कैसिनी और कैटलन पहचान

कैसिनी की समरूपता (कभी-कभी इसे सिम्सन की समरूपता भी कहा जाता है) और कैटलन की समरूपता फाइबोनैचि संख्याओं के लिए गणितीय समरूपता (गणित) हैं। इस प्रकार से कैसिनी की समरूपता, कैटलन की समरूपता की विशेष स्थिति, बताती है कि एनवें फाइबोनैचि संख्या के लिए,

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$ है।

अतः ध्यान दें यहां $F_{0}$ को 0माना गया है, और $F_{1}$ को 1 लिया गया है।

कैटलन की समरूपता इसे सामान्यीकृत करती है:

$F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r}=(-1)^{n-r}F_{r}^{2}.$

इस प्रकार से वाजदा की समरूपता इसे पूर्ण रूप से सामान्यीकृत करती है:

$F_{n+i}F_{n+j}-F_{n}F_{n+i+j}=(-1)^{n}F_{i}F_{j}.$

इतिहास

अतः कैसिनी का सूत्र 1680 में पेरिस वेधशाला के तत्कालीन निदेशक जॉन डोमिनिक कैसिनी द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से रॉबर्ट सिमसन (1753) द्वारा सिद्ध किया गया था। यद्यपि जोहान्स केप्लर को संभवतः 1608 में ही इसकी समरूपता ज्ञात थी। यूजीन चार्ल्स कैटलन को 1879 में उनके नाम पर समरूपता मिली। इस प्रकार से ब्रिटिश गणितज्ञ स्टीवन वाजदा (1901-95) ने फाइबोनैचि संख्याओं (फाइबोनैचि और लुकास संख्या, और गोल्डन अनुभाग: सिद्धांत और अनुप्रयोग, 1989) पर पुस्तक प्रकाशित की थी जिसमें उनके नाम की समरूपता पूर्ण रूप से सम्मिलित है। यद्यपि यह समरूपता पहले ही 1960 में डस्टन एवरमैन द्वारा दि अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली पत्रिका में समस्या 1396 के रूप में प्रकाशित की गई थी।

कैसिनी की समरूपता का प्रमाण

आव्यूह सिद्धांत द्वारा प्रमाण

कैसिनी की समरूपता का शीघ्र प्रमाण समीकरण के बाईं ओर को फाइबोनैचि संख्याओं के 2×2 आव्यूह (गणित) के निर्धारक के रूप में पहचानकर पूर्ण रूप से दिया जा सकता है (नुथ 1997, p. 81)। अतः इस प्रकार से एक परिणाम लगभग तत्काल होता है जब आव्यूह को निर्धारक −1 के साथ आव्यूह की nवीं घात के रूप में देखा जाता है:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\det \left[{\begin{matrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{matrix}}\right]=\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]^{n}=\left(\det \left[{\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\right]\right)^{n}=(-1)^{n}.$

प्रेरण द्वारा प्रमाण

अतः प्रेरण कथन पर विचार करें:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}$

आधार स्थिति $n=1$ सत्य है।

इस प्रकार से मान लें कि कथन $n$ के लिए पूर्ण रूप से सत्य है। तब:

$F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n-1}F_{n+1}+F_{n}F_{n+1}-F_{n}^{2}-F_{n}F_{n+1}=(-1)^{n}$

$F_{n+1}(F_{n-1}+F_{n})-F_{n}(F_{n}+F_{n+1})=(-1)^{n}$

$F_{n+1}^{2}-F_{n}F_{n+2}=(-1)^{n}$

$F_{n}F_{n+2}-F_{n+1}^{2}=(-1)^{n+1}$

तो यह कथन सभी पूर्णांकों $n>0$ के लिए सत्य है।

कैटलन समरूपता का प्रमाण

हम बिनेट के सूत्र का पूर्ण रूप से उपयोग करते हैं, वह $F_{n}={\frac {\phi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}$, जहाँ $\phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ और $\psi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}$।

इस प्रकार, $\phi +\psi =1$ और $\phi \psi =-1$।

तो,

$5(F_{n}^{2}-F_{n-r}F_{n+r})$

$=(\phi ^{n}-\psi ^{n})^{2}-(\phi ^{n-r}-\psi ^{n-r})(\phi ^{n+r}-\psi ^{n+r})$

$=(\phi ^{2n}-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\psi ^{2n})-(\phi ^{2n}-\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})+\psi ^{2n})$

$=-2\phi ^{n}\psi ^{n}+\phi ^{n}\psi ^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

$\phi \psi =-1$ का उपयोग करना, और फिर

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}(\phi ^{-r}\psi ^{r}+\phi ^{r}\psi ^{-r})$

$\phi ={\frac {-1}{\psi }}$ के रूप में,

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(\psi ^{2r}+\phi ^{2r})$

इस प्रकार से लुकास संख्या $L_{n}$, $L_{n}=\phi ^{n}+\psi ^{n}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}L_{2r}$

क्योंकि $L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}(5F_{r}^{2}+2(-1)^{r})$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}2(-1)^{r}+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=-(-1)^{n}2+(-1)^{n}2+(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$=(-1)^{n-r}5F_{r}^{2}$

$5$ को काटने पर परिणाम मिलता है।

संदर्भ

• Knuth, Donald Ervin (1997), The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, The Art of Computer Programming, vol. 1 (3rd ed.), Reading, Mass: Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4

• Simson, R. (1753). "An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works". Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 48: 368–376. doi:10.1098/rstl.1753.0056.

• Werman, M.; Zeilberger, D. (1986). "A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity". Discrete Mathematics. 58 (1): 109. doi:10.1016/0012-365X(86)90194-9. MR 0820846.

बाहरी संबंध

• Proof of Cassini's identity
• Proof of Catalan's Identity
• Cassini formula for Fibonacci numbers
• Fibonacci and Phi Formulae