हावेर्सिन फार्मूला

हावर्साइन सूत्र एक गोले पर दो बिंदुओं के बीच उनके देशांतर और अक्षांशों को देखते हुए महान-वृत्त की दूरी निर्धारित करता है। मार्गदर्शन में महत्वपूर्ण, यह गोलाकार त्रिकोणमिति में एक अधिक सामान्य सूत्र का एक विशेष मामला है, हैवरसाइन का नियम, जो गोलाकार त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों से संबंधित है।

अंग्रेजी में हावर्साइन्स की पहली तालिका 1805 में जेम्स एंड्रयू द्वारा प्रकाशित की गई थी, लेकिन फ्लोरियन काजोरी ने जोस डे मेंडोज़ा वाई रियोस द्वारा पहले किए गए प्रयोग का श्रेय दिया है हावर्साइन शब्द 1835 में जेम्स इनमैन द्वारा गढ़ा गया था।

ये नाम इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि वे परंपरागत रूप से दिए गए हैवर्सिन फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखे गए हैं hav(θ) = sin²(θ/2). सूत्रों को समान रूप से हावेर्साइन के किसी भी गुणज के रूप में लिखा जा सकता है, जैसे कि पुराने वर्साइन फ़ंक्शन (हावेर्साइन से दोगुना)। कंप्यूटर के आगमन से पहले, दो के कारकों द्वारा विभाजन और गुणन को समाप्त करना इतना सुविधाजनक साबित हुआ कि 19वीं और 20वीं सदी की शुरुआत में नेविगेशन और त्रिकोणमितीय ग्रंथों में हैउसका संस्करण मान और लघुगणक की तालिकाएं शामिल की गईं। इन दिनों हावर्साइन फॉर्म इस मायने में भी सुविधाजनक है कि इसके सामने कोई गुणांक नहीं है sin² समारोह।

निरूपण

चलो केंद्रीय कोण θ किसी गोले पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच:

$\theta ={\frac {d}{r}}$

कहाँ:

• d गोले के एक बड़े वृत्त के अनुदिश दो बिंदुओं के बीच की दूरी है (बड़े-वृत्त की दूरी देखें),
• r गोले की त्रिज्या है.

हावेर्साइन फॉर्मूला हावर्साइन फ़ंक्शन की अनुमति देता है θ (वह है, hav(θ)) की गणना सीधे अक्षांश से की जाएगी (द्वारा दर्शाया गया है)। φ) और देशांतर (द्वारा दर्शाया गया है)। λ) दो बिंदुओं में से:

$\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)$

कहाँ

• φ₁, φ₂बिंदु 1 का अक्षांश और बिंदु 2 का अक्षांश हैं,
• λ₁, λ₂ बिंदु 1 का देशांतर और बिंदु 2 का देशांतर हैं।

अंत में, हावर्साइन फ़ंक्शन hav(θ), ऊपर दोनों केंद्रीय कोण पर लगाया गया θ और अक्षांश और देशांतर में अंतर है

$\operatorname {hav} (\theta )=\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}$

हावर्साइन फ़ंक्शन कोण के आधे वर्सिन की गणना करता है θ.

दूरी के लिए हल करने के लिए d, आर्कवेर्सिन (उलटा हैवर्सिन) लागू करें h = hav(θ) या आर्कसीन (व्युत्क्रम साइन) फ़ंक्शन का उपयोग करें:

$d=r\operatorname {archav} (h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\right)$

या अधिक स्पष्ट रूप से:

${\begin{aligned}d&=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+(1-\operatorname {hav} (\varphi _{1}-\varphi _{2})-\operatorname {hav} (\varphi _{1}+\varphi _{2}))\cdot \operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\left(1-\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)-\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}+\varphi _{1}}{2}}\right)\right)\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)\\&=2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos \varphi _{1}\cdot \cos \varphi _{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right).\end{aligned}}$

इन सूत्रों का उपयोग करते समय, किसी को यह सुनिश्चित करना चाहिए {{math|h}तैरनेवाला स्थल त्रुटि के कारण 1 से अधिक नहीं है (d केवल वास्तविक संख्या है 0 ≤ h ≤ 1). h केवल एंटीपोडल बिंदुओं (गोले के विपरीत पक्षों पर) के लिए 1 तक पहुंचता है - इस क्षेत्र में, जब परिमित परिशुद्धता का उपयोग किया जाता है, तो सूत्र में अपेक्षाकृत बड़ी संख्यात्मक त्रुटियां उत्पन्न होती हैं। क्योंकि d तब बड़ा होता है (आ रहा है)। πR, आधी परिधि) एक छोटी सी त्रुटि अक्सर इस असामान्य मामले में एक बड़ी चिंता का विषय नहीं होती है (हालांकि अन्य महान-वृत्त दूरी सूत्र हैं जो इस समस्या से बचते हैं)। (उपरोक्त सूत्र कभी-कभी आर्कटिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जाता है, लेकिन यह समान संख्यात्मक समस्याओं से ग्रस्त है h = 1.)

जैसा कि नीचे वर्णित है, एक समान सूत्र हैवरसाइन के बजाय कोसाइन (कभी-कभी कोसाइन का गोलाकार नियम कहा जाता है, समतल ज्यामिति के लिए कोसाइन के नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) का उपयोग करके लिखा जा सकता है, लेकिन यदि दो बिंदु एक साथ करीब हैं (उदाहरण के लिए एक किलोमीटर) अलग, पृथ्वी पर) कोई भी समाप्त हो सकता है cos(d/R) = 0.99999999, जिससे गलत उत्तर प्राप्त होता है। चूँकि हावर्साइन फॉर्मूला साइन का उपयोग करता है, यह उस समस्या से बचाता है।

पृथ्वी पर लागू होने पर कोई भी सूत्र केवल एक अनुमान है, जो एक पूर्ण क्षेत्र नहीं है: पृथ्वी त्रिज्या R ध्रुवों पर 6356.752 किमी से लेकर भूमध्य रेखा पर 6378.137 किमी तक भिन्न होता है। इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि पृथ्वी की सतह पर उत्तर-दक्षिण रेखा की वक्रता त्रिज्या (अनुप्रयोग) भूमध्य रेखा (≈6335.439 किमी) की तुलना में ध्रुवों पर 1% अधिक है (≈6399.594 किमी) - इसलिए हैवरसाइन सूत्र और कोसाइन का नियम 0.5% से बेहतर होने की गारंटी नहीं दी जा सकती। पृथ्वी की अण्डाकारता पर विचार करने वाली अधिक सटीक विधियाँ विंसेंटी के सूत्रों और भौगोलिक दूरी लेख के अन्य सूत्रों द्वारा दी गई हैं।

हावर्साइन्स का नियम

गोलाकार त्रिभुज को हावर्ससाइन के नियम द्वारा हल किया गया

एक इकाई गोले को देखते हुए, गोले की सतह पर एक त्रिभुज को तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले बड़े वृत्तों द्वारा परिभाषित किया गया है u, v, और w गोले पर. यदि इन तीनों भुजाओं की लम्बाई है a (से u को v), b (से u को w), और c (से v को w), और विपरीत कोने का कोण c है C, तो हावर्साइन्स का कानून कहता है:

$\operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\operatorname {hav} (C).$

चूँकि यह एक इकाई गोला है, लंबाई a, b, और c गोले के केंद्र से उन भुजाओं द्वारा अंतरित कोणों (कांति में) के बराबर होते हैं (एक गैर-इकाई गोले के लिए, इनमें से प्रत्येक चाप की लंबाई उसके केंद्रीय कोण के त्रिज्या से गुणा के बराबर होती है) R गोले का).

इस कानून से पिछले खंड का हैवर्साइन फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए, कोई केवल विशेष मामले पर विचार करता है u भौगोलिक उत्तरी ध्रुव है, जबकि v और w वे दो बिंदु हैं जिनका पृथक्करण d निर्धारित किया जाना है. उस मामले में, a और b हैं π/2 − φ_1,2 (अर्थात, सह-अक्षांश), C देशांतर पृथक्करण है λ₂ − λ₁, और c वांछित है d/R. नोट किया कि sin(π/2 − φ) = cos(φ), हैवरसाइन सूत्र तुरंत अनुसरण करता है।

हैवरसाइन के नियम को प्राप्त करने के लिए, कोसाइन के गोलाकार नियम से शुरुआत की जाती है:

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,$

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह सूत्र हल करने का एक अनूठे तरीका है c कब c छोटा है। इसके बजाय, हम उस पहचान को प्रतिस्थापित करते हैं cos(θ) = 1 − 2 hav(θ), और त्रिकोणमितीय पहचान#जोड़/घटाव प्रमेय का भी उपयोग करते हैं cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b), उपरोक्त हावर्साइन्स का नियम प्राप्त करने के लिए।

