गाऊसी क्यू-वितरण

गणितीय भौतिकी और संभाव्यता और सांख्यिकी में, गाऊसी क्यू-वितरण संभाव्यता वितरण का एक समूह है जिसमें सीमित मामले (गणित) के रूप में, समान वितरण (निरंतर) और सामान्य वितरण सामान्य (गाऊसी) वितरण सम्मिलित है। इसे डियाज़ और टेरुएल द्वारा पेश किया गया था। यह गॉसियन या सामान्य वितरण का q-एनालॉग है।

सामान्य वितरण के सीमित मामले को छोड़कर, वितरण शून्य के बारे में सममित है और परिबद्ध है। सीमित समान वितरण -1 से +1 की सीमा पर है।

परिभाषा

गाऊसी क्यू-घनत्व।

मान लीजिए कि अंतराल [0, 1) में q एक वास्तविक संख्या है। गाऊसी क्यू-वितरण की संभाव्यता घनत्व नियम द्वारा दी गई है

$s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}$

जहाँ

$\nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},$

$c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.$

q-एनालॉग [t]_q वास्तविक संख्या का $t$ द्वारा दिया गया है

$[t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.$

चरघातांकी फलन का q-एनालॉग q-चरघातांकी, E^x
_q, है जो द्वारा दिया गया है

$E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j]!}}$

जहां फैक्टोरियल (क्रमगुणित) का q-एनालॉग q-फैक्टोरियल है, [n]_q!, जो बदले में दिया गया है

$[n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q}\cdots [2]_{q}\,$

पूर्णांक n > 2 और [1]_q! = [0]_q! = 1 के लिए हैl

संचयी गाऊसी क्यू-वितरण।

गाऊसी q-वितरण का संचयी बंटन फलन द्वारा दिया गया है

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}$

जहां एकीकरण (इंटीग्रेशन) प्रतीक जैक्सन एकीकरण को दर्शाता है।

फलन G_q द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है

$G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{(1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}$

जहाँ

$(a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).$

क्षण

गाऊसी q-वितरण के क्षण (गणित) द्वारा दिए गए हैं

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,$

${\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2}/[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,$

जहां प्रतीक [2n −1]!! द्वारा दिए गए दोहरा भाज्य का q-एनालॉग है

$[2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,$

यह भी देखें

• Q-गाऊसी प्रक्रिया

संदर्भ

• Díaz, R.; Pariguan, E. (2009). "On the Gaussian q-distribution". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 358: 1–9. arXiv:0807.1918. doi:10.1016/j.jmaa.2009.04.046. S2CID 115175228.
• Diaz, R.; Teruel, C. (2005). "q,k-Generalized Gamma and Beta Functions" (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 12 (1): 118–134. arXiv:math/0405402. Bibcode:2005JNMP...12..118D. doi:10.2991/jnmp.2005.12.1.10. S2CID 73643153.
• van Leeuwen, H.; Maassen, H. (1995). "A q deformation of the Gauss distribution" (PDF). Journal of Mathematical Physics. 36 (9): 4743. Bibcode:1995JMP....36.4743V. CiteSeerX 10.1.1.24.6957. doi:10.1063/1.530917. hdl:2066/141604. S2CID 13934946.
• Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538