गुरुत्वीय इंस्टेंटन

गणितीय भौतिकी और विभेदक ज्यामिति में, गुरुत्वाकर्षण पल चार-आयामी पूर्ण मीट्रिक रीमैनियन मैनिफोल्ड है जो खालीपन आइंस्टीन समीकरणों को संतुष्ट करता है। उनका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे यांग-मिल्स सिद्धांत में इंस्टेंटन के क्वांटम गुरुत्व में एनालॉग हैं। यांग-मिल्स सिद्धांत में इंस्टेंटन#इंस्टेंटन के साथ इस सादृश्य के अनुसार|स्वयं-दोहरी यांग-मिल्स इंस्टेंटन, गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन को आमतौर पर बड़ी दूरी पर चार आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष की तरह दिखने और स्व-दोहरी रीमैन टेंसर के रूप में माना जाता है। गणितीय रूप से, इसका मतलब यह है कि वे स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्थानया शायद असम्बद्ध रूप से स्थानीय रूप से सपाट) हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड हैं। हाइपरकेहलर 4-मैनिफोल्ड्स, और इस अर्थ में, वे आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स के विशेष उदाहरण हैं। भौतिक दृष्टिकोण से, गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड, मीट्रिक के विपरीत, सकारात्मक-निश्चित के साथ वैक्यूम आइंस्टीन समीकरणों का गैर-विलक्षण समाधान है।

गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन की मूल अवधारणा के कई संभावित सामान्यीकरण हैं: उदाहरण के लिए, कोई गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन को गैर-शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक या रीमैन टेंसर की अनुमति दे सकता है जो स्व-दोहरी नहीं है। कोई उस सीमा शर्त में भी ढील दे सकता है कि मीट्रिक स्पर्शोन्मुख रूप से यूक्लिडियन है।

गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन के निर्माण के लिए कई विधियाँ हैं, जिनमें गिबन्स-हॉकिंग अंसत्ज़, ट्विस्टर सिद्धांत और हाइपरकेहलर भागफल निर्माण शामिल हैं।

परिचय

गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन दिलचस्प हैं, क्योंकि वे गुरुत्वाकर्षण के परिमाणीकरण में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय रूप से यूक्लिडियन मेट्रिक्स की आवश्यकता होती है क्योंकि वे सकारात्मक-क्रिया अनुमान का पालन करते हैं; नीचे दी गई असीमित क्रियाएं पथ अभिन्न सूत्रीकरण में विचलन पैदा करती हैं।

• चार-आयामी काहलर मैनिफोल्ड|काहलर-आइंस्टीन मैनिफोल्ड में स्व-दोहरी रीमैन टेंसर है।
• समान रूप से, स्व-दोहरी गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन चार-आयामी पूर्ण हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड है।
• गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन इंस्टेंटन|सेल्फ-डुअल यांग-मिल्स इंस्टेंटन के अनुरूप हैं।

रीमैन वक्रता टेंसर की संरचना के संबंध में, समतलता और आत्म-द्वंद्व से संबंधित कई भेद किए जा सकते हैं। इसमे शामिल है:

• आइंस्टीन (गैर-शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक)
• रिक्की फ्लैटनेस (लुप्त रिक्की टेंसर)
• अनुरूप समतलता (वेइल टेंसर का लुप्त होना)
• आत्म-द्वंद्व
• आत्म-द्वंद्व विरोधी
• अनुरूप रूप से आत्म-दोहरा
• अनुरूप रूप से आत्म-द्वैत विरोधी

वर्गीकरण

'सीमा स्थितियों' को निर्दिष्ट करके, यानी गैर-कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड पर मीट्रिक 'अनंत पर' के एसिम्प्टोटिक्स को निर्दिष्ट करके, गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन को कुछ वर्गों में विभाजित किया जाता है, जैसे एसिम्प्टोटिक रूप से स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्पेस (एएलई स्पेस), एसिम्प्टोटिक रूप से स्थानीय रूप से फ्लैट स्पेस (एएलएफ) रिक्त स्थान)।

उन्हें आगे इस आधार पर चित्रित किया जा सकता है कि क्या रीमैन टेन्सर स्व-दोहरी है, क्या वेइल टेंसर स्व-दोहरी है, या न ही; चाहे वे काहलर मैनिफोल्ड्स हों या नहीं; और विभिन्न विशिष्ट वर्ग, जैसे कि यूलर विशेषता, हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर (पोंट्रीगिन वर्ग), रारिटा-श्विंगर सूचकांक (स्पिन-3/2 सूचकांक), या आम तौर पर चेर्न वर्ग। स्पिन संरचना का समर्थन करने की क्षमता (अर्थात लगातार डायराक स्पिनरों को अनुमति देना) और आकर्षक विशेषता है।

उदाहरणों की सूची

एगुची एट अल. गुरुत्वीय तात्कालिकता के कई उदाहरण सूचीबद्ध करें। इनमें अन्य शामिल हैं:

• समतल स्थान $\mathbb {R} ^{4}$, टोरस $\mathbb {T} ^{4}$ और यूक्लिडियन डी सिटर स्थान $\mathbb {S} ^{4}$, अर्थात एन-क्षेत्र|4-स्फीयर पर मानक मीट्रिक।
• गोले का गुणनफल $S^{2}\times S^{2}$.
• श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक $\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}$ और केर मीट्रिक $\mathbb {R} ^{2}\times S^{2}$

＊ ते एगुची - हैनसन इंस्टेंटन $T^{*}\mathbb {CP} (1)$, नीचे दिया गया।

• Taub–NUT स्पेस|Taub–NUT समाधान, नीचे दिया गया है।
• जटिल प्रक्षेप्य तल पर फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक $\mathbb {CP} (2).$ ध्यान दें कि जटिल प्रक्षेप्य तल अच्छी तरह से परिभाषित डिराक स्पिनरों का समर्थन नहीं करता है। यानी यह स्पिन संरचना नहीं है. हालाँकि, इसे स्पिन समूह संरचना दी जा सकती है।
• पृष्ठ स्थान , दो जटिल प्रक्षेप्य विमानों के सीधे योग पर घूर्णन कॉम्पैक्ट मीट्रिक $\mathbb {CP} (2)\oplus {\overline {\mathbb {CP} }}(2)$.
• गिबन्स-हॉकिंग मल्टी-सेंटर मेट्रिक्स, नीचे दिए गए हैं।
• टब-बोल्ट मीट्रिक $\mathbb {CP} (2)\setminus \{0\}$ और घूमने वाली ताब-बोल्ट मीट्रिक। बोल्ट मेट्रिक्स में मूल में बेलनाकार-प्रकार की समन्वय विलक्षणता होती है, नट मेट्रिक्स की तुलना में, जिसमें गोलाकार समन्वय विलक्षणता होती है। दोनों ही मामलों में, मूल बिंदु पर यूक्लिडियन निर्देशांक पर स्विच करके समन्वय विलक्षणता को हटाया जा सकता है।
• K3 सतह.
• लेंस रिक्त स्थान सहित, असम्बद्ध रूप से स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्व-दोहरी मैनिफोल्ड्स $L(k+1,1)$, डायहेड्रल समूहचतुष्फलकीय समूह समूह, अष्टफलकीय समूह और इकोसाहेड्रल समूह के दोहरे आवरण। ध्यान दें कि $L(2,1)$ एगुची-हैनसन इंस्टेंटन से मेल खाता है, जबकि उच्च k के लिए, द $L(2,1)$ गिबन्स-हॉकिंग मल्टी-सेंटर मेट्रिक्स से मेल खाता है।

यह अधूरी सूची है; अन्य भी हैं.

उदाहरण

तीन-गोले एस पर बाएं-अपरिवर्तनीय 1-फॉर्म का उपयोग करके नीचे गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन समाधान लिखना सुविधाजनक होगा³ (समूह एसपी(1) या एसयू(2) के रूप में देखा गया)। इन्हें यूलर कोणों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

${\begin{aligned}\sigma _{1}&=\sin \psi \,d\theta -\cos \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{2}&=\cos \psi \,d\theta +\sin \psi \sin \theta \,d\phi \\\sigma _{3}&=d\psi +\cos \theta \,d\phi .\\\end{aligned}}$

ध्यान दें कि $d\sigma _{i}+\sigma _{j}\wedge \sigma _{k}=0$ के लिए $i,j,k=1,2,3$ चक्रीय.

