टोपोलॉजिकल गतिशीलता
गणित में, टोपोलॉजिकल डायनामिक्स गतिशील प्रणालियाँ के सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें सामान्य टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से डायनेमिक सिस्टम के गुणात्मक, स्पर्शोन्मुख गुणों का अध्ययन किया जाता है।
दायरा
टोपोलॉजिकल डायनेमिक्स में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य एक टोपोलॉजिकल डायनेमिक सिस्टम है, यानी एक टोपोलॉजिकल स्पेस, एक सतत मानचित्र (टोपोलॉजी), एक सतत प्रवाह, या अधिक सामान्यतः, उस स्थान के निरंतर परिवर्तनों का एक परिवर्तन अर्धसमूह। टोपोलॉजिकल गतिशीलता की उत्पत्ति स्वायत्त प्रणाली (गणित) के सिस्टम के प्रक्षेपवक्र के स्पर्शोन्मुख गुणों के अध्ययन में निहित है (गणित) सामान्य अंतर समीकरण, विशेष रूप से, सीमा सेट का व्यवहार और गति की दोहराव की विभिन्न अभिव्यक्तियाँ, जैसे आवधिक प्रक्षेपवक्र, पुनरावृत्ति और न्यूनतमता, स्थिरता, गैर-भटकने वाले बिंदु। जॉर्ज बिरखॉफ़ को इस क्षेत्र का संस्थापक माना जाता है। 1960 के दशक की शुरुआत में हिलेल फर्स्टनबर्ग द्वारा सिद्ध किए गए न्यूनतम दूरस्थ प्रवाह के लिए एक संरचना प्रमेय ने न्यूनतम प्रवाह के वर्गीकरण पर बहुत काम करने के लिए प्रेरित किया। 1970 और 1980 के दशक में बहुत सारा शोध एक-आयामी मानचित्रों की टोपोलॉजिकल गतिशीलता के लिए समर्पित था, विशेष रूप से, अंतराल और सर्कल के टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन स्व-मानचित्र।
चिकनी गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत के विपरीत, जहां अध्ययन का मुख्य उद्देश्य एक भिन्नता या एक चिकनी प्रवाह के साथ एक चिकनी विविधता है, टोपोलॉजिकल गतिशीलता में विचार किए गए चरण स्थान सामान्य मीट्रिक स्थान (आमतौर पर, सघन स्थान ) होते हैं। इसके लिए पूरी तरह से अलग तकनीकों के विकास की आवश्यकता होती है, लेकिन चिकनी सेटिंग में भी लचीलेपन की एक अतिरिक्त डिग्री की अनुमति मिलती है, क्योंकि अपरिवर्तनीय अनेक गुना अक्सर टोपोलॉजिकल रूप से बहुत जटिल होते हैं (सीएफ सीमा चक्र, अजीब आकर्षण); इसके अतिरिक्त, प्रतीकात्मक अभ्यावेदन के माध्यम से उत्पन्न होने वाले शिफ्ट रिक्त स्थान को अधिक ज्यामितीय क्रियाओं के साथ समान स्तर पर माना जा सकता है। टोपोलॉजिकल डायनेमिक्स का डायनामिकल सिस्टम के एर्गोडिक सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध है, और बाद की कई मौलिक अवधारणाओं में टोपोलॉजिकल एनालॉग्स (सीएफ कोलमोगोरोव-सिनाई एन्ट्रॉपी और टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी) हैं।
यह भी देखें
- पोंकारे-बेंडिक्सन प्रमेय
- प्रतीकात्मक गतिशीलता
- टोपोलॉजिकल संयुग्मता
संदर्भ
- D. V. Anosov (2001) [1994], "टोपोलॉजिकल गतिशीलता", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
- Joseph Auslander (ed.). "Topological dynamics". Scholarpedia.
- Robert Ellis, Lectures on topological dynamics. W. A. Benjamin, Inc., New York 1969
- Walter Gottschalk, Gustav Hedlund, Topological dynamics. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. 36. American Mathematical Society, Providence, R. I., 1955
- J. de Vries, Elements of topological dynamics. Mathematics and its Applications, 257. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1993 ISBN 0-7923-2287-8
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- J. de Vries, Topological Dynamical Systems: An Introduction to the Dynamics of Continuous Mappings, De Gruyter Studies in Mathematics, 59, De Gruyter, Berlin, 2014, ISBN 978-3-1103-4073-0
- Jian Li and Xiang Dong Ye, Recent development of chaos theory in topological dynamics, Acta Mathematica Sinica, English Series, 2016, Volume 32, Issue 1, pp. 83–114.
