गाऊसी द्विपद गुणांक

गणित में, गॉसियन द्विपद गुणांक (जिसे गॉसियन गुणांक, गॉसियन बहुपद, या q-द्विपद गुणांक भी कहा जाता है) q-एनालॉग|q-द्विपद गुणांक के एनालॉग हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक, के रूप में लिखा गया है ${\binom {n}{k}}_{q}$ या ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}$, पूर्णांक गुणांक के साथ q में एक बहुपद है, जिसका मान जब q को एक अभाज्य शक्ति पर सेट किया जाता है, तो आयाम n के वेक्टर स्थान में आयाम k के उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है $\mathbb {F} _{q}$, क्यू तत्वों के साथ एक सीमित क्षेत्र; यानी यह परिमित ग्रासमैनियन में अंकों की संख्या है $\mathrm {Gr} (k,\mathbb {F} _{q}^{n})$.

परिभाषा

गाऊसी द्विपद गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

${m \choose r}_{q}={\frac {(1-q^{m})(1-q^{m-1})\cdots (1-q^{m-r+1})}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}$

जहाँ m और r गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अगर r > m, इसका मूल्यांकन 0 है r = 0, मान 1 है क्योंकि अंश और हर दोनों खाली उत्पाद हैं।

हालाँकि शुरुआत में सूत्र एक तर्कसंगत कार्य प्रतीत होता है, यह वास्तव में एक बहुपद है, क्योंकि विभाजन Z[q] में सटीक है

अंश और हर के सभी गुणनखंड इससे विभाज्य हैं 1 − q, और भागफल Q-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरण|q-संख्या है:

$[k]_{q}=\sum _{0\leq i<k}q^{i}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{k-1}={\begin{cases}{\frac {1-q^{k}}{1-q}}&{\text{for}}&q\neq 1\\k&{\text{for}}&q=1\end{cases}},$

इन कारकों को विभाजित करने पर समतुल्य सूत्र प्राप्त होता है

${m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}[m-1]_{q}\cdots [m-r+1]_{q}}{[1]_{q}[2]_{q}\cdots [r]_{q}}}\quad (r\leq m).$

क्यू-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरणों के संदर्भ में $[n]_{q}!=[1]_{q}[2]_{q}\cdots [n]_{q}$, सूत्र को इस प्रकार कहा जा सकता है

${m \choose r}_{q}={\frac {[m]_{q}!}{[r]_{q}!\,[m-r]_{q}!}}\quad (r\leq m).$

स्थानापन्न q = 1 में ${\tbinom {m}{r}}_{q}$ साधारण द्विपद गुणांक देता है ${\tbinom {m}{r}}$.

गॉसियन द्विपद गुणांक के मान सीमित होते हैं $m\rightarrow \infty$:

${\infty \choose r}_{q}=\lim _{m\rightarrow \infty }{m \choose r}_{q}={\frac {1}{(1-q)(1-q^{2})\cdots (1-q^{r})}}={\frac {1}{[r]_{q}!\,(1-q)^{r}}}$

उदाहरण

${0 \choose 0}_{q}={1 \choose 0}_{q}=1$

${1 \choose 1}_{q}={\frac {1-q}{1-q}}=1$

${2 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{2}}{1-q}}=1+q$

${3 \choose 1}_{q}={\frac {1-q^{3}}{1-q}}=1+q+q^{2}$

${3 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{3})(1-q^{2})}{(1-q)(1-q^{2})}}=1+q+q^{2}$

${4 \choose 2}_{q}={\frac {(1-q^{4})(1-q^{3})}{(1-q)(1-q^{2})}}=(1+q^{2})(1+q+q^{2})=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}$

${6 \choose 3}_{q}={\frac {(1-q^{6})(1-q^{5})(1-q^{4})}{(1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})}}=(1+q^{2})(1+q^{3})(1+q+q^{2}+q^{3}+q^{4})=1+q+2q^{2}+3q^{3}+3q^{4}+3q^{5}+3q^{6}+2q^{7}+q^{8}+q^{9}$

