घातीय मानचित्र (रिमानियन ज्यामिति)

This article is about the exponential map in differential geometry. For discrete dynamical systems, see Exponential map (discrete dynamical systems). For the exponential map from a Lie algebra to a Lie group, see Exponential map (Lie theory).

उत्तरी ध्रुव से देखा गया पृथ्वी का घातीय मानचित्र मानचित्रण में ध्रुवीय अज़ीमुथल समदूरस्थ प्रक्षेपण है।

रीमैनियन ज्यामिति में, एक घातीय मानचित्र स्पर्शरेखा स्थान टी के सबसेट से एक मानचित्र है_pरीमैनियन मैनिफोल्ड का एम (या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड) एम से एम तक। (छद्म) रीमैनियन मीट्रिक एक कैनोनिकल एफ़िन कनेक्शन निर्धारित करता है, और (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड का घातांक मानचित्र इस कनेक्शन के घातीय मानचित्र द्वारा दिया जाता है।

परिभाषा

होने देना M एक विभेदक अनेक गुना हो और p का एक बिंदु M. एक एफ़िन कनेक्शन चालू M किसी को बिंदु के माध्यम से एक सीधी रेखा की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है p. होने देना v ∈ T_pM मैनिफ़ोल्ड पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर बनें p. फिर एक अनोखा जियोडेसिक है γ_v संतुष्टि देने वाला γ_v(0) = p प्रारंभिक स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ γ′_v(0) = v. संगत घातीय मानचित्र द्वारा परिभाषित किया गया है exp_p(v) = γ_v(1). सामान्य तौर पर, घातीय मानचित्र केवल स्थानीय रूप से परिभाषित होता है, अर्थात, यह मूल के केवल एक छोटे से पड़ोस को लेता है T_pM, के एक पड़ोस के लिए p अनेक गुना में. ऐसा इसलिए है क्योंकि यह सामान्य अंतर समीकरणों के लिए पिकार्ड-लिंडेलोफ़ प्रमेय के प्रमेय पर निर्भर करता है जो प्रकृति में स्थानीय है। यदि स्पर्शरेखा बंडल के प्रत्येक बिंदु पर घातीय मानचित्र अच्छी तरह से परिभाषित है तो एक एफ़िन कनेक्शन को पूर्ण कहा जाता है।

गुण

सहज रूप से कहें तो, घातीय मानचित्र किसी दिए गए स्पर्शरेखा वेक्टर को कई गुना तक ले जाता है, उस बिंदु से शुरू होने वाले जियोडेसिक के साथ चलता है और एक इकाई समय के लिए उस दिशा में जाता है। चूँकि v जियोडेसिक के वेग वेक्टर से मेल खाता है, यात्रा की गई वास्तविक (रीमैनियन) दूरी उस पर निर्भर होगी। हम जियोडेसिक्स को इकाई गति के रूप में पुन: पैरामीट्रिज भी कर सकते हैं, इसलिए समकक्ष रूप से हम ऍक्स्प को परिभाषित कर सकते हैं_p(v) = β(|v|) जहां β यूनिट-स्पीड जियोडेसिक (आर्क लंबाई द्वारा पैरामीटरयुक्त जियोडेसिक) है जो v की दिशा में जा रहा है। जैसे ही हम स्पर्शरेखा वेक्टर v को बदलते हैं, हम एक्सप लागू करते समय प्राप्त करेंगे_p, एम पर अलग-अलग बिंदु जो आधार बिंदु पी से कुछ दूरी के भीतर हैं - यह शायद यह प्रदर्शित करने के सबसे ठोस तरीकों में से एक है कि मैनिफोल्ड के लिए स्पर्शरेखा स्थान मैनिफोल्ड का एक प्रकार का रैखिककरण है।

हॉपफ-रिनो प्रमेय का दावा है कि पूरे स्पर्शरेखा स्थान पर घातीय मानचित्र को परिभाषित करना संभव है यदि और केवल तभी जब मैनिफोल्ड एक मीट्रिक स्थान के रूप में पूरा हो (जो इस संपत्ति के साथ एक घातीय मानचित्र वाले मैनिफोल्ड के लिए सामान्य शब्द 'जियोडेसिकली पूर्ण' को उचित ठहराता है)। विशेष रूप से, सघन स्थान मैनिफ़ोल्ड्स भूगणितीय रूप से पूर्ण हैं। हालाँकि भले ही ऍक्स्प_p संपूर्ण स्पर्शरेखा स्थान पर परिभाषित किया गया है, यह सामान्य रूप से वैश्विक भिन्नता नहीं होगी। हालाँकि, स्पर्शरेखा स्थान के मूल में इसका अंतर पहचान फ़ंक्शन है और इसलिए, व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा हम T की उत्पत्ति का पड़ोस पा सकते हैं_pएम जिस पर घातीय मानचित्र एक एम्बेडिंग है (यानी, घातांक मानचित्र एक स्थानीय भिन्नता है)। T में मूल बिंदु के बारे में सबसे बड़ी गेंद की त्रिज्या_pएम जिसे एक्सप के माध्यम से अलग-अलग रूप से मैप किया जा सकता है_p पी पर एम की इंजेक्शन त्रिज्या कहलाती है। घातीय मानचित्र का कट लोकस (रीमानियन मैनिफोल्ड), मोटे तौर पर, उन सभी बिंदुओं का समूह है जहां घातीय मानचित्र एक अद्वितीय न्यूनतम रखने में विफल रहता है।

घातांकीय मानचित्र की एक महत्वपूर्ण संपत्ति निम्नलिखित गॉस लेम्मा (रिमानियन ज्यामिति) है (एक और गॉस लेम्मा (बहुविकल्पी)| गॉस लेम्मा): ऍक्स्प की परिभाषा के क्षेत्र में कोई स्पर्शरेखा वेक्टर v दिया गया है_p, और v की नोक पर आधारित एक अन्य वेक्टर w (इसलिए w वास्तव में डबल स्पर्शरेखा बंडल में है | डबल-स्पर्शरेखा स्थान T_v(टी_pएम)) और वी के लिए ऑर्थोगोनल, घातीय मानचित्र के माध्यम से आगे धकेलने पर डब्ल्यू वी के लिए ऑर्थोगोनल रहता है। इसका मतलब है, विशेष रूप से, कि टी में मूल के चारों ओर एक छोटी गेंद का सीमा क्षेत्र_pएम उन वैक्टरों द्वारा निर्धारित एम में जियोडेसिक्स के लिए ऑर्थोगोनल है (यानी, जियोडेसिक्स रेडियल हैं)। यह रीमैनियन मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक सामान्य निर्देशांक की परिभाषा को प्रेरित करता है।

घातीय मानचित्र रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की वक्रता को इसके अधिक ठोस अहसास से संबंधित करने में भी उपयोगी है, जिसकी कल्पना मूल रूप से रीमैन ने स्वयं की थी - अनुभागीय वक्रता को सहज रूप से कुछ सतह के गॉसियन वक्रता के रूप में परिभाषित किया गया है (यानी, 2 द्वारा मैनिफोल्ड का एक टुकड़ा) -आयामी सबमैनिफोल्ड) विचाराधीन बिंदु पी के माध्यम से। घातीय मानचित्र के माध्यम से, इसे अब एक्सप के तहत छवि द्वारा निर्धारित पी के माध्यम से सतह के गॉसियन वक्रता के रूप में सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।_p टी के 2-आयामी उप-स्थान का_pएम।

