लिप्सचिट्ज़ मैनिफ़ोल्ड हैं, फिर एक फ़ंक्शन $f:M\to N$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है यदि और केवल यदि समन्वय चार्ट की प्रत्येक जोड़ी के लिए $\phi :U\to M$ और $\psi :V\to N$, कहाँ U और V संगत यूक्लिडियन रिक्त स्थान, रचना में खुले सेट हैं

$$\psi ^{-1}\circ f\circ \phi :U\cap (f\circ \phi )^{-1}(\psi (V))\to N$$

स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ है। यह परिभाषा किसी मीट्रिक को परिभाषित करने पर निर्भर नहीं करती है M या N. यह संरचना टुकड़े-टुकड़े-रैखिक मैनिफोल्ड और टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के बीच मध्यवर्ती है: एक पीएल संरचना एक अद्वितीय लिप्सचिट्ज़ संरचना को जन्म देती है। जबकि लिप्सचिट्ज़ मैनिफोल्ड्स टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स से निकटता से संबंधित हैं, रेडेमाकर का प्रमेय किसी को विश्लेषण करने की अनुमति देता है, जिससे विभिन्न अनुप्रयोग प्राप्त होते हैं।

एकतरफ़ा लिप्सचिट्ज़

मान लीजिए कि F(x) x का एक अर्ध-निरंतर|ऊपरी अर्ध-निरंतर फलन है, और F(x) सभी x के लिए एक बंद, उत्तल सेट है। तब F एकतरफ़ा लिप्सचिट्ज़ है अगर

$(x_{1}-x_{2})^{T}(F(x_{1})-F(x_{2}))\leq C\Vert x_{1}-x_{2}\Vert ^{2}$ कुछ C के लिए और सभी x के लिए₁ और एक्स₂.

यह संभव है कि फ़ंक्शन F में बहुत बड़ा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक हो लेकिन मध्यम आकार का, या यहां तक ​​कि नकारात्मक, एक तरफा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक हो। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन

${\begin{cases}F:\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ,\\F(x,y)=-50(y-\cos(x))\end{cases}}$

लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक K = 50 है और एक तरफा लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक C = 0 है। एक उदाहरण जो एक तरफा लिप्सचिट्ज़ है लेकिन लिप्सचिट्ज़ निरंतर नहीं है वह F(x) = e है^−x, C = 0 के साथ।

यह भी देखें

• Contraction mapping
• दीनी निरंतरता
• निरंतरता का मापांक
• अर्ध-आइसोमेट्री
• जॉनसन-लिंडेनस्ट्रॉस लेम्मा - किसी भी पूर्णांक n≥0 के लिए, कोई भी परिमित उपसमुच्चय X⊆'R'ⁿ, और कोई भी वास्तविक संख्या 0<ε<1, वहां एक (1+ε)-द्वि-लिप्सचिट्ज़ फ़ंक्शन मौजूद है $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{d},$ कहाँ $d=\lceil 15(\ln |X|)/\varepsilon ^{2}\rceil .$