संयुक्त विवरण

विपरीत

गॉसियन द्विपद गुणांकों के एक संयुक्त विवरण में व्युत्क्रम (असतत गणित) शामिल है।

साधारण द्विपद गुणांक ${\tbinom {m}{r}}$ गिनती करता है r-ए से चुने गए संयोजन m-तत्व सेट. यदि कोई उन्हें लेता है m तत्व लंबाई के एक शब्द में विभिन्न वर्ण स्थिति होते हैं m, फिर प्रत्येक r-संयोजन लंबाई के एक शब्द से मेल खाता है m दो अक्षरों की वर्णमाला का उपयोग करते हुए, मान लीजिए {0,1}, साथ r पत्र 1 की प्रतियां (चयनित संयोजन में पदों का संकेत) और m − rअक्षर 0 (शेष पदों के लिए)।

तो, उदाहरण के लिए, ${4 \choose 2}=6$ 0 और 1 का प्रयोग करने वाले शब्द हैं $0011,0101,0110,1001,1010,1100$.

गाऊसी द्विपद गुणांक प्राप्त करने के लिए ${\tbinom {m}{r}}_{q}$, प्रत्येक शब्द एक कारक से जुड़ा है q^d, कहाँ d शब्द के व्युत्क्रमों की संख्या है, जहां, इस मामले में, व्युत्क्रम स्थितियों की एक जोड़ी है जहां जोड़ी के बाईं ओर अक्षर 1 होता है और दाईं ओर अक्षर 0 होता है।

उपरोक्त उदाहरण के साथ, 0 व्युत्क्रम वाला एक शब्द है, $0011$, 1 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द, $0101$, दो व्युत्क्रम वाले दो शब्द, $0110$, $1001$, 3 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, $1010$, और 4 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, $1100$. यह प्रारंभिक स्थिति से 1s की बाईं-शिफ्ट की संख्या भी है।

ये गुणांकों के अनुरूप हैं ${4 \choose 2}_{q}=1+q+2q^{2}+q^{3}+q^{4}$.

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक शब्द को ऊंचाई के साथ एक आयताकार ग्रिड के पार पथ के साथ जोड़ा जाए r और चौड़ाई m − r, निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जा रहा हूँ। पथ प्रत्येक 0 के लिए एक कदम दाएं और प्रत्येक 1 के लिए एक कदम ऊपर लेता है। एक व्युत्क्रमण एक चरण की दिशाओं को बदल देता है (दाएं+ऊपर ऊपर+दाएं हो जाता है और इसके विपरीत), इसलिए व्युत्क्रमों की संख्या पथ के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है।

डिब्बे में गेंदें

होने देना $B(n,m,r)$ फेंकने के तरीकों की संख्या हो $r$ अविभाज्य गेंदों में $m$ अविभाज्य डिब्बे, जहां प्रत्येक डिब्बे में तक हो सकता है $n$ गेंदें. गॉसियन द्विपद गुणांक का उपयोग लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है $B(n,m,r)$. वास्तव में,

$B(n,m,r)=[q^{r}]{n+m \choose m}_{q}.$

कहाँ $[q^{r}]P$ के गुणांक को दर्शाता है $q^{r}$ बहुपद में $P$ (नीचे एप्लिकेशन अनुभाग भी देखें)।

गुण

प्रतिबिंब

सामान्य द्विपद गुणांकों की तरह, गाऊसी द्विपद गुणांक केंद्र-सममित होते हैं, अर्थात, प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं $r\rightarrow m-r$:

${m \choose r}_{q}={m \choose m-r}_{q}.$

विशेष रूप से,

${m \choose 0}_{q}={m \choose m}_{q}=1\,,$

${m \choose 1}_{q}={m \choose m-1}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q}}=1+q+\cdots +q^{m-1}\quad m\geq 1\,.$

q पर सीमा = 1

गाऊसी द्विपद गुणांक का मूल्यांकन q = 1 है

$\lim _{q\to 1}{\binom {m}{r}}_{q}={\binom {m}{r}}$

यानी गुणांकों का योग संगत द्विपद मान देता है।

बहुपद की डिग्री

की डिग्री ${\binom {m}{r}}_{q}$ है ${\binom {m+1}{2}}-2{\binom {r+1}{2}}$.

