समष्टि प्रक्षेप्य समतल

गणित में, जटिल प्रक्षेप्य तल को आमतौर पर P से दर्शाया जाता है²(सी), द्वि-आयामी जटिल प्रक्षेप्य स्थान है। यह जटिल आयाम 2 का एक जटिल मैनिफोल्ड है, जिसे तीन जटिल निर्देशांकों द्वारा वर्णित किया गया है

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\in \mathbf {C} ^{3},\qquad (Z_{1},Z_{2},Z_{3})\neq (0,0,0)$

हालाँकि, समग्र पुनर्स्केलिंग द्वारा भिन्न त्रिगुणों की पहचान की जाती है:

$(Z_{1},Z_{2},Z_{3})\equiv (\lambda Z_{1},\lambda Z_{2},\lambda Z_{3});\quad \lambda \in \mathbf {C} ,\qquad \lambda \neq 0.$

अर्थात्, ये प्रक्षेप्य ज्यामिति के पारंपरिक अर्थ में सजातीय निर्देशांक हैं।

टोपोलॉजी

जटिल प्रक्षेप्य तल की बेट्टी संख्याएँ हैं

1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, ....

मध्य आयाम 2 को समतल में स्थित जटिल प्रक्षेप्य रेखा, या रीमैन क्षेत्र के समरूपता वर्ग द्वारा ध्यान में रखा जाता है। जटिल प्रक्षेप्य तल के गैर-तुच्छ समरूप समूह हैं $\pi _{2}=\pi _{5}=\mathbb {Z}$. मौलिक समूह तुच्छ है और अन्य सभी उच्च समरूप समूह 5-गोले, यानी मरोड़ वाले हैं।

बीजगणितीय ज्यामिति

द्विवार्षिक ज्यामिति में, एक जटिल तर्कसंगत सतह कोई भी बीजगणितीय सतह होती है जो जटिल प्रक्षेप्य तल के द्विवार्षिक रूप से समतुल्य होती है। यह ज्ञात है कि किसी भी गैर-विलक्षण तर्कसंगत विविधता को विमान से परिवर्तनों को उड़ाने और उनके व्युत्क्रम ('उड़ाने') के अनुक्रम से प्राप्त किया जाता है, जो एक बहुत ही विशेष प्रकार का होना चाहिए। एक विशेष मामले के रूप में, पी में एक गैर-एकवचन जटिल द्विघात ³को समतल से दो बिंदुओं को वक्रों तक उड़ाकर, और फिर इन दो बिंदुओं के माध्यम से रेखा को नीचे उड़ाकर प्राप्त किया जाता है; इस परिवर्तन का व्युत्क्रम चतुर्भुज Q पर एक बिंदु P लेकर, उसे उड़ाकर और 'P' में एक सामान्य तल पर प्रक्षेपित करके देखा जा सकता है।³P से होकर रेखाएँ खींचकर।

जटिल प्रक्षेप्य तल के द्विवार्षिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह क्रेमोना समूह है।

विभेदक ज्यामिति

रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में, जटिल प्रक्षेप्य तल एक 4-आयामी मैनिफोल्ड है जिसका अनुभागीय वक्रता चौथाई-चुटकी हुई है, लेकिन सख्ती से ऐसा नहीं है। अर्थात्, यह दोनों सीमाएँ प्राप्त कर लेता है और इस प्रकार एक गोला होने से बच जाता है, जैसा कि अन्यथा गोले प्रमेय की आवश्यकता होगी। प्रतिद्वंद्वी सामान्यीकरण वक्रता को 1/4 और 1 के बीच पिन करने के लिए हैं; वैकल्पिक रूप से, 1 और 4 के बीच। पूर्व सामान्यीकरण के संबंध में, जटिल प्रक्षेप्य रेखा द्वारा परिभाषित अंतर्निहित सतह में गाऊसी वक्रता 1 है। बाद के सामान्यीकरण के संबंध में, अंतर्निहित वास्तविक प्रक्षेप्य विमान में गाऊसी वक्रता 1 है।

फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक पर लेख के n=2 उपधारा में रीमैन और रिक्की टेंसर का एक स्पष्ट प्रदर्शन दिया गया है।

यह भी देखें

• टुकड़े की सतह का
• टोरिक ज्यामिति
• नकली प्रक्षेप्य विमान

संदर्भ

• C. E. Springer (1964) Geometry and Analysis of Projective Spaces, pages 140–3, W. H. Freeman and Company.