प्रमाण

कोई सूत्र सिद्ध कर सकता है:

$\operatorname {hav} \left(\theta \right)=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos \left(\varphi _{1}\right)\cos \left(\varphi _{2}\right)\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)$

उनके अक्षांश और देशांतर द्वारा दिए गए बिंदुओं को कार्तीय समन्वय प्रणाली#तीन आयामों में परिवर्तित करके, फिर उनका डॉट उत्पाद#ज्यामितीय परिभाषा लेकर।

दो बिंदुओं पर विचार करें ${\bf {p_{1},p_{2}}}$ इकाई क्षेत्र पर, उनके अक्षांश द्वारा दिया गया $\varphi$ और देशांतर $\lambda$:

${\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\lambda _{2},\varphi _{2})\\{\bf {p_{1}}}&=(\lambda _{1},\varphi _{1})\end{aligned}}$

ये निरूपण गोलाकार समन्वय प्रणाली के समान हैं, हालांकि अक्षांश को भूमध्य रेखा से कोण के रूप में मापा जाता है, न कि उत्तरी ध्रुव से। इन बिंदुओं का कार्टेशियन निर्देशांक में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

${\begin{aligned}{\bf {p_{2}}}&=(\cos(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda _{2})\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}}}&=(\cos(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\lambda _{1})\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}$

यहां से हम सीधे डॉट उत्पाद की गणना करने और आगे बढ़ने का प्रयास कर सकते हैं, हालांकि जब हम निम्नलिखित तथ्य पर विचार करते हैं तो सूत्र काफी सरल हो जाते हैं: यदि हम गोले को z-अक्ष के साथ घुमाते हैं तो दो बिंदुओं के बीच की दूरी नहीं बदलेगी। यह वास्तव में इसमें एक स्थिरांक जोड़ देगा $\lambda _{1},\lambda _{2}$. ध्यान दें कि समान विचार अक्षांशों को बदलने पर लागू नहीं होते हैं - अक्षांशों में एक स्थिरांक जोड़ने से बिंदुओं के बीच की दूरी बदल सकती है। हमारे स्थिरांक को चुनकर $-\lambda _{1}$, और सेटिंग $\lambda '=\lambda _{2}-\lambda _{1}$, हमारे नए बिंदु बन गए:

${\begin{aligned}{\bf {p_{2}'}}&=(\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\lambda ')\cos(\varphi _{2}),\;\sin(\varphi _{2}))\\{\bf {p_{1}'}}&=(\cos(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(0)\cos(\varphi _{1}),\;\sin(\varphi _{1}))\\&=(\cos(\varphi _{1}),\;0,\;\sin(\varphi _{1}))\end{aligned}}$

साथ $\theta$ के बीच के कोण को दर्शाता है ${\bf {p_{1}}}$ और ${\bf {p_{2}}}$, अब हमारे पास वह है:

${\begin{aligned}\cos(\theta )&=\langle {\bf {p_{1}}},{\bf {p_{2}}}\rangle =\langle {\bf {p_{1}'}},{\bf {p_{2}'}}\rangle =\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})+\sin(\varphi _{1})\sin(\varphi _{2})\\&=\sin(\varphi _{2})\sin(\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})-\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})+\cos(\lambda ')\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\\&=\cos(\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})(-1+\cos(\lambda '))\Rightarrow \\\operatorname {hav} \left(\theta \right)&=\operatorname {hav} \left(\varphi _{2}-\varphi _{1}\right)+\cos(\varphi _{2})\cos(\varphi _{1})\operatorname {hav} \left(\lambda _{2}-\lambda _{1}\right)\end{aligned}}$

यह भी देखें

• दृष्टि में कमी
• विंसेंटी के सूत्र

अग्रिम पठन

• U. S. Census Bureau Geographic Information Systems FAQ, (content has been moved to What is the best way to calculate the distance between 2 points?)
• R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
• Deriving the haversine formula, Ask Dr. Math (Apr. 20–21, 1999). Archived 20 January 2020 at the Wayback Machine
• Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
• W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

बाहरी संबंध

• Implementations of the haversine formula in 91 languages at rosettacode.org and in 17 languages on codecodex.com Archived 2018-08-14 at the Wayback Machine
• Other implementations in C++, C (MacOS), Pascal Archived 2019-01-16 at the Wayback Machine, Python, Ruby, JavaScript, PHP Archived 2018-08-12 at the Wayback Machine,Matlab Archived 2020-05-13 at the Wayback Machine, MySQL