क्यू पहचान

पास्कल की पहचान के अनुरूप

गाऊसी द्विपद गुणांक के लिए पास्कल की पहचान के अनुरूप हैं:

${m \choose r}_{q}=q^{r}{m-1 \choose r}_{q}+{m-1 \choose r-1}_{q}$

और

${m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}.$

कब $q=1$, ये दोनों सामान्य द्विपद पहचान देते हैं। हम इसे ऐसे देख सकते हैं $m\to \infty$, दोनों समीकरण वैध रहते हैं।

पहला पास्कल एनालॉग प्रारंभिक मानों का उपयोग करके गॉसियन द्विपद गुणांक की पुनरावर्ती (एम के संबंध में) गणना की अनुमति देता है

${m \choose m}_{q}={m \choose 0}_{q}=1$

और यह भी दर्शाता है कि गॉसियन द्विपद गुणांक वास्तव में बहुपद (क्यू में) हैं।

दूसरा पास्कल एनालॉग प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए पहले से अनुसरण करता है $r\rightarrow m-r$ और प्रतिबिंब के तहत गाऊसी द्विपद गुणांक का अपरिवर्तनीयता $r\rightarrow m-r$.

इन सर्वसमिकाओं की रैखिक बीजगणित के संदर्भ में स्वाभाविक व्याख्याएँ हैं। याद करें कि ${\tbinom {m}{r}}_{q}$ आर-आयामी उप-स्थानों की गणना करता है $V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}$, और जाने $\pi :\mathbb {F} _{q}^{m}\to \mathbb {F} _{q}^{m-1}$ एक-आयामी नलस्पेस के साथ एक प्रक्षेपण बनें $E_{1}$. पहली पहचान उस आक्षेप से आती है जो लेता है $V\subset \mathbb {F} _{q}^{m}$ उपस्थान के लिए $V'=\pi (V)\subset \mathbb {F} _{q}^{m-1}$; यदि $E_{1}\not \subset V$, अंतरिक्ष $V'$ आर-आयामी है, और हमें रैखिक फ़ंक्शन का भी ध्यान रखना चाहिए $\phi :V'\to E_{1}$ जिसका ग्राफ है $V$; लेकिन मामले में $E_{1}\subset V$, अंतरिक्ष $V'$ (r−1)-आयामी है, और हम पुनर्निर्माण कर सकते हैं $V=\pi ^{-1}(V')$ बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के. दूसरी पहचान की भी ऐसी ही व्याख्या है, लेना $V$ को $V'=V\cap E_{n-1}$ (m−1)-आयामी स्थान के लिए $E_{m-1}$, फिर से दो मामलों में विभाजित।

एनालॉग के प्रमाण

दोनों एनालॉग्स को पहले उस परिभाषा से नोट करके सिद्ध किया जा सकता है ${\tbinom {m}{r}}_{q}$, अपने पास:

${\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}$

(1)

${\binom {m}{r}}_{q}={\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}{\binom {m-1}{r-1}}_{q}$

(2)

${\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}={\binom {m-1}{r-1}}_{q}$

(3)

जैसा

${\frac {1-q^{m}}{1-q^{m-r}}}={\frac {1-q^{r}+q^{r}-q^{m}}{1-q^{m-r}}}=q^{r}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}$

समीकरण (1) बन जाता है:

${\binom {m}{r}}_{q}=q^{r}{\binom {m-1}{r}}_{q}+{\frac {1-q^{r}}{1-q^{m-r}}}{\binom {m-1}{r}}_{q}$

और समीकरण प्रतिस्थापित करना (3) पहला एनालॉग देता है।

एक समान प्रक्रिया, का उपयोग कर

${\frac {1-q^{m}}{1-q^{r}}}=q^{m-r}+{\frac {1-q^{m-r}}{1-q^{r}}}$

इसके बजाय, दूसरा एनालॉग देता है।

q-द्विपद प्रमेय

क्यू-द्विपद गुणांक के लिए द्विपद प्रमेय का एक एनालॉग है, जिसे कॉची द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है:

