कैसिनी और कैटलन पहचान

__नोटोक__

कैसिनी की पहचान (कभी-कभी सिम्सन की पहचान कहा जाता है) और कैटलन की पहचान फाइबोनैचि संख्याओं के लिए पहचान (गणित) हैं। कैसिनी की पहचान, कैटलन की पहचान का एक विशेष मामला, बताता है कि एनवें फाइबोनैचि संख्या के लिए,

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.$

यहां ध्यान दें $F_{0}$ 0 माना जाता है, और $F_{1}$ 1 माना जाता है।

कैटलन की पहचान इसे सामान्यीकृत करती है:

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.$

वाजदा की पहचान इसे सामान्यीकृत करती है:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.$

इतिहास

कैसिनी का सूत्र 1680 में पेरिस वेधशाला के तत्कालीन निदेशक जॉन डोमिनिक कैसिनी द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से रॉबर्ट सिमसन (1753) द्वारा सिद्ध किया गया था।हालाँकि जोहान्स केप्लर को संभवतः 1608 में ही इसकी पहचान पता थी। यूजीन चार्ल्स कैटलन को 1879 में उनके नाम पर पहचान मिली।ब्रिटिश गणितज्ञ स्टीवन वाजदा (1901-95) ने फाइबोनैचि संख्याओं (फाइबोनैचि और लुकास नंबर, और गोल्डन सेक्शन: सिद्धांत और अनुप्रयोग, 1989) पर एक पुस्तक प्रकाशित की जिसमें उनके नाम की पहचान शामिल है। हालाँकि यह पहचान पहले ही 1960 में डस्टन एवरमैन द्वारा अमेरिकी गणितीय मासिक में समस्या 1396 के रूप में प्रकाशित की गई थी।

कैसिनी की पहचान का प्रमाण

मैट्रिक्स सिद्धांत द्वारा प्रमाण

कैसिनी की पहचान का त्वरित प्रमाण दिया जा सकता है (Knuth 1997, p. 81) फाइबोनैचि संख्याओं के 2×2 मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक के रूप में समीकरण के पक्षों को पहचानकर। जब मैट्रिक्स को देखा जाता है तो परिणाम लगभग तत्काल होता है nनिर्धारक −1 के साथ एक मैट्रिक्स की शक्ति:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.$

प्रेरण द्वारा प्रमाण

प्रेरण कथन पर विचार करें:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

आधार मामला $n=1$ क्या सच है।

मान लें कि कथन सत्य है $n$. तब:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}$

$F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}$

$F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$

इसलिए यह कथन सभी पूर्णांकों के लिए सत्य है $n>0$.

कैटलन पहचान का प्रमाण

हम फाइबोनैचि नंबर#क्लोज्ड-फॉर्म एक्सप्रेशन|बिनेट के सूत्र का उपयोग करते हैं $F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$, कहाँ $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ और $\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$.

इस तरह, $\phi +\psi =1$ और $\phi \psi =-1$.

इसलिए,

$5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})$

$=(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})$

$=(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})$

$=-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

का उपयोग करते हुए $\phi \psi =-1$,

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

और फिर से के रूप में $\phi ={\frac {-1}{\psi }}$,

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})$

लुकास_नंबर#रिलेशनशिप_टू_फाइबोनैचि_नंबर्स $L_{n}$ परिभाषित किया जाता है $L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}$, इसलिए

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}$

क्योंकि $L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

रद्द कर रहा हूँ $5$का परिणाम देता है.

संदर्भ

• Knuth, Donald Ervin (1997), The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, The Art of Computer Programming, vol. 1 (3rd ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4

• Simson, R. (1753). "An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 48: 368–376. doi:10.1098/rstl.1753.0056.

• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity". Discrete Mathematics. 58 (1): 109. doi:10.1016/0012-365X(86)90194-9. MR 0820846.

बाहरी संबंध

• Proof of Cassini's identity
• Proof of Catalan's Identity
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae