हिग्स बंडल

गणित में, हिग्स बंडल ऐसी जोड़ी $(E,\varphi )$ है जो होलोमोर्फिक सदिश बंडल E एवं हिग्स क्षेत्र $\varphi$ से मिलकर , होलोमोर्फिक 1-रूप E के एंडोमोर्फिज्म के बंडल में मान लेता है जैसे कि $\varphi \wedge \varphi =0$ है। ऐसे जोड़े निगेल हिचिन (1987) द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, जिसने हिग्स बोसोन के साथ सादृश्य के कारण पीटर हिग्स के पश्चात, क्षेत्र का नाम, $\varphi$ रखा। 'हिग्स बंडल' शब्द एवं स्थिति $\varphi \wedge \varphi =0$ (जो रीमैन सतहों पर हिचिन के मूल समुच्चय में रिक्त है) को पश्चात में चार्ल्स सिम्पसन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

हिग्स बंडल को होलोमोर्फिक सदिश बंडल पर फ्लैट होलोमोर्फिक एफ़िन कनेक्शन के सरलीकृत संस्करण के रूप में सोचा जा सकता है, जहां व्युत्पन्न को शून्य पर स्केल किया जाता है। नॉनबेलियन हॉज पत्राचार का कहना है कि उपयुक्त स्थिरता स्थितियों के अंतर्गत, चौरस, प्रक्षेप्य जटिल बीजगणितीय विविधता पर फ्लैट होलोमोर्फिक कनेक्शन की श्रेणी, विविधता के मौलिक समूह के प्रतिनिधित्व की श्रेणी, एवं इस किस्म पर हिग्स बंडलों की श्रेणी हैं वास्तव में समकक्ष हैं। इसलिए, कोई सरल हिग्स बंडलों के साथ कार्य करके फ्लैट कनेक्शन के साथ गेज सिद्धांत के विषय में परिणाम निकाल सकता है।

इतिहास

हिग्स बंडलों को पहली बार 1987 में हिचिन द्वारा पेश किया गया था, उस विशिष्ट मामले के लिए जहां होलोमोर्फिक सदिश बंडल ई एक कॉम्पैक्ट (गणित) रीमैन सतह पर है। इसके अलावा, हिचिन का पेपर ज्यादातर उस मामले पर चर्चा करता है जहां सदिश बंडल रैंक 2 है (यानी, फाइबर 2-आयामी सदिश स्पेस है)। रैंक 2 सदिश बंडल एक प्रमुख बंडल एसयू(2) बंडल के लिए हिचिन के समीकरणों के समाधान स्थान के रूप में उत्पन्न होता है।

रीमैन सतहों पर सिद्धांत को कार्लोस सिम्पसन द्वारा उस मामले में सामान्यीकृत किया गया था जहां बेस मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट है एवं काहलर मैनिफोल्ड|काहलर। आयाम तक सीमित रहने से एक मामला हिचिन के सिद्धांत को पुनः प्राप्त करता है।

हिग्स बंडल की स्थिरता

हिग्स बंडलों के सिद्धांत में विशेष रुचि एक स्थिर हिग्स बंडल की धारणा है। ऐसा करने के लिए, $\varphi$-अपरिवर्तनीय उप-बंडलों को पहले परिभाषित किया जाना चाहिए।

हिचिन की मूल चर्चा में, L लेबल वाला एक रैंक-1 सबबंडल है $\varphi$-अपरिवर्तनीय अगर $\varphi (L)\subset L\otimes K$ साथ $K$ रीमैन सतह एम पर विहित बंडल। फिर एक हिग्स बंडल $(E,\varphi )$ स्थिर है यदि, प्रत्येक के लिए $\varphi$ अपरिवर्तनीय उपसमूह $L$ का $E$,

$${\text{deg}}L<{\frac {1}{2}}{\text{deg}}(\wedge ^{2}E),$$

साथ ${\text{deg}}$ रीमैन सतह पर एक जटिल सदिश बंडल के लिए डिग्री की सामान्य धारणा है।

यह भी देखें

• हिचिन प्रणाली

संदर्भ

• Corlette, Kevin (1988). "Flat G-bundles with canonical metrics". Journal of Differential Geometry. 28 (3): 361–382. doi:10.4310/jdg/1214442469. MR 0965220.
• Gothen, Peter B.; García-Prada, Oscar; Bradlow, Steven B. (2007), "What is... a Higgs bundle?" (PDF), Notices of the American Mathematical Society, 54 (8): 980–981, MR 2343296