गाऊसी द्विपद गुणांक

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गणित में, गॉसियन द्विपद गुणांक (जिसे गॉसियन गुणांक, गॉसियन बहुपद, या q-द्विपद गुणांक भी कहा जाता है) q-एनालॉग|q-द्विपद गुणांक के एनालॉग हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक, के रूप में लिखा गया है या , पूर्णांक गुणांक के साथ q में बहुपद है, जिसका मान जब q को अभाज्य शक्ति पर सेट किया जाता है, तो आयाम n के वेक्टर स्थान में आयाम k के उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है , क्यू तत्वों के साथ सीमित क्षेत्र; यानी यह परिमित ग्रासमैनियन में अंकों की संख्या है .

परिभाषा

गाऊसी द्विपद गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:[1]

जहाँ m और r गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अगर r > m, इसका मूल्यांकन 0 है r = 0, मान 1 है क्योंकि अंश और हर दोनों खाली उत्पाद हैं।

हालाँकि शुरुआत में सूत्र तर्कसंगत कार्य प्रतीत होता है, यह वास्तव में बहुपद है, क्योंकि विभाजन Z[q] में सटीक है

अंश और हर के सभी गुणनखंड इससे विभाज्य हैं 1 − q, और भागफल Q-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरण|q-संख्या है:

इन कारकों को विभाजित करने पर समतुल्य सूत्र प्राप्त होता है

क्यू-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरणों के संदर्भ में , सूत्र को इस प्रकार कहा जा सकता है

स्थानापन्न q = 1 में साधारण द्विपद गुणांक देता है .

गॉसियन द्विपद गुणांक के मान सीमित होते हैं :

उदाहरण

संयुक्त विवरण

विपरीत

गॉसियन द्विपद गुणांकों के संयुक्त विवरण में व्युत्क्रम (असतत गणित) शामिल है।

साधारण द्विपद गुणांक गिनती करता है r-ए से चुने गए संयोजन m-तत्व सेट. यदि कोई उन्हें लेता है m तत्व लंबाई के शब्द में विभिन्न वर्ण स्थिति होते हैं m, फिर प्रत्येक r-संयोजन लंबाई के शब्द से मेल खाता है m दो अक्षरों की वर्णमाला का उपयोग करते हुए, मान लीजिए {0,1}, साथ r पत्र 1 की प्रतियां (चयनित संयोजन में पदों का संकेत) और mrअक्षर 0 (शेष पदों के लिए)।

तो, उदाहरण के लिए, 0 और 1 का प्रयोग करने वाले शब्द हैं .

गाऊसी द्विपद गुणांक प्राप्त करने के लिए , प्रत्येक शब्द कारक से जुड़ा है qd, कहाँ d शब्द के व्युत्क्रमों की संख्या है, जहां, इस मामले में, व्युत्क्रम स्थितियों की जोड़ी है जहां जोड़ी के बाईं ओर अक्षर 1 होता है और दाईं ओर अक्षर 0 होता है।

उपरोक्त उदाहरण के साथ, 0 व्युत्क्रम वाला शब्द है, , 1 व्युत्क्रम के साथ शब्द, , दो व्युत्क्रम वाले दो शब्द, , , 3 व्युत्क्रमों वाला शब्द, , और 4 व्युत्क्रमों वाला शब्द, . यह प्रारंभिक स्थिति से 1s की बाईं-शिफ्ट की संख्या भी है।

ये गुणांकों के अनुरूप हैं .

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक शब्द को ऊंचाई के साथ आयताकार ग्रिड के पार पथ के साथ जोड़ा जाए r और चौड़ाई mr, निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जा रहा हूँ। पथ प्रत्येक 0 के लिए कदम दाएं और प्रत्येक 1 के लिए कदम ऊपर लेता है। व्युत्क्रमण चरण की दिशाओं को बदल देता है (दाएं+ऊपर ऊपर+दाएं हो जाता है और इसके विपरीत), इसलिए व्युत्क्रमों की संख्या पथ के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है।

डिब्बे में गेंदें

होने देना फेंकने के तरीकों की संख्या हो अविभाज्य गेंदों में अविभाज्य डिब्बे, जहां प्रत्येक डिब्बे में तक हो सकता है गेंदें. गॉसियन द्विपद गुणांक का उपयोग लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है . वास्तव में,

कहाँ के गुणांक को दर्शाता है बहुपद में (नीचे एप्लिकेशन अनुभाग भी देखें)।

गुण

प्रतिबिंब

सामान्य द्विपद गुणांकों की तरह, गाऊसी द्विपद गुणांक केंद्र-सममित होते हैं, अर्थात, प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं :

विशेष रूप से,


q पर सीमा = 1

गाऊसी द्विपद गुणांक का मूल्यांकन q = 1 है

यानी गुणांकों का योग संगत द्विपद मान देता है।

बहुपद की डिग्री

की डिग्री है .

