वृत्ताकार खंड

एक वृत्ताकार खंड (हरे रंग में) एक सेकेंट/कॉर्ड (धराशायी रेखा) और चाप के बीच घिरा हुआ है जिसका समापन बिंदु जीवा (हरे क्षेत्र के ऊपर दिखाया गया चाप) के बराबर है।

ज्यामिति में, एक गोलाकार खंड (प्रतीक: ⌓), जिसे डिस्क खंड के रूप में भी जाना जाता है, एक डिस्क (गणित) का एक क्षेत्र है जो बाकी हिस्सों से कटा हुआ है एक छेदक रेखा या तार (ज्यामिति) द्वारा डिस्क की। अधिक औपचारिक रूप से, एक वृत्ताकार खंड द्वि-आयामी स्थान का एक क्षेत्र है जो एक वृत्ताकार चाप (परंपरा के अनुसार π रेडियन से कम) और चाप के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले वृत्ताकार तार से घिरा होता है।

सूत्र

मान लीजिए R चाप की त्रिज्या है जो खंड की परिधि कांति हिस्सा है, θ चाप को RADIUS में अंतरित करने वाला केंद्रीय कोण, c जीवा की लंबाई, s चाप की लंबाई, h धनु (ज्यामिति) (ऊंचाई#गणित में) खंड का, d खंड का एपोटेम, और खंड का क्षेत्रफल।

आमतौर पर, तार की लंबाई और ऊंचाई दी जाती है या मापी जाती है, और कभी-कभी चाप की लंबाई परिधि के हिस्से के रूप में होती है, और अज्ञात क्षेत्र होते हैं और कभी-कभी चाप की लंबाई होती है। इनकी गणना केवल तार की लंबाई और ऊंचाई से नहीं की जा सकती है, इसलिए दो मध्यवर्ती मात्राएं, त्रिज्या और केंद्रीय कोण की गणना आमतौर पर पहले की जाती है।

त्रिज्या और केंद्रीय कोण

त्रिज्या है:

$R={\tfrac {h}{2}}+{\tfrac {c^{2}}{8h}}$

तार की लंबाई और ऊंचाई

तार की लंबाई और ऊंचाई की गणना त्रिज्या और केंद्रीय कोण से की जा सकती है:

तार की लंबाई है

$c=2R\sin {\tfrac {\theta }{2}}=R{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}$

$c=2{\sqrt {R^{2}-(R-h)^{2}}}=2{\sqrt {2Rh-h^{2}}}$

धनु_(ज्यामिति) है

$h=R-{\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R(1-\cos {\tfrac {\theta }{2}})=R\left(1-{\sqrt {\tfrac {1+\cos \theta }{2}}}\right)={\frac {c}{2}}\tan {\frac {\theta }{4}}$

एपोटेम है

$d=R-h={\sqrt {R^{2}-{\frac {c^{2}}{4}}}}=R\cos {\tfrac {\theta }{2}}$

चाप की लंबाई और क्षेत्रफल

एक वृत्त की परिचित ज्यामिति से, चाप की लंबाई है

$s={\theta }R$ वृत्ताकार खंड का क्षेत्रफल a, वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल को घटाकर त्रिकोणीय भाग के क्षेत्रफल के बराबर है (एक समीकरण प्राप्त करने के लिए दोहरे कोण सूत्र का उपयोग करें) $\theta$):

$a={\tfrac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\sin \theta \right)$

के अनुसार R और h,

$a=R^{2}\arccos \left(1-{\frac {h}{R}}\right)-\left(R-h\right){\sqrt {R^{2}-\left(R-h\right)^{2}}}$

के अनुसार c और h,

$a=\left({\frac {c^{2}+4h^{2}}{8h}}\right)^{2}\arccos \left({\frac {c^{2}-4h^{2}}{c^{2}+4h^{2}}}\right)-{\frac {c}{16h}}(c^{2}-4h^{2})$

जो कहा जा सकता है वह यह है कि जैसे-जैसे केंद्रीय कोण छोटा होता जाता है (या वैकल्पिक रूप से त्रिज्या बड़ी होती जाती है), क्षेत्र तेजी से और स्पर्शोन्मुख रूप से निकट आता जाता है ${\tfrac {2}{3}}c\cdot h$. अगर $\theta \ll 1$, $a={\tfrac {2}{3}}c\cdot h$ काफी हद तक अच्छा अनुमान है.

अगर $c$ स्थिर रखा जाता है, और त्रिज्या को भिन्न होने की अनुमति दी जाती है, तो हमारे पास है

$${\frac {\partial a}{\partial s}}=R$$

जैसे-जैसे केंद्रीय कोण π के करीब पहुंचता है, खंड का क्षेत्रफल अर्धवृत्त के क्षेत्रफल में परिवर्तित हो जाता है, ${\tfrac {\pi R^{2}}{2}}$, इसलिए एक अच्छा सन्निकटन बाद वाले क्षेत्र से डेल्टा ऑफसेट है:

$a\approx {\tfrac {\pi R^{2}}{2}}-(R+{\tfrac {c}{2}})(R-h)$ h>.75R के लिए

उदाहरण के तौर पर, क्षेत्रफल वृत्त का एक चौथाई है जब θ ~ 2.31 रेडियन (132.3°) ~59.6% की ऊंचाई और त्रिज्या के ~183% की जीवा की लंबाई के अनुरूप है।

आदि

परिधि p चापलंबाई और जीवा लंबाई है,

$p=c+s=c+\theta R$

डिस्क के संपूर्ण क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में, $A=\pi R^{2}$, आपके पास

${\frac {a}{A}}={\frac {\theta -\sin \theta }{2\pi }}$

अनुप्रयोग

क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग क्षैतिज रूप से बिछाए गए आंशिक रूप से भरे बेलनाकार टैंक की मात्रा की गणना में किया जा सकता है।

गोल शीर्ष वाली खिड़कियों या दरवाजों के डिज़ाइन में, सी और एच ही एकमात्र ज्ञात मान हो सकते हैं और ड्राफ्ट्समैन की कंपास सेटिंग के लिए आर की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

कोई व्यक्ति चाप की लंबाई और टुकड़े की जीवा की लंबाई को मापकर टुकड़ों से एक पूर्ण गोलाकार वस्तु के पूर्ण आयामों का पुनर्निर्माण कर सकता है।

गोलाकार पैटर्न पर छेद की स्थिति की जाँच करने के लिए। मशीनी उत्पादों की गुणवत्ता जांच के लिए विशेष रूप से उपयोगी।

किसी समतल आकृति के क्षेत्रफल या केन्द्रक की गणना के लिए जिसमें वृत्ताकार खंड होते हैं।

यह भी देखें

• तार (ज्यामिति)
• गोलाकार टोपी
• वृत्ताकार क्षेत्र

संदर्भ

• Weisstein, Eric W. "Circular segment". MathWorld.

बाहरी संबंध

• Definition of a circular segment With interactive animation
• Formulae for area of a circular segment With interactive animation