Taub-NUT मीट्रिक

Main article: Taub–NUT space

$ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}{\sigma _{3}}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})({\sigma _{1}}^{2}+{\sigma _{2}}^{2})$

एगुची-हैनसन मीट्रिक

एगुची-हैनसन स्थान को 2-गोले के कोटैंजेंट बंडल मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया गया है $T^{*}\mathbb {CP} (1)=T^{*}S^{2}$. यह मीट्रिक है

$ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right){\sigma _{3}}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}).$

कहाँ $r\geq a^{1/4}$. यदि इसमें कोई गुरुत्वीय विलक्षणता#शंक्वाकार विलक्षणता नहीं है तो यह मीट्रिक हर जगह सुचारू है $r\rightarrow a^{1/4}$, $\theta =0,\pi$. के लिए $a=0$ ऐसा होता है अगर $\psi$ की अवधि होती है $4\pi$, जो आर पर फ्लैट मीट्रिक देता है⁴; हालाँकि, के लिए $a\neq 0$ ऐसा होता है अगर $\psi$ की अवधि होती है $2\pi$.

असम्बद्ध रूप से (अर्थात, सीमा में $r\rightarrow \infty$) मीट्रिक जैसा दिखता है

$ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})$

जो सहजता से आर पर फ्लैट मीट्रिक के रूप में प्रतीत होता है⁴. हालाँकि, के लिए $a\neq 0$, $\psi$ जैसा कि हमने देखा है, इसकी सामान्य आवधिकता केवल आधी है। इस प्रकार मीट्रिक स्पर्शोन्मुख रूप से R है⁴पहचान के साथ $\psi \,{\sim }\,\psi +2\pi$, जो चक्रीय समूह|Z है₂SO(4) का उपसमूह, R का घूर्णन समूह⁴. इसलिए, मीट्रिक को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है आर^ज/Z₂.

अन्य समन्वय प्रणाली में परिवर्तन होता है, जिसमें मीट्रिक जैसा दिखता है

$ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,$

कहाँ $\nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

(ए = 0 के लिए, $V={\frac {1}{|\mathbf {x} |}}$, और नए निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित किए गए हैं: पहले परिभाषित करता है $\rho =r^{2}/4$ और फिर पैरामीटराइज़ करता है $\rho$, $\theta$ और $\phi$ आर द्वारा³निर्देशांक $\mathbf {x}$, अर्थात। $\mathbf {x} =(\rho \sin \theta \cos \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \theta )$).

नये निर्देशांक में, $\psi$ सामान्य आवधिकता है $\psi \ {\sim }\ \psi +4\pi .$ V की जगह कोई ले सकता है

$\quad V=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

कुछ n बिंदुओं के लिए $\mathbf {x} _{i}$, i = 1, 2..., n. यह बहु-केंद्र एगुची-हैनसन गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन देता है, जो कोणीय निर्देशांक में सामान्य आवधिकता होने पर फिर से हर जगह सुचारू होता है (गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता#शंक्वाकार विलक्षणता से बचने के लिए)। स्पर्शोन्मुख सीमा ($r\rightarrow \infty$) सभी को लेने के बराबर है $\mathbf {x} _{i}$ शून्य पर, और निर्देशांक को वापस r में बदलकर, $\theta$ और $\phi$, और पुनः परिभाषित करना $r\rightarrow r/{\sqrt {n}}$, हमें स्पर्शोन्मुख मीट्रिक मिलती है

$ds^{2}=dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left({d\psi \over n}+\cos \theta \,d\phi \right)^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}[(\sigma _{1}^{L})^{2}+(\sigma _{2}^{L})^{2}].$

ये है आर^ज/Z_n = सी²/Z_n, क्योंकि यह आर है⁴कोणीय निर्देशांक के साथ $\psi$ द्वारा प्रतिस्थापित $\psi /n$, जिसकी गलत आवधिकता है ($4\pi /n$ के बजाय $4\pi$). दूसरे शब्दों में, यह आर है⁴के अंतर्गत पहचाना गया $\psi \ {\sim }\ \psi +4\pi k/n$, या, समकक्ष, सी²z के अंतर्गत पहचाना गया_i ~ $e^{2\pi ik/n}$ z_i i = 1, 2 के लिए.

