बोरेल माप

गणित में, विशेष रूप से माप (गणित) में, टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक बोरेल माप एक माप (गणित) है जिसे सभी खुले सेटों (और इस प्रकार सभी बोरेल सेटों पर) पर परिभाषित किया गया है। कुछ लेखकों को माप पर अतिरिक्त प्रतिबंधों की आवश्यकता होती है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

औपचारिक परिभाषा

होने देना $X$ एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान बनें, और रहने दें ${\mathfrak {B}}(X)$ सिग्मा-बीजगणित#उत्पन्न .CF.83-बीजगणित|सबसे छोटा σ-बीजगणित हो जिसमें खुले सेट हों $X$; इसे बोरेल सेट के σ-बीजगणित के रूप में जाना जाता है। बोरेल माप कोई भी माप है $\mu$ बोरेल सेट के σ-बीजगणित पर परिभाषित। कुछ लेखकों को इसके अतिरिक्त की आवश्यकता होती है $\mu$ स्थानीय रूप से परिमित माप है, जिसका अर्थ है $\mu (C)<\infty$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट के लिए $C$. यदि एक बोरेल माप $\mu$ आंतरिक नियमित और नियमित_माप#परिभाषा दोनों है, इसे बोरेल नियमित माप कहा जाता है। अगर $\mu$ आंतरिक नियमित, बाहरी नियमित और स्थानीय रूप से परिमित माप दोनों है, इसे रेडॉन माप कहा जाता है।

वास्तविक रेखा पर

असली लाइन $\mathbb {R}$ अपनी वास्तविक रेखा के साथ#एक टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस है; इसलिए हम इस पर बोरेल माप को परिभाषित कर सकते हैं। इस मामले में, ${\mathfrak {B}}(\mathbb {R} )$ सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें खुले अंतराल होते हैं $\mathbb {R}$. जबकि कई बोरेल माप μ हैं, बोरेल माप का विकल्प जो असाइन करता है $\mu ((a,b])=b-a$ प्रत्येक आधे खुले अंतराल के लिए $(a,b]$ इसे कभी-कभी बोरेल माप भी कहा जाता है $\mathbb {R}$. यह माप लेब्सेग माप के बोरेल σ-बीजगणित के लिए प्रतिबंध साबित होता है $\lambda$, जो एक पूर्ण माप है और लेब्सग्यू σ-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है। लेब्सग्यू σ-बीजगणित वास्तव में बोरेल σ-बीजगणित का समापन है, जिसका अर्थ है कि यह सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें सभी बोरेल सेट शामिल हैं और इसे पूर्ण माप से सुसज्जित किया जा सकता है। इसके अलावा, बोरेल माप और लेबेस्ग माप बोरेल सेट पर मेल खाते हैं (यानी, $\lambda (E)=\mu (E)$ प्रत्येक बोरेल मापने योग्य सेट के लिए, जहां $\mu$ ऊपर वर्णित बोरेल माप है)।

उत्पाद स्थान

यदि X और Y द्वितीय-गणनीय हैं, हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस, तो बोरेल उपसमुच्चय का समुच्चय $B(X\times Y)$ उनके उत्पाद का सेट के उत्पाद से मेल खाता है $B(X)\times B(Y)$ X और Y के बोरेल उपसमुच्चय। यानी बोरेल ऑपरेटर

$\mathbf {Bor} \colon \mathbf {Top} _{\mathrm {2CHaus} }\to \mathbf {Meas}$ द्वितीय-गणनीय हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी (गणित) से मापने योग्य स्थान की श्रेणी तक परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) को संरक्षित करता है।

अनुप्रयोग

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल

Main article: Lebesgue–Stieltjes integration

लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस इंटीग्रल, लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप के रूप में जाने जाने वाले माप के संबंध में सामान्य लेब्सग इंटीग्रल है, जो वास्तविक रेखा पर सीमित भिन्नता के किसी भी कार्य से जुड़ा हो सकता है। लेब्सग्यू-स्टिल्टजेस माप एक नियमित बोरेल माप है, और इसके विपरीत वास्तविक रेखा पर प्रत्येक नियमित बोरेल माप इस प्रकार का होता है।

