अनंतिमल परिवर्तन

गणित में, अतिसूक्ष्म परिवर्तन छोटे परिवर्तन (ज्यामिति) का सीमा (गणित) रूप है। उदाहरण के लिए, कोई त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किसी कठोर पिंड के अतिसूक्ष्म घूर्णन के विषय में बात कर सकता है। इसे पारंपरिक रूप से 3×3 तिरछा-सममित आव्यूह A द्वारा दर्शाया जाता है। यह अंतरिक्ष में वास्तविक घूर्णन का आव्यूह नहीं है; परन्तु पैरामीटर ε के छोटे वास्तविक मानों के लिए परिवर्तन

$T=I+\varepsilon A$

क्रम ε² की मात्रा तक छोटा घूर्णन है।

इतिहास

अतिसूक्ष्म परिवर्तनों का व्यापक सिद्धांत सबसे पूर्व सोफस ली द्वारा दिया गया था। यह उनके काम के केंद्र में था, जिसे अब लाई समूह एवं उनके साथ आने वाले लाई बीजगणित कहा जाता है; एवं ज्यामिति एवं विशेषकर विभेदक समीकरणों के सिद्धांत में उनकी भूमिका की पहचान है। अमूर्त बीजगणित के गुण वास्तव में अनंतिम परिवर्तनों के निश्चित गुण हैं, जैसे कि समूह सिद्धांत के स्वयंसिद्ध समरूपता का प्रतीक हैं। ली बीजगणित शब्द की प्रारम्भ 1934 में हरमन वेइल द्वारा की गई थी, जिसे तब तक लाई समूह के अतिसूक्ष्म परिवर्तनों के बीजगणित के रूप में जाना जाता था।

उदाहरण

उदाहरण के लिए, अनंतिम घुमावों के मामले में, लाई बीजगणित संरचना वह है जो क्रॉस उत्पाद द्वारा प्रदान की जाती है, तिरछा-सममित आव्यूह को 3-सदीश के साथ पहचाना जाता है। यह घूर्णन के लिए अक्ष सदीश के चयन के समान है; परिभाषित जैकोबी पहचान क्रॉस उत्पादों की प्रसिद्ध संपत्ति है।

अतिसूक्ष्म परिवर्तन का सबसे प्रथम उदाहरण जिसे इस रूप में पहचाना जा सकता है वह सजातीय कार्यों पर यूलर के प्रमेय में था। यहां बताया गया है कि n चर x₁, ..., x_n का फलन F जो कि घात r का सजातीय है,

$\Theta F=rF\,$,

साथ

$\Theta =\sum _{i}x_{i}{\partial \over \partial x_{i}},$

थीटा ऑपरेटर को संतुष्ट करता है। यानी संपत्ति से

$F(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}F(x_{1},\dots ,x_{n})\,$

λ के संबंध में अंतर करना एवं फिर λ को 1 के समान निर्धारित करना संभव है। यह तब समरूपता गुण रखने के लिए सुचारू फलन F पर आवश्यक प्रतिबंध बन जाता है; यह भी पर्याप्त है (श्वार्ट्ज वितरण का उपयोग करके कोई यहां गणितीय विश्लेषण संबंधी विचारों को कम कर सकता है)। यह सेटिंग विशिष्ट है, इसमें स्केलिंग (गणित) का -पैरामीटर समूह संचालित होता है; एवं जानकारी को अतिसूक्ष्म परिवर्तन में कोडित किया गया है जो कि प्रथम-क्रम विभेदक ऑपरेटर है।

टेलर के प्रमेय का संचालिका संस्करण

संचालिका समीकरण

$e^{tD}f(x)=f(x+t)\,$

कहाँ

$D={d \over dx}$

टेलर के प्रमेय का ऑपरेटर (गणित) संस्करण है - एवं इसलिए यह केवल विश्लेषणात्मक फलन होने के विषय में चेतावनियों के अंतर्गत मान्य है। ऑपरेटर भाग पर ध्यान केंद्रित करने से पता चलता है कि डी अत्यंत छोटा परिवर्तन है, जो घातीय फलन के माध्यम से वास्तविक रेखा का अनुवाद उत्पन्न करता है। ली के सिद्धांत में, इसे काफी हद तक सामान्यीकृत किया गया है। किसी भी जुड़े हुए स्थान लाई समूह का निर्माण उसके इनफिनिटसिमल जेनरेटर (समूह के लाई बीजगणित के लिए आधार); बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ़ सूत्र में दी गई स्पष्ट, (यदि हमेशा उपयोगी जानकारी नहीं) है।

संदर्भ

• "Lie algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Sophus Lie (1893) Vorlesungen über Continuierliche Gruppen, English translation by D.H. Delphenich, §8, link from Neo-classical Physics.