सुव्यवस्थित प्रमेय

"Zermelo's theorem" redirects here. For Zermelo's theorem in game theory, see Zermelo's theorem (game theory).

Not to be confused with Well-ordering principle.

गणित में, सुव्यवस्थित प्रमेय, जिसे ज़र्मेलो के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कहता है कि प्रत्येक सेट (गणित) को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। एक सेट X सख्त कुल क्रम द्वारा सुव्यवस्थित है यदि X के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में क्रम के तहत कम से कम तत्व है। ज़ोर्न लेम्मा के साथ सुव्यवस्थित प्रमेय सबसे महत्वपूर्ण गणितीय कथन हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं (अक्सर एसी कहा जाता है, यह भी देखें Axiom of choice § Equivalents). अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने सुव्यवस्थित प्रमेय को सिद्ध करने के लिए एक आपत्तिजनक तार्किक सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध को पेश किया। एक सुव्यवस्थित प्रमेय से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि प्रत्येक सेट ट्रांसफिनिट इंडक्शन के लिए अतिसंवेदनशील है, जिसे गणितज्ञों द्वारा एक शक्तिशाली तकनीक माना जाता है।प्रमेय का एक प्रसिद्ध परिणाम बनच-तर्स्की विरोधाभास है।

इतिहास

जॉर्ज कैंटर ने सुव्यवस्थित प्रमेय को विचार का एक मौलिक सिद्धांत माना। हालांकि, एक अच्छी तरह से आदेश देने की कल्पना करना मुश्किल या असंभव माना जाता है $\mathbb {R}$; इस तरह के विज़ुअलाइज़ेशन को पसंद के स्वयंसिद्ध को शामिल करना होगा। 1904 में, Gyula Kőnig ने यह साबित करने का दावा किया कि इस तरह की सुव्यवस्थित व्यवस्था मौजूद नहीं हो सकती। कुछ हफ्ते बाद, फेलिक्स हॉसडॉर्फ ने सबूत में गलती पाई। हालांकि, यह पता चला कि पहले क्रम के तर्क में सुक्रम प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर है, इस अर्थ में कि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीत सुक्रम प्रमेय को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं, और इसके विपरीत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना, लेकिन अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित करने के लिए पर्याप्त हैं। (यह ज़ोर्न के लेम्मा पर भी लागू होता है।) दूसरे क्रम के तर्क में, हालांकि, अच्छी तरह से ऑर्डरिंग प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध से अधिक मजबूत है: अच्छी तरह से आदेश देने वाले प्रमेय से कोई पसंद के स्वयंसिद्ध को कम कर सकता है, लेकिन पसंद के स्वयंसिद्ध से कोई सुव्यवस्थित प्रमेय नहीं निकाल सकता है। तीन कथनों और अंतर्ज्ञान के प्रति उनकी सापेक्ष सहजता के बारे में एक प्रसिद्ध चुटकुला है: पसंद का स्वयंसिद्ध स्पष्ट रूप से सत्य है, सुव्यवस्थित सिद्धांत स्पष्ट रूप से गलत है, और ज़ोर्न के लेम्मा के बारे में कौन बता सकता है?</ब्लॉककोट>

पसंद के स्वयंसिद्ध से सबूत

पसंद के स्वयंसिद्ध से अच्छी तरह से आदेश देने वाला प्रमेय इस प्रकार है।

हम जिस सेट को व्यवस्थित करने की कोशिश कर रहे हैं, उसे होने दें $A$, और जाने $f$ के गैर-खाली सबसेट के परिवार के लिए एक विकल्प समारोह हो $A$. हर क्रमिक संख्या के लिए $\alpha$, एक सेट परिभाषित करें $a_{\alpha }$ यह है $A$ व्यवस्थित करके $a_{\alpha }\ =\ f(A\setminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \})$ यदि यह पूरक है $A\setminus \{a_{\xi }\mid \xi <\alpha \}$ खाली नहीं है, या छोड़ दें $a_{\alpha }$ अपरिभाषित अगर यह है। वह है, $a_{\alpha }$ के तत्वों के समूह से चुना जाता है $A$ जिन्हें अभी तक ऑर्डरिंग में कोई स्थान नहीं दिया गया है (या अपरिभाषित अगर पूरी तरह से $A$ सफलतापूर्वक गिना गया है)। फिर $\langle a_{\alpha }\mid a_{\alpha }{\text{ is defined}}\rangle$ की एक सुव्यवस्था है $A$ इच्छा के अनुसार।

पसंद के स्वयंसिद्ध प्रमाण

पसंद के स्वयंसिद्ध को सुव्यवस्थित प्रमेय से निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है।

गैर-खाली सेटों के संग्रह के लिए एक विकल्प कार्य करने के लिए, $E$, सेट के संघ को अंदर ले जाएं $E$ और इसे कॉल करें $X$. का एक सुव्यवस्थित अस्तित्व है $X$; होने देना $R$ ऐसा आदेश हो। वह कार्य जो प्रत्येक सेट के लिए $S$ का $E$ का सबसे छोटा तत्व जोड़ता है $S$, जैसा कि (के लिए प्रतिबंध $S$ का) $R$, संग्रह के लिए एक विकल्प कार्य है $E$.

इस प्रमाण का एक अनिवार्य बिंदु यह है कि इसमें केवल एक मनमाना विकल्प शामिल है, वह है $R$; प्रत्येक सदस्य के लिए सुव्यवस्थित प्रमेय लागू करना $S$ का $E$ अलग से काम नहीं करेगा, क्योंकि प्रमेय केवल एक अच्छी व्यवस्था के अस्तित्व पर जोर देता है, और प्रत्येक के लिए चयन करता है $S$ एक सुव्यवस्थित क्रम के लिए उतने ही विकल्पों की आवश्यकता होगी जितनी प्रत्येक में से एक तत्व को चुनने में $S$. खासकर अगर $E$ पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों के तहत सभी बेशुमार रूप से कई विकल्पों को बनाने की अनुमति नहीं है।

बाहरी कड़ियाँ

• Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/wellord2.html