क्यू पहचान

पास्कल की पहचान के अनुरूप

गाऊसी द्विपद गुणांक के लिए पास्कल की पहचान के अनुरूप हैं:[2]

और

कब , ये दोनों सामान्य द्विपद पहचान देते हैं। हम इसे ऐसे देख सकते हैं , दोनों समीकरण वैध रहते हैं।

पहला पास्कल एनालॉग प्रारंभिक मानों का उपयोग करके गॉसियन द्विपद गुणांक की पुनरावर्ती (एम के संबंध में) गणना की अनुमति देता है

और यह भी दर्शाता है कि गॉसियन द्विपद गुणांक वास्तव में बहुपद (क्यू में) हैं।

दूसरा पास्कल एनालॉग प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए पहले से अनुसरण करता है और प्रतिबिंब के तहत गाऊसी द्विपद गुणांक का अपरिवर्तनीयता .

इन सर्वसमिकाओं की रैखिक बीजगणित के संदर्भ में स्वाभाविक व्याख्याएँ हैं। याद करें कि आर-आयामी उप-स्थानों की गणना करता है , और जाने एक-आयामी नलस्पेस के साथ प्रक्षेपण बनें . पहली पहचान उस आक्षेप से आती है जो लेता है उपस्थान के लिए ; यदि , अंतरिक्ष आर-आयामी है, और हमें रैखिक फ़ंक्शन का भी ध्यान रखना चाहिए जिसका ग्राफ है ; लेकिन मामले में , अंतरिक्ष (r−1)-आयामी है, और हम पुनर्निर्माण कर सकते हैं बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के. दूसरी पहचान की भी ऐसी ही व्याख्या है, लेना को (m−1)-आयामी स्थान के लिए , फिर से दो मामलों में विभाजित।

एनालॉग के प्रमाण

दोनों एनालॉग्स को पहले उस परिभाषा से नोट करके सिद्ध किया जा सकता है , अपने पास:

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

(3)

जैसा

समीकरण (1) बन जाता है:

और समीकरण प्रतिस्थापित करना (3) पहला एनालॉग देता है।

एक समान प्रक्रिया, का उपयोग कर

इसके बजाय, दूसरा एनालॉग देता है।

q-द्विपद प्रमेय

क्यू-द्विपद गुणांक के लिए द्विपद प्रमेय का एनालॉग है, जिसे कॉची द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है:

सामान्य द्विपद प्रमेय की तरह, इस सूत्र में कई सामान्यीकरण और विस्तार हैं; ऐसा ही एक, नकारात्मक शक्तियों के लिए न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के अनुरूप है

सीमा में , ये सूत्र उपज देते हैं

और

.

सेटिंग क्रमशः विशिष्ट और किसी भी भाग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन देता है। (बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला भी देखें।)

केंद्रीय q-द्विपद पहचान

सामान्य द्विपद गुणांकों के साथ, हमारे पास है:

क्यू-द्विपद गुणांक के साथ, एनालॉग है:


अनुप्रयोग

गाऊसी द्विपद गुणांक सममित बहुपदों की गिनती और विभाजन के सिद्धांत (संख्या सिद्धांत) में होते हैं। q का गुणांकमें

m या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक n से कम या उसके बराबर है। समान रूप से, यह n या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या भी है, जिनमें से प्रत्येक भाग m से कम या उसके बराबर है।

गाऊसी द्विपद गुणांक भी परिमित क्षेत्र पर परिभाषित प्रक्षेप्य स्थानों के गणनात्मक सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमित क्षेत्र F के लिएq क्यू तत्वों के साथ, गाऊसी द्विपद गुणांक

F पर n-आयामी सदिश स्थल के k-आयामी वेक्टर उप-स्थानों की संख्या की गणना करता हैq (एक ग्रासमैनियन)। जब q में बहुपद के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो यह शूबर्ट कोशिकाओं में ग्रासमैनियन के प्रसिद्ध अपघटन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, गाऊसी द्विपद गुणांक

(एफ) में एक-आयामी उप-स्थानों की संख्या हैq)n (समकक्ष रूप से, संबंधित प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की संख्या)। इसके अलावा, जब q 1 (क्रमशः −1) होता है, तो गॉसियन द्विपद गुणांक संबंधित कॉम्प्लेक्स (क्रमशः वास्तविक) ग्रासमैनियन की यूलर विशेषता उत्पन्न करता है।

F के k-आयामी एफ़िन उप-स्थानों की संख्याqnके बराबर है

.

यह पहचान की और व्याख्या की अनुमति देता है

एक हाइपरप्लेन को ठीक करके (आर - 1)-आयामी प्रक्षेप्य स्थान के (आर - 1)-आयामी उप-स्थानों की गिनती करना, उस हाइपरप्लेन में निहित ऐसे उप-स्थानों की गिनती करना, और फिर हाइपरप्लेन में शामिल नहीं होने वाले उप-स्थानों की गिनती करना; ये बाद वाले उप-स्थान इस निश्चित हाइपरप्लेन को अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में मानकर प्राप्त किए गए स्थान के (आर - 1)-आयामी एफ़िन उप-स्थान के साथ विशेषण पत्राचार में हैं।

क्वांटम समूहों के अनुप्रयोगों में आम सम्मेलनों में, थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है; वहाँ क्वांटम द्विपद गुणांक है

.

क्वांटम द्विपद गुणांक का यह संस्करण विनिमय के तहत सममित है और .

संदर्भ

  1. Mukhin, Eugene, chapter 3
  2. Mukhin, Eugene, chapter 3