निष्कर्ष निकालने के लिए, बहु-केंद्र एगुची-हैनसन ज्यामिति काहलर मैनिफोल्ड है|काहलर रिक्की फ्लैट ज्यामिति जो असममित रूप से 'सी' है²/Z_n. कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड|याउ के प्रमेय के अनुसार यह इन गुणों को संतुष्ट करने वाली एकमात्र ज्यामिति है। इसलिए, यह C की ज्यामिति भी है²/Z_n इसके गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता के बाद स्ट्रिंग सिद्धांत में कक्षीय #शंक्वाकार विलक्षणता को इसके विस्फोट (यानी, विरूपण) द्वारा सुचारू कर दिया गया है।

गिबन्स-हॉकिंग मल्टी-सेंटर मेट्रिक्स

गिबन्स-हॉकिंग मल्टी-सेंटर मेट्रिक्स द्वारा दिए गए हैं

$ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,$

कहाँ

$\nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.$

यहाँ, $\epsilon =1$ मल्टी-टूब-एनयूटी से मेल खाता है, $\epsilon =0$ और $k=1$ समतल स्थान है, और $\epsilon =0$ और $k=2$ एगुची-हैनसन समाधान है (विभिन्न निर्देशांक में)।

FLRW-मैट्रिक्स गुरुत्वाकर्षण इंस्टेंटन के रूप में

2021 में ये मिल गया यदि कोई अधिकतम सममित स्थान के फ्राइडमैन ब्रह्मांड को सतत कार्य के रूप में देखता है, तो आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया और गिबन्स-हॉकिंग-यॉर्क सीमा शब्द के योग के रूप में गुरुत्वाकर्षण क्रिया, बिंदु कण की तरह बन जाती है। तब प्रक्षेपवक्र स्केल कारक है और वक्रता पैरामीटर को क्षमता के रूप में देखा जाता है। इस तरह प्रतिबंधित समाधानों के लिए सामान्य सापेक्षता टोपोलॉजिकल यांग-मिल्स सिद्धांत का रूप लेती है।

यह भी देखें

• गुरुत्वाकर्षण विसंगति
• हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड

संदर्भ

• Gibbons, G.W.; Hawking, S.W. (October 1978). "Gravitational multi-instantons". Physics Letters B. 78 (4): 430–432. Bibcode:1978PhLB...78..430G. doi:10.1016/0370-2693(78)90478-1.
• Gibbons, G. W.; Hawking, S. W. (October 1979). "Classification of Gravitational Instanton symmetries". Communications in Mathematical Physics. 66 (3): 291–310. Bibcode:1979CMaPh..66..291G. doi:10.1007/BF01197189. S2CID 123183399.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (April 1978). "Asymptotically flat self-dual solutions to euclidean gravity". Physics Letters B. 74 (3): 249–251. Bibcode:1978PhLB...74..249E. doi:10.1016/0370-2693(78)90566-X. OSTI 1446816. S2CID 16380482.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J (July 1979). "Self-dual solutions to euclidean gravity". Annals of Physics. 120 (1): 82–106. Bibcode:1979AnPhy.120...82E. doi:10.1016/0003-4916(79)90282-3. OSTI 1447072. S2CID 48866858.
• Eguchi, Tohru; Hanson, Andrew J. (December 1979). "Gravitational instantons". General Relativity and Gravitation. 11 (5): 315–320. Bibcode:1979GReGr..11..315E. doi:10.1007/BF00759271. S2CID 123806150.
• Kronheimer, P. B. (1989). "The construction of ALE spaces as hyper-Kähler quotients". Journal of Differential Geometry. 29 (3): 665–683. doi:10.4310/jdg/1214443066.