बेल त्रिकोण
गणित में, बेल त्रिकोण पास्कल के त्रिकोण के समान संख्याओं का एक त्रिकोण है, जिसका मान एक समुच्चय के विभाजन की गणना करता है जिसमें एक दिया गया अवयव सबसे बड़ा सिंगलटन (गणित) होता है। इसका नाम बेल नंबर से इसके घनिष्ठ संबंध के कारण रखा गया है,[1] जो त्रिभुज के दोनों किनारों पर पाए जा सकते हैं, और जिनका नाम एरिक टेम्पल बेल के नाम पर रखा गया है। बेल त्रिकोण की प्रारंभ कई लेखकों द्वारा स्वतंत्र रूप से की गई है चार्ल्स सैंडर्स पियर्स (1880) और भी सम्मिलित है अलेक्जेंडर ऐटकेन (1933) और Cohn et al. (1962), और इसी कारण से इसे ऐटकेन सरणी या पियर्स त्रिकोण भी कहा गया है।[2]
मान
अलग-अलग स्रोत अलग-अलग दिशाओं में एक ही त्रिभुज देते हैं, कुछ एक-दूसरे से विपरीत होते हैं।[3] पास्कल के त्रिकोण के समान प्रारूप में, और पूर्णांक अनुक्रमों के ऑनलाइन विश्वकोश में सूचीबद्ध क्रम में, इसकी पहली कुछ पंक्तियाँ हैं:[2]
1
1 2
2 3 5
5 7 10 15
15 20 27 37 52
52 67 87 114 151 203
203 255 322 409 523 674 877
निर्माण
बेल त्रिकोण का निर्माण संख्या 1 को उसके पहले स्थान पर रखकर किया जा सकता है। उस प्लेसमेंट के बाद, त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाएँ मान को पिछली पंक्ति में सबसे दाएँ मान की प्रतिलिपि बनाकर भरा जाता है। प्रत्येक पंक्ति में शेष स्थान पास्कल के त्रिकोण के समान नियम से भरे जाते हैं: वे स्थिति के बाईं ओर और ऊपरी बाईं ओर के दो मानों का योग होते हैं।
इस प्रकार, शीर्ष पंक्ति में नंबर 1 के प्रारंभिक स्थान के बाद, यह उसकी पंक्ति में अंतिम स्थान है और अगली पंक्ति में सबसे बाईं स्थिति में कॉपी किया जाता है। त्रिभुज में तीसरा मान, 2, इसके ऊपर-बाएँ और बाएँ दो पिछले मानों का योग है। इसकी पंक्ति में अंतिम मान के रूप में, 2 को तीसरी पंक्ति में कॉपी किया जाता है, और प्रक्रिया उसी तरह प्रसारित रहती है।
संयुक्त व्याख्या
त्रिभुज के बाएँ और दाएँ पक्षों पर बेल संख्याएँ स्वयं, एक परिमित सेट को उपसमुच्चयों में विभाजित करने के विधियों की संख्या, या समकक्ष रूप से सेट पर समतुल्य संबंधों की संख्या की गणना करती हैं। Sun & Wu (2011) त्रिभुज में प्रत्येक मान की निम्नलिखित संयुक्त व्याख्या प्रदान करता है। Sun & Wuके बाद,An,k उस मान को दर्शाता है जो त्रिभुज की nवीं पंक्ति में बाईं ओर से k स्थिति है, जिसमें त्रिभुज के शीर्ष को A1,1 के रूप में क्रमांकित किया गया है। फिर An,kसेट के विभाजनों की संख्या की गणना करता है {1,2,...,n+1} जिसमें अवयव k+1 इसके समुच्चय का एकमात्र अवयव है और प्रत्येक उच्च संख्या वाला अवयव एक से अधिक तत्वों के समुच्चय में है अर्थात्, k+1 विभाजन का सबसे बड़ा सिंगलटन (गणित) होना चाहिए।
उदाहरण के लिए, त्रिभुज की तीसरी पंक्ति के मध्य में संख्या 3 को, उनके अंकन में, A3,2, के रूप में लेबल किया जाएगा। और {1, 2, 3, 4} के विभाजनों की संख्या की गणना करता है जिसमें 3 सबसे बड़ा सिंगलटन अवयव है। ऐसे तीन विभाजन हैं:
- {1}, {2, 4}, {3}
- {1, 4}, {2}, {3}
- {1, 2, 4}, {3}.
इन चार तत्वों के शेष विभाजनों में या तो समुच्चय में 3 नहीं हैं, या उनके पास एक बड़ा सिंगलटन समुच्चय {4} है, और किसी भी स्थिति में A3,2. में नहीं गिना जाता है.
उसी संकेतन में, Sun & Wu (2011) त्रिभुज को संख्याओं के अन्य मानों के बाईं ओर एक और विकर्ण के साथ बढ़ाएं गए है
n + 1 आइटमों के एक ही समुच्चय के विभाजनों की गिनती करना जिसमें केवल पहला आइटम एक सिंगलटन है। उनका संवर्धित त्रिभुज है[[4]
0 1
1 1 2
1 2 3 5
4 5 7 10 15
11 15 20 27 37 52
41 52 67 87 114 151 203
162 203 255 322 409 523 674 877
इस त्रिभुज का निर्माण बेल के त्रिभुज के मूल संस्करण के समान किया जा सकता है, किंतु प्रत्येक पंक्ति को प्रारंभ करने के लिए एक अलग नियम के साथ: प्रत्येक पंक्ति में सबसे बाईं ओर का मान पिछली पंक्ति के सबसे दाईं ओर और सबसे बाईं ओर के मानों का अंतर है।
उसी संवर्धित त्रिभुज में संख्याओं की एक वैकल्पिक किंतु अधिक तकनीकी व्याख्या दी गई है Quaintance & Kwong (2013).
