रुइन सिद्धांत

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बीमांकिक विज्ञान और व्यावहारिक संभाव्यता में, विनष्ट सिद्धांत (कभी-कभी संकट सिद्धांत या सामूहिक संकट सिद्धांत) किसी बीमाकर्ता की दिवालियेपन/विनष्ट होने की संभावना का वर्णन करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग करता है। ऐसे मॉडलों में ब्याज की मुख्य बातें हैं विनाश की संभावना, विनाश से ठीक पहले अधिशेष का वितरण और विनाश के समय घाटा।

मौलिक मॉडल

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यौगिक पॉइसन संकट प्रक्रिया का नमूना पथ

विनष्ट सिद्धांत का सैद्धांतिक आधार, जिसे क्रैमर-लुंडबर्ग मॉडल (या मौलिक यौगिक-पॉइसन संकट मॉडल, मौलिक संकट प्रक्रिया) के रूप में जाना जाता है, 1903 में स्वीडिश एक्चुअरी फिलिप लुंडबर्ग द्वारा प्रस्तुत किया गया था। लुंडबर्ग का कार्य 1930 के दशक में हेराल्ड क्रैमर द्वारा पुनः प्रकाशित किया गया था।

मॉडल बीमा कंपनी का वर्णन करता है, जो दो विपरीत नकदी प्रवाह का अनुभव करती है: आने वाले नकद प्रीमियम और आउटगोइंग प्रमाण। प्रीमियम ग्राहकों से स्थिर दर c > 0 पर आते हैं और प्रमाण पॉइसन प्रक्रिया $N_{t}$ के अनुसार तीव्रता λ के साथ आते हैं और स्वतंत्र और समान रूप से वितरित गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर $\xi _{i}$ वितरण F और माध्य μ के साथ वितरित होते हैं (वे यौगिक पॉइसन प्रक्रिया बनाते हैं)। तो बीमाकर्ता के लिए जो प्रारंभिक अधिशेष x से प्रारंभ होता है, कुल संपत्ति $X_{t}$ इस प्रकार दी जाती है:

$X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for t}}\geq 0.$

मॉडल का केंद्रीय उद्देश्य इस संभावना की जांच करना है कि बीमाकर्ता का अधिशेष स्तर अंततः शून्य से नीचे चला जाता है (फर्म को दिवालिया बना देता है)। यह मात्रा, जिसे अंतिम विनाश की संभावना कहा जाता है, निम्न रूप में परिभाषित किया गया है;

$\psi (x)=\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$

जहां विनाश का समय $\tau =\inf\{t>0\,:\,X(t)<0\}$ इस परिपाटी के साथ है कि $\inf \varnothing =\infty$। इसकी गणना स्पष्ट रूप से पोलाकज़ेक-खिंचाइन सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है (यहां विनष्ट फलन M/G/1 कतार में प्रतीक्षा समय के स्थिर वितरण के टेल फलन के बराबर है)

$\psi (x)=\left(1-{\frac {\lambda \mu }{c}}\right)\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\lambda \mu }{c}}\right)^{n}(1-F_{l}^{\ast n}(x))$

जहाँ $F_{l}$, $F$ के पुच्छ वितरण का रूपान्तरण है,

$F_{l}(x)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{x}\left(1-F(u)\right){\text{d}}u$

और $\cdot ^{\ast n}$, $n$-गुना कनवल्शन को दर्शाता है। ऐसी स्थिति में जहां सत्यापन आकार तीव्रता से वितरित किया जाता है, यह सरल हो जाता है:

$\psi (x)={\frac {\lambda \mu }{c}}e^{-\left({\frac {1}{\mu }}-{\frac {\lambda }{c}}\right)x}.$

स्पैरे एंडरसन मॉडल

ई. स्पैरे एंडरसन ने 1957 में मौलिक मॉडल का विस्तार किया, प्रमाण के अंतर-आगमन समय को इच्छानुसार ढंग से वितरण फलनों की अनुमति देकर।

$X_{t}=x+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i}\quad {\text{ for }}t\geq 0,$

जहां क्लेम नंबर की नवीनीकरण प्रक्रिया $(N_{t})_{t\geq 0}$ होती है, और $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।

मॉडल इसके अतिरिक्त मानता है कि $\xi _{i}>0$ लगभग निश्चित रूप से और वह $(N_{t})_{t\geq 0}$ और $(\xi _{i})_{i\in \mathbb {N} }$ स्वतंत्र हैं। इस मॉडल को नवीकरण संकट मॉडल के रूप में भी जाना जाता है।

अपेक्षित रियायती दंड फलन

माइकल आर पॉवर्स और गेरबर और शिउ अपेक्षित रियायती दंड फलन के माध्यम से बीमाकर्ता के अधिशेष के व्यवहार का विश्लेषण किया गया, जिसे सामान्यतः विनष्ट साहित्य में गेरबर-शिउ फलन के रूप में जाना जाता है और बीमांकिक वैज्ञानिकों एलियास एस.डब्ल्यू के नाम पर रखा गया है। शिउ और हंस-उलरिच गेरबर, यह बहस का विषय है कि क्या पॉवर्स के योगदान के कारण फलन को पॉवर्स-गेरबर-शिउ फलन कहा जाना चाहिए था।