$\prod _{k=0}^{n-1}(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{n}q^{k(k-1)/2}{n \choose k}_{q}t^{k}.$

सामान्य द्विपद प्रमेय की तरह, इस सूत्र में कई सामान्यीकरण और विस्तार हैं; ऐसा ही एक, नकारात्मक शक्तियों के लिए न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के अनुरूप है

$\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{n+k-1 \choose k}_{q}t^{k}.$

सीमा में $n\rightarrow \infty$, ये सूत्र उपज देते हैं

$\prod _{k=0}^{\infty }(1+q^{k}t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k(k-1)/2}t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}$

और

$\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1-q^{k}t}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {t^{k}}{[k]_{q}!\,(1-q)^{k}}}$.

सेटिंग $t=q$ क्रमशः विशिष्ट और किसी भी भाग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन देता है। (बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला भी देखें।)

केंद्रीय q-द्विपद पहचान

सामान्य द्विपद गुणांकों के साथ, हमारे पास है:

$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}^{2}={\binom {2n}{n}}$

क्यू-द्विपद गुणांक के साथ, एनालॉग है:

$\sum _{k=0}^{n}q^{k^{2}}{\binom {n}{k}}_{q}^{2}={\binom {2n}{n}}_{q}$

अनुप्रयोग

गाऊसी द्विपद गुणांक सममित बहुपदों की गिनती और विभाजन के सिद्धांत (संख्या सिद्धांत) में होते हैं। q का गुणांक^रमें

${n+m \choose m}_{q}$

m या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक n से कम या उसके बराबर है। समान रूप से, यह n या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या भी है, जिनमें से प्रत्येक भाग m से कम या उसके बराबर है।

गाऊसी द्विपद गुणांक भी एक परिमित क्षेत्र पर परिभाषित प्रक्षेप्य स्थानों के गणनात्मक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमित क्षेत्र F के लिए_q क्यू तत्वों के साथ, गाऊसी द्विपद गुणांक

${n \choose k}_{q}$

F पर n-आयामी सदिश स्थल के k-आयामी वेक्टर उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है_q (एक ग्रासमैनियन)। जब q में एक बहुपद के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो यह शूबर्ट कोशिकाओं में ग्रासमैनियन के प्रसिद्ध अपघटन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, गाऊसी द्विपद गुणांक

${n \choose 1}_{q}=1+q+q^{2}+\cdots +q^{n-1}$

(एफ) में एक-आयामी उप-स्थानों की संख्या है_q)ⁿ (समकक्ष रूप से, संबंधित प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की संख्या)। इसके अलावा, जब q 1 (क्रमशः −1) होता है, तो गॉसियन द्विपद गुणांक संबंधित कॉम्प्लेक्स (क्रमशः वास्तविक) ग्रासमैनियन की यूलर विशेषता उत्पन्न करता है।

F के k-आयामी एफ़िन उप-स्थानों की संख्या_qⁿके बराबर है

$q^{n-k}{n \choose k}_{q}$.

यह पहचान की एक और व्याख्या की अनुमति देता है

${m \choose r}_{q}={m-1 \choose r}_{q}+q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_{q}$

एक हाइपरप्लेन को ठीक करके (आर - 1)-आयामी प्रक्षेप्य स्थान के (आर - 1)-आयामी उप-स्थानों की गिनती करना, उस हाइपरप्लेन में निहित ऐसे उप-स्थानों की गिनती करना, और फिर हाइपरप्लेन में शामिल नहीं होने वाले उप-स्थानों की गिनती करना; ये बाद वाले उप-स्थान इस निश्चित हाइपरप्लेन को अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में मानकर प्राप्त किए गए स्थान के (आर - 1)-आयामी एफ़िन उप-स्थान के साथ विशेषण पत्राचार में हैं।

क्वांटम समूहों के अनुप्रयोगों में आम सम्मेलनों में, थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है; वहाँ क्वांटम द्विपद गुणांक है

$q^{k^{2}-nk}{n \choose k}_{q^{2}}$.

क्वांटम द्विपद गुणांक का यह संस्करण विनिमय के तहत सममित है $q$ और $q^{-1}$.

संदर्भ

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