झूठ सिद्धांत में घातीय मानचित्रों से संबंध

द्वि-अपरिवर्तनीय मीट्रिक वाले लाई समूहों के मामले में - बाएं और दाएं दोनों अनुवादों के तहत एक छद्म-रिमानियन मीट्रिक अपरिवर्तनीय - छद्म-रिमानियन संरचना के घातांक मानचित्र घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) के समान हैं। सामान्य तौर पर, लाई समूहों में द्वि-अपरिवर्तनीय मीट्रिक नहीं होती है, हालांकि सभी जुड़े हुए अर्ध-सरल (या रिडक्टिव) लाई समूहों में होती है। एक द्वि-अपरिवर्तनीय रीमानियन मीट्रिक का अस्तित्व छद्म-रीमैनियन मीट्रिक की तुलना में अधिक मजबूत है, और इसका तात्पर्य है कि लाई बीजगणित एक कॉम्पैक्ट लाई समूह का लाई बीजगणित है; इसके विपरीत, किसी भी कॉम्पैक्ट (या एबेलियन) लाई समूह में ऐसी रीमैनियन मीट्रिक होती है।

वह उदाहरण लें जो ईमानदार घातीय मानचित्र देता है। सकारात्मक वास्तविक संख्याओं R पर विचार करें⁺, सामान्य गुणन के अंतर्गत एक झूठ समूह। फिर प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान सिर्फ R है। बिंदु y पर R की प्रत्येक प्रतिलिपि पर, हम संशोधित आंतरिक उत्पाद पेश करते हैं

$$\langle u,v\rangle _{y}={\frac {uv}{y^{2}}}$$

उन्हें सामान्य वास्तविक संख्याओं की तरह गुणा करना लेकिन y से स्केल करना² (यही वह है जो मीट्रिक को बाएँ-अपरिवर्तनीय बनाता है, क्योंकि किसी गुणनखंड द्वारा बायाँ गुणा केवल आंतरिक उत्पाद को बाहर निकाल देगा, दो बार - हर में वर्ग को रद्द कर देगा)।

बिंदु 1 ∈ R पर विचार करें⁺, और x ∈ 'R' 1 पर स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है। 1 से निकलने वाली सामान्य सीधी रेखा, अर्थात् y(t) = 1 + xt, जियोडेसिक के समान पथ को कवर करती है, सिवाय इसके कि हमें निरंतर गति (निरंतर गति, याद रखें, सामान्य स्थिर गति नहीं होने वाली है, क्योंकि हम इस अजीब मीट्रिक का उपयोग कर रहे हैं) के साथ एक वक्र प्राप्त करने के लिए पुन: पैरामीट्रिज करना होगा। ऐसा करने के लिए हम चाप की लंबाई (मानदंड में स्पर्शरेखा वेक्टर की लंबाई का अभिन्न अंग) द्वारा पुन: पैरामीटराइज़ करते हैं $|\cdot |_{y}$ संशोधित मीट्रिक से प्रेरित):

$$s(t)=\int _{0}^{t}|x|_{y(\tau )}d\tau =\int _{0}^{t}{\frac {|x|}{1+\tau x}}d\tau =|x|\int _{0}^{t}{\frac {d\tau }{1+\tau x}}={\frac {|x|}{x}}\ln |1+tx|$$

और प्राप्त करने के लिए फ़ंक्शन को उल्टा करने के बाद t के एक कार्य के रूप में s, हम स्थानापन्न करते हैं और प्राप्त करते हैं

$$y(s)=e^{sx/|x|}$$

अब इकाई गति परिभाषा का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

$$\exp _{1}(x)=y(|x|_{1})=y(|x|),$$

अपेक्षित ई दे रहा है^x.

इसके द्वारा परिभाषित रीमानियन दूरी सरल है

$$\operatorname {dist} (a,b)=\left|\ln \left({\frac {b}{a}}\right)\right|.$$

यह भी देखें

• घातांकीय विषयों की सूची

संदर्भ

• Cheeger, Jeff; Ebin, David G. (1975), Comparison Theorems in Riemannian Geometry, Elsevier. See Chapter 1, Sections 2 and 3.
• do Carmo, Manfredo P. (1992), Riemannian Geometry, Birkhäuser, ISBN 0-8176-3490-8. See Chapter 3.
• "Exponential mapping", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Helgason, Sigurdur (2001), Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces, Graduate Studies in Mathematics, vol. 34, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-2848-9, MR 1834454.
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3.