माइकल आर. पॉवर्स के संकेतन में, इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है;

$m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }K_{\tau }]$,

जहाँ $\delta$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है, $K_{\tau }$ सामान्य दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को दर्शाता है और अपेक्षा $\mathbb {E} ^{x}$ संभाव्यता माप $\mathbb {P} ^{x}$ के अनुरूप है। फलन को पॉवर्स द्वारा दिवालियापन की अपेक्षित रियायती व्यय कहा जाता है।

गेरबर और शिउ के अंकन में, इसे इस प्रकार दिया गया है

$m(x)=\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau }w(X_{\tau -},X_{\tau })\mathbb {I} (\tau <\infty )]$,

जहाँ $\delta$ ब्याज की छूट देने वाली शक्ति है और $w(X_{\tau -},X_{\tau })$ दंड फलन है, जो विनाश के समय बीमाकर्ता की आर्थिक व्यय को कवर करता है (यह विनाश से पहले अधिशेष पर निर्भर माना जाता है) $X_{\tau -}$ और $X_{\tau }$ घाटा विनाश की ओर है), और अपेक्षा $\mathbb {E} ^{x}$ संभाव्यता माप $\mathbb {P} ^{x}$ के अनुरूप है। यहां सूचक फलन $\mathbb {I} (\tau <\infty )$ इस बात पर ध्यान देता है कि जुर्माना तभी लगाया जाता है जब विनाश होता है।

अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की व्याख्या करना अत्यधिक सहज है। चूंकि फलन $\tau$ पर होने वाले दंड के बीमांकिक वर्तमान मूल्य को मापता है, इसलिए दंड फलन को डिस्काउंटिंग कारक $e^{-\delta \tau }$ से गुणा किया जाता है, और फिर प्रतीक्षा समय $\tau$ की संभाव्यता वितरण पर औसत निकाला जाता है। जबकि गेरबर और शिउ इस फलन को मौलिक यौगिक-पॉइसन मॉडल पर प्रयुक्त किया, पॉवर्स ने तर्क दिया गया कि बीमाकर्ता का अधिशेष प्रसार प्रक्रियाओं के परिवार द्वारा उत्तम ढंग से तैयार किया गया है।

विनाश से संबंधित मात्राओं की विशाल विविधता है, जो अपेक्षित छूट वाले दंड फलन की श्रेणी में आती है।

विशेष स्थिति	गणितीय प्रतिनिधित्व	दंड फलन का चयन
अंतिम विनाश की संभावना	$\mathbb {P} ^{x}\{\tau <\infty \}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=1$
अधिशेष और घाटे का संयुक्त (दोषपूर्ण) वितरण	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}<x,X_{\tau }<y\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}<x,x_{2}<y)$
क्लेम का दोषपूर्ण वितरण विनाश का कारण बन रहा है	$\mathbb {P} ^{x}\{X_{\tau -}-X_{\tau }<z\}$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=\mathbb {I} (x_{1}+x_{2}<z)$
समय, अधिशेष और घाटे का त्रिवेरिएट लाप्लास परिवर्तन	$\mathbb {E} ^{x}[e^{-\delta \tau -sX_{\tau -}-zX_{\tau }}]$	$w(x_{1},x_{2})=e^{-sx_{1}-zx_{2}}$
अधिशेष और घाटे के संयुक्त क्षण	$\mathbb {E} ^{x}[X_{\tau -}^{j}X_{\tau }^{k}]$	$\delta =0,w(x_{1},x_{2})=x_{1}^{j}x_{2}^{k}$

अपेक्षित रियायती दंड फलन के वर्ग से संबंधित अन्य वित्त-संबंधित मात्राओं में स्थायी अमेरिकी पुट विकल्प सम्मिलित है, इष्टतम व्यायाम समय पर आकस्मिक प्रमाण, और भी बहुत कुछ।

हाल के घटनाक्रम

• निरंतर रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन संकट मॉडल
• स्टोकेस्टिक रुचि के साथ कंपाउंड-पॉइसन संकट मॉडल
• ब्राउनियन-मोशन संकट मॉडल
• सामान्य प्रसार-प्रक्रिया मॉडल
• मार्कोव-संग्राहक संकट मॉडल
• दुर्घटना संभाव्यता कारक (एपीएफ) कैलकुलेटर - संकट विश्लेषण मॉडल (@एसबीएच)

यह भी देखें

• वित्तीय संकट
• वोल्टेरा इंटीग्रल समीकरण अनुप्रयोग: रुइन सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Gerber, H.U. (1979). An Introduction to Mathematical Risk Theory. Philadelphia: S.S. Heubner Foundation Monograph Series 8.
• Asmussen S., Albrecher H. (2010). Ruin Probabilities, 2nd Edition. Singapore: World Scientific Publishing Co.