विकर्ण और पंक्ति योग
बेल त्रिकोण के सबसे बाएं और सबसे दाएं विकर्णों में बेल संख्याओं का क्रम 1, 1, 2, 5, 15, 52, ... होता है (सबसे दाएं विकर्ण के स्थिति में प्रारंभिक अवयव विलुप्त है)। सबसे दाहिने विकर्ण के समानांतर अगला विकर्ण दो निरंतर बेल संख्याओं, 1, 3, 10, 37, ... के परिमित अंतर का क्रम देता है, और प्रत्येक बाद के समानांतर विकर्ण पिछले विकर्णों के अंतर का क्रम देता है।
इस प्रकार, जैसे Aitken (1933) देखा गया, इस त्रिभुज की व्याख्या न्यूटन बहुपद या ग्रेगरी-न्यूटन प्रक्षेप सूत्र को प्रयुक्त करने के रूप में की जा सकती है, जो क्रमिक अंतरों का उपयोग करके निरंतर पूर्णांकों पर इसके मानों के अनुक्रम से एक बहुपद के गुणांकों का पता लगाता है। यह सूत्र निकटता से एक पुनरावृत्ति संबंध जैसा दिखता है जिसका उपयोग बेल संख्याओं को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।
त्रिभुज की प्रत्येक पंक्ति का योग, 1, 3, 10, 37, ..., त्रिभुज के दाएँ से दूसरे विकर्ण में दिखाई देने वाले पहले अंतरों का समान क्रम है।[5] इस क्रम में nवीं संख्या n तत्वों के उपसमुच्चयों में विभाजन की संख्या को भी गिनती है, जहां एक उपसमुच्चय को अन्य से अलग किया जाता है; उदाहरण के लिए, तीन वस्तुओं को उपसमुच्चयों में विभाजित करने और फिर उनमें से एक उपसमुच्चय चुनने के 10 विधि हैं।[6]
संबंधित निर्माण
संख्याओं का एक अलग त्रिकोण, जिसमें केवल एक तरफ बेल नंबर होते हैं, और प्रत्येक संख्या को पिछली पंक्ति में पास की संख्याओं के भारित योग के रूप में निर्धारित किया जाता है, द्वारा वर्णित किया गया था Aigner (1999).
टिप्पणियाँ
- ↑ According to Gardner (1978), this name was suggested by Jeffrey Shallit, whose paper about the same triangle was later published as Shallit (1980). Shallit in turn credits Cohn et al. (1962) for the definition of the triangle, but Cohn et al. did not name the triangle.
- ↑ 2.0 2.1 Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A011971 (Aitken's array)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ↑ For instance, Gardner (1978) shows two orientations, both different from the one here.
- ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A106436". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ↑ Gardner (1978).
- ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A005493". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation..
संदर्भ
- Aigner, Martin (1999), "A characterization of the Bell numbers", Discrete Mathematics, 205 (1–3): 207–210, doi:10.1016/S0012-365X(99)00108-9, MR 1703260.
- Aitken, A. C. (1933), "A problem in combinations", Mathematical Notes, 28: 18–23, doi:10.1017/S1757748900002334.
- Cohn, Martin; Even, Shimon; Menger, Karl, Jr.; Hooper, Philip K. (1962), "Mathematical Notes: On the number of partitionings of a set of n distinct objects", American Mathematical Monthly, 69 (8): 782–785, doi:10.2307/2310780, JSTOR 2310780, MR 1531841
{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link). - Gardner, Martin (1978), "The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes", Scientific American, 238: 24–30, Bibcode:1978SciAm.238e..24G, doi:10.1038/scientificamerican0578-24. Reprinted with an addendum as "The Tinkly Temple Bells", Chapter 2 of Fractal Music, Hypercards, and more ... Mathematical Recreations from Scientific American, W. H. Freeman, 1992, pp. 24–38.
- Peirce, C. S. (1880), "On the algebra of logic", American Journal of Mathematics, 3 (1): 15–57, doi:10.2307/2369442, JSTOR 2369442. The triangle is on p. 48.
- Quaintance, Jocelyn; Kwong, Harris (2013), "A combinatorial interpretation of the Catalan and Bell number difference tables" (PDF), Integers, 13: A29.
- Shallit, Jeffrey (1980), "A triangle for the Bell numbers", A collection of manuscripts related to the Fibonacci sequence (PDF), Santa Clara, Calif.: Fibonacci Association, pp. 69–71, MR 0624091.
- Sun, Yidong; Wu, Xiaojuan (2011), "The largest singletons of set partitions", European Journal of Combinatorics, 32 (3): 369–382, arXiv:1007.1341, doi:10.1016/j.ejc.2010.10.011, MR 2764800, S2CID 30627275.