लाप्लास परिवर्तन

Main article: Laplace transform

कोई लेब्सग एकीकरण द्वारा वास्तविक रेखा पर एक परिमित बोरेल माप μ के लाप्लास परिवर्तन को परिभाषित कर सकता है

$({\mathcal {L}}\mu )(s)=\int _{[0,\infty )}e^{-st}\,d\mu (t).$

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वह है जहां μ एक संभाव्यता माप है या, और भी अधिक विशेष रूप से, डिराक डेल्टा फ़ंक्शन है। परिचालन कलन में, किसी माप के लाप्लास परिवर्तन को अक्सर ऐसे माना जाता है मानो माप संचयी वितरण फ़ंक्शन f से आया हो। उस स्थिति में, संभावित भ्रम से बचने के लिए, व्यक्ति अक्सर लिखता है

$({\mathcal {L}}f)(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt$

जहां निचली सीमा 0 है⁻के लिए आशुलिपि संकेतन है

$\lim _{\varepsilon \downarrow 0}\int _{-\varepsilon }^{\infty }.$

यह सीमा इस बात पर जोर देती है कि 0 पर स्थित कोई भी बिंदु द्रव्यमान पूरी तरह से लाप्लास ट्रांसफॉर्म द्वारा कैप्चर किया जाता है। हालाँकि लेबेस्ग इंटीग्रल के साथ, ऐसी सीमा लेना आवश्यक नहीं है, यह लाप्लास-स्टिल्टजेस परिवर्तन के संबंध में अधिक स्वाभाविक रूप से प्रकट होता है।

हॉसडॉर्फ आयाम और फ्रॉस्टमैन की लेम्मा

Main articles: Hausdorff dimension and Frostman lemma

एक बोरेल माप μ को एक मीट्रिक स्थान X पर इस प्रकार दिया गया है कि μ(X) > 0 और μ(B(x, r)) ≤ r^s कुछ स्थिरांक s > 0 के लिए और X में प्रत्येक गेंद B(x, r) के लिए रखता है, तो हॉसडॉर्फ आयाम मंद होता है_Haus(एक्स) ≥ एस. फ्रॉस्टमैन लेम्मा द्वारा आंशिक बातचीत प्रदान की गई है: लेम्मा: मान लीजिए ए आर का एक बोरेल मापने योग्य उपसमुच्चय हैⁿ, और चलो s > 0. फिर निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• एच^s(A) > 0, जहां H^ss-आयामी हॉसडॉर्फ माप को दर्शाता है।
• एक (अहस्ताक्षरित) बोरेल माप μ है जो μ(A) > 0 को संतुष्ट करता है, और ऐसा है

$\mu (B(x,r))\leq r^{s}$ :सभी x ∈ 'R' के लिए मान्यⁿ और r > 0.

क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय

Main article: Cramér–Wold theorem

माप सिद्धांत में क्रैमर-वॉल्ड प्रमेय बताता है कि एक बोरेल संभाव्यता माप पर है $\mathbb {R} ^{k}$ अपने एक-आयामी प्रक्षेपणों की समग्रता से विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। इसका उपयोग संयुक्त अभिसरण परिणामों को सिद्ध करने की एक विधि के रूप में किया जाता है। प्रमेय का नाम हेराल्ड क्रैमर और हरमन ओले एंड्रियास वोल्ड के नाम पर रखा गया है।

अग्रिम पठन

• Gaussian measure, a finite-dimensional Borel measure
• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications. Vol. II., Second edition, New York: John Wiley & Sons, MR 0270403.
• J. D. Pryce (1973). Basic methods of functional analysis. Hutchinson University Library. Hutchinson. p. 217. ISBN 0-09-113411-0.
• Ransford, Thomas (1995). Potential theory in the complex plane. London Mathematical Society Student Texts. Vol. 28. Cambridge: Cambridge University Press. pp. 209–218. ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001.
• Teschl, Gerald, Topics in Real and Functional Analysis, (lecture notes)
• Wiener's lemma related

बाहरी संबंध

• Borel measure at Encyclopedia of Mathematics