वुडबरी आव्यूह समरूपता

गणित में (विशेष रूप से रैखिक बीजगणित), वुडबरी आव्यूह समरूपता, जिसका नाम मैक्स ए। वुडबरी के नाम पर रखा गया है, जो यह कहते है कि कुछ आव्यूह (गणित) के पद-k सुधार के व्युत्क्रम की गणना मूल आव्यूह के व्युत्क्रम में पद-k सुधार करके की जा सकती है। इस सूत्र के वैकल्पिक नाम 'आव्यूह व्युत्क्रमता लेम्मा', 'शर्मन-मॉरिसन-वुडबरी सूत्र' या मात्र 'वुडबरी सूत्र' हैं। यद्यपि, वुडबरी रिपोर्ट से पहले यह समरूपता कई लेखों में छपी थी।

वुडबरी आव्यूह समरूपता

$\left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}$

है, जहां A, U, C और V अनुरूप आव्यूह हैं: A n×n है, C k×k है, U n×k है, और V k×n है। इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह ब्लॉक वार व्युत्क्रम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

जबकि समरूपता मुख्य रूप से आव्यूह पर उपयोग की जाती है, यह सामान्य वलय (गणित) या Ab-श्रेणी में होती है।

वुडबरी आव्यूह समरूपता व्युत्क्रमों की तुच्छ गणना और रैखिक समीकरणों के हल की अनुमति देती है। यद्यपि, सूत्र की संख्यात्मक स्थिरता के विषय में बहुत कम सूचना है। इसकी त्रुटि सीमा के संबंध में कोई प्रकाशित परिणाम नहीं हैं। उपाख्यानात्मक प्रमाण से पता चलता है कि यह प्रतीत होने वाले सौम्य उदाहरणों के लिए भी भिन्न हो सकता है (जब मूल और संशोधित आव्यूह दोनों ठीक रूप से प्रतिबंधित हैं)।

चर्चा

इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए, हम सरल परिणाम को सिद्ध करके प्रारम्भ करेंगे। A और C को समरूपता आव्यूह I के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें और समरूपता प्राप्त होती है जो थोड़ी सरल है:

$\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.$

इस घटी हुई समरूपता से मूल समीकरण को पुनः प्राप्त करने के लिए, समुच्चय $U=A^{-1}X$ और $V=CY$ है।

इस समरूपता को ही दो सरल समरूपताों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। हम पहली समरूपता

$I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P$

से प्राप्त करते हैं, इस प्रकार,

$(I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P$,

और इसी प्रकार

$(I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}.$

दूसरी समरूपता तथाकथित पुश-थ्रू समरूपता

$(I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}$

है जिसे हम दाईं ओर $(I+VU)^{-1}$ और बाईं ओर $(I+UV)^{-1}$

से गुणा करने के बाद

$U(I+VU)=(I+UV)U$

से प्राप्त करते हैं।

सभी को एक साथ रखने पर,

$\left(I+UV\right)^{-1}=I-UV\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.$

जहां पहली और दूसरी समानता क्रमशः पहली और दूसरी समरूपता से आती है।

विशेष स्थिति

जब $V,U$ सदिश होते हैं, तो समरूपता शर्मन-मॉरिसन सूत्र तक कम हो जाती है।

अदिश स्थिति में, घटा हुआ संस्करण मात्र

${\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+uv}}$ है।

योग का व्युत्क्रम

यदि n = k और U = V = I_n तो, समरूपता आव्यूह है

${\begin{aligned}\left({A}+{B}\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}(B^{-1}+A^{-1})^{-1}A^{-1}\\&={A}^{-1}-{A}^{-1}\left({A}{B}^{-1}+{I}\right)^{-1}.\end{aligned}}$

उपरोक्त समीकरण के सबसे दाईं ओर के पदों के विलय को जारी रखने से हुआ की समरूपता होती है

$\left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}.$

इसी समरूपता का और उपयोगी रूप है

$\left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1},$

जो, उपरोक्त के विपरीत, भले ही मान्य हो $B$ एकवचन है, और इसमें पुनरावर्ती संरचना है जो उत्पन्न करती है

$\left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}$

यदि की वर्णक्रमीय त्रिज्या $A^{-1}B$ से कम है। अर्थात यदि उपरोक्त योग एकत्रित हो जाए तो बराबर हो जाता है $(A-B)^{-1}$।

इस फॉर्म का उपयोग गड़बड़ी वाले विस्तारों में किया जा सकता है जहां बी ए का गड़बड़ी है।

विविधताएँ

द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय

यदि A, B, U, V क्रमशः n×n, k×k, n×k, k×n आकार के आव्यूह हैं, तो

$\left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}$

ए और बी + बीवीए प्रदान किया गया⁻¹B एकवचन नहीं हैं। अक्षर की गैर विलक्षणता के लिए आवश्यक है कि बी⁻¹ अस्तित्व में है क्योंकि यह बराबर है B(I + VA⁻¹UB) और बाद वाले का पद बी के पद से अधिक नहीं हो सकता। चूँकि B व्युत्क्रमणीय है, दाहिनी ओर कोष्ठक में व्युत्क्रमित मात्रा को दर्शाने वाले दो B पदों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है (B⁻¹)⁻¹, जिसके परिणामस्वरूप मूल वुडबरी समरूपता प्राप्त होती है।

जब B एकवचन हो और संभवतः गैर-वर्ग भी हो, तो इसके लिए भिन्नता:

$(A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.$

कुछ मामलों के लिए सूत्र भी मौजूद हैं जिनमें A एकवचन है।

सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह के साथ छद्म व्युत्क्रम

सामान्य तौर पर वुडबरी की समरूपता मान्य नहीं है यदि या अधिक व्युत्क्रमों को मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम|(मूर-पेनरोज़) स्यूडो व्युत्क्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यद्यपि, यदि $A$ और $C$ सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह हैं, और $V=U^{\mathrm {H} }$ (इसका तात्पर्य यह है कि $A+UCV$ स्वयं सकारात्मक अर्धनिश्चित है), तो निम्न सूत्र सामान्यीकरण प्रदान करता है:

${\begin{aligned}(XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} })^{+}&=(ZZ^{\mathrm {H} })^{+}+(I-YZ^{+})^{\mathrm {H} }X^{+\mathrm {H} }EX^{+}(I-YZ^{+}),\\Z&=(I-XX^{+})Y,\\E&=I-X^{+}Y(I-Z^{+}Z)F^{-1}(X^{+}Y)^{\mathrm {H} },\\F&=I+(I-Z^{+}Z)Y^{\mathrm {H} }(XX^{\mathrm {H} })^{+}Y(I-Z^{+}Z),\end{aligned}}$

कहाँ $A+UCU^{\mathrm {H} }$ के रूप में लिखा जा सकता है $XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }$ क्योंकि कोई भी सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह बराबर है $MM^{\mathrm {H} }$ कुछ के लिए $M$।

व्युत्पत्तियाँ

प्रत्यक्ष प्रमाण

उसकी जांच करके सूत्र को सिद्ध किया जा सकता है $(A+UCV)$ कई बार वुडबरी समरूपता के दाईं ओर इसका कथित उलटा समरूपता आव्यूह देता है:

${\begin{aligned}U+UCVA^{-1}U&=UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)=\left(A+UCV\right)A^{-1}U\\\left(A+UCV\right)^{-1}UC&=A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